Как построить образ окружности при гомотетии

Видео:Гомотетия. Коэффициент гомотетии. Центр гомотетии. Гомотетичные фигуры. Геометрия 8-9 классСкачать

Свойства, типы и примеры гомотетии

homotecia представляет собой геометрическое изменение в плоскости, где расстояния от фиксированной точки, называемой центром (O), умножаются на общий коэффициент. Таким образом, каждая точка P соответствует другой точке P ‘, являющейся произведением преобразования, и они выровнены с точкой O.

Тогда гомотетия — это соответствие между двумя геометрическими фигурами, где преобразованные точки называются гомотетическими, и они выровнены с фиксированной точкой и сегментами, параллельными друг другу..

• 1 гомотеция
• 2 свойства
• 3 типа
  • 3.1 Прямая гомотетия
  • 3.2 Обратная гомотетия
• 4 Композиция
• 5 примеров
  • 5.1 Первый пример
  • 5.2 Второй пример
• 6 Ссылки

Видео:Преобразование подобия. Гомотетия.Скачать

homotecia

Гомотетия — это преобразование, которое не имеет конгруэнтного изображения, потому что из рисунка будет получена одна или несколько фигур большего или меньшего размера, чем исходная фигура; то есть гомотетия превращает многоугольник в другой подобный.

Чтобы гомотетия была выполнена, они должны соответствовать точка-точка и прямая-прямая, чтобы пары гомологичных точек были выровнены с третьей фиксированной точкой, которая является центром гомотетии..

Аналогично, пары линий, которые соединяют их, должны быть параллельными. Соотношение между такими сегментами является константой, называемой коэффициентом гомотетии (k); таким образом, что гомотетия может быть определена как:

Чтобы сделать этот тип преобразования, вы начинаете с выбора произвольной точки, которая будет центром гомотетии..

С этой точки отрезки линий рисуются для каждой вершины фигуры, которая должна быть преобразована. Масштаб, в котором выполняется воспроизведение нового рисунка, определяется по причине гомотетии (k)..

Видео:ГомотетияСкачать

свойства

Одним из основных свойств гомотетии является то, что по причине гомотетии (k) все гомотетические фигуры схожи. Среди других выдающихся свойств являются следующие:

— Центр гомотетии (O) — единственная двойная точка, и она превращается в себя; то есть не меняется.

— Линии, проходящие через центр, трансформируются (они двойные), но точки, составляющие его, не являются двойными.

— Прямые, которые не проходят через центр, превращаются в параллельные линии; таким образом, углы гомотетии остаются неизменными.

— Образ сегмента с помощью гомотетии центра O и отношения k представляет собой отрезок, параллельный этому, и имеет k-кратную длину. Например, как видно на следующем изображении, сегмент AB с помощью гомотетики приведет к другому сегменту A’B ‘, так что AB будет параллельным A’B’, а k будет:

— Гомотетические углы конгруэнтны; то есть они имеют одинаковую меру. Следовательно, изображение угла — это угол, имеющий одинаковую амплитуду..

С другой стороны, гомотетия варьируется в зависимости от значения ее отношения (k), и могут возникнуть следующие случаи:

— Если константа k = 1, все точки фиксированы, потому что они трансформируются. Таким образом, гомотетическая фигура совпадает с оригиналом и преобразование будет называться тождественной функцией.

— Если k ≠ 1, единственной фиксированной точкой будет центр гомотетии (O).

— Если k = -1, гомотетия становится центральной симметрией (C); то есть вращение вокруг C будет происходить под углом 180 или .

— Если k> 1, размер преобразованного рисунка будет больше размера исходного.

— Да 0 0; то есть гомотетические точки находятся на одной стороне относительно центра:

Коэффициент пропорциональности или отношения сходства между прямыми гомотетическими фигурами всегда будет положительным.

Видео:урок №1 по геометрии по теме: Подобие фигур. ГомотетияСкачать

Please wait.

Видео:Преобразование подобия. Геометрия 9классСкачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:9 класс. Геометрия. Гомотетия.Скачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6ccc887a1d5216db • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:11 класс, 13 урок, Преобразование подобияСкачать

Метод гомотетии

При решении задач на построение методом гомотетии следует иметь в виду следующее.

1. В качестве центра гомотетии можно выбрать любую точку плоскости, но практически удачный выбор центра гомотетии ведет к упрощению построений. Целесообразный выбор центра гомотетии, приводящий к наиболее простому и быстрому решению задачи, зависит от условий и требований задачи. Следует заметить, что нередко за центр гомотетии принимают одну из вершин вспомогательной фигуры или один из концов линейного элемента (отрезка) вспомогательной фигуры, соответственного данному. Например, для построения равнобедренного треугольника ВАС по углу при вершине А и радиусу R описанной окружности строят вспомогательный, подобный искомому, равнобедренный треугольник В’А’С с углом при вершине А, а затем, принимая центр окружности, описанной около треугольника В’А’С’,

за центр гомотетии и полагая к = —, преобразуют его в искомый.

2. Отношение сумм (разностей) соответственных линейных элементов двух подобных фигур равно отношению их сходственных (соответственных) линейных элементов и равно коэффициенту гомотетии к (например, периметры подобных треугольников относятся, как их соответственные стороны). При решении задач это отношение обычно и принимается за коэффициент гомотетии. Площади двух подобных фигур относятся, как квадраты их соответственных элементов.

Перейдем к решению задач.

Задача 6.29. Построить ромб по отношению диагоналей т : п и высоте h.

Анализ. Допустим, что ромб ABCD построен: АС : BD = т : п и EF = h (рис. 6.30). Замечаем, что по свойству ромба: 1) АО : OD = т : п;

2) ZAOD = 90° и 3) OF = —. По условиям 1) и 2) строим ДА’0’D’, гомотетичный ДАОП. Приняв точку О за центр гомотетии и отношение (h : h‘) (h’ — это длина отрезка OF) за коэффициент гомотетии, построим ДAOD, а затем и искомый ромб.

Рис. 6.30 96

Построение. По первым двум условиям строим треугольник А’О’В’,

подобный искомому, и строим его высоту ОТ’ = —, сходственную

высоте искомого треугольника AOD. Вершину О принимаем за центр гомотетии и полагаем коэффициент

В установленной гомотетии преобразуем треугольник A’O’D’ в искомый треугольник AOD, для чего на луче ОТ’ строим отрезок ОТ = — и через точку F проводим прямую, параллельную A’D’; получаем AAOD. Достраиваем AAOD до ромба, для чего строим ОС = ОА, OB = OD и соединяем отрезками прямых точки А с В, В с С и С с D; ABCD — искомый ромб. Доказательство. Так как AAOD

= т : п и ZAOD = 90°. Высота OF = Следовательно, АС : DB =АО : DO =

— т : п, EF — h, т.е. ABCD — искомый ромб.

Исследование. Решение задачи единственное, так как всякий другой ромб A₁B-_lC₁D_b удовлетворяющий условию задачи, должен быть подобным построенному и должно выполняться соотношение

но так как = h, то А,!»! = AD и, следовательно, ромб AjBjC^, равен ромбу ABCD. Значит, задача имеет единственное решение.

Задача 6.30. В данный круговой сегмент вписать квадрат ABCD так, чтобы его вершины А и В лежали на основании сегмента, а вершины D и С — на дуге его.

Анализ. Пусть ABCD — искомый квадрат (рис. 6.31). Построим вспомогательный квадрат A’B’C’D’ так, чтобы он был расположен с данным сегментом по одну сторону относительно основания сегмента и вершины его лежали бы на основании сегмента симметрично относительно его середины F. Тогда гомотетия с центром F и коэффициентом FB FA

k = преобразует A’B’C’D’ в искомый квадрат ABCD.

Построение. Строим середину F основания сегмента, затем отрезки FA’ = FB’. По одну сторону с данным сегментом относительно его основания строим квадрат A’B’C’D’ со стороной, равной А’В’. Преобразуем построенный квадрат A’B’C’D’ с помощью гомотетии с центром

в точке F и коэффициентом к = —-. При этом преобразовании получим

Доказательство. Квадрат ABCD — искомый, что следует из свойств гомотетии.

Исследование. Задача имеет единственное решение, если дуга

сегмента не превышает — всей окружности. Задача не имеет решения, если дуга сегмента больше ^ окружности.

Задача 6.31. В данный выпуклый четырехугольник ABCD вписать ромб так, чтобы его стороны были параллельны диагоналям данного четырехугольника.

Анализ. Предположим, что PQMN — искомый ромб (рис. 6.32). Примем точку А за центр гомотетии, а произвольное действительное число к * 0 (например, 0 2 .

Видео:Поворотная гомотетия | Олимпиадная математикаСкачать

Please wait.

Видео:Сопряжение окружностейСкачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Геометрия. 9 класс. Гомотетия и ее свойства /26.11.2020/Скачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:гомотетияСкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d1ef8f33cfc76ad • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Гомотетия Геометрия, 1965Скачать

Применение геометрических преобразований к решению задач

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Ученики 10 класса хорошо знакомы, а ученики 9 класса уже познакомились с такими геометрическими преобразованиями плоскости как поворот вокруг некоторой точки на заданный угол, параллельный перенос, осевая и центральная симметрии. Наша задача: сделать небольшой шаг за рамки школьного учебника и изучить еще несколько замечательных преобразований плоскости. Начнем мы с гомотетии.

Определение 1. Гомотетией с центром в точке М0 и коэффициентом k называется правило, по которому каждая точка М отображается в точку М’, и при этом выполняется условие:

(1).

Две фигуры назовем гомотетичными, если одна может быть получена и другой с помощью некоторой гомотетии.

Рассмотрим примеры гомотетии с различными коэффициентами.

На первом рисунке построен образ треугольника АВС при гомотетии с коэффициентом 2, а на втором – приведен пример гомотетии с коэффициентом -2. Наблюдательный читатель сразу заметит, что на обоих чертежах изображены пары подобных треугольников. Причем в обоих случаях коэффициент подобия равен 2. Кроме того, хорошо видно, что соответствующие стороны треугольника АВС и треугольника А’В’С’ – попарно параллельны.

Сформулируем основные свойства гомотетии.

Свойство 1. При гомотетии точка отображается в точку, отрезок в отрезок, а прямая в прямую.

Свойство 2. Гомотетия сохраняет принадлежность объектов (инцидентность). Другими словами, если точка принадлежит некоторой фигуре, то ее образ будет принадлежать образу этой фигуры, и наоборот.

Свойство 3. Гомотетия сохраняет параллельность. То есть, две параллельные прямые отображаются в две параллельные прямые.

Свойство 4. Гомотетия прямую отображает в параллельную ей прямую.

Рассмотрим важное следствие их этих свойств.

Следствие 1. Гомотетия любую фигуру отображает в подобную ей, причем коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии.

Доказательство. Достаточно показать, что это утверждение выполняется для треугольников. (Используем следующий признак подобия: два треугольника подобны, если соответственные углы у них равны.)

Равенство соответственных углов вытекает из свойства 4. Действительно, соответственные стороны исходного треугольника и его образа попарно параллельны, а это приводит к равенству углов.

Осталось доказать, что коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии. Рассмотрим чертеж на рисунке 3. Из определения гомотетии следует, что

(2).

Из этого, по свойству пропорциональных отрезков, следует, что АВ параллельна А’В’, откуда вытекает, что треугольники М0АВ и М0А’В’ подобны, так как у них пропорциональны длины сторон, прилежащих к общему (или вертикальным, если k

📺 Видео

Построение окружности по трём точкам.Скачать

Геометрия, 9 класс, Гомотетия и ее свойстваСкачать

Решение задач с использованием гомотетииСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Д.В.Швецов. Гомотетия на уроках геометрии и кружкахСкачать

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать