Как находить угол между векторами в кубе

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Как находить угол между векторами в кубе

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Найти в кубе угол между двумя прямымиСкачать

Найти в кубе угол между двумя прямыми

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как находить угол между векторами в кубе

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как находить угол между векторами в кубе

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как находить угол между векторами в кубе
Как находить угол между векторами в кубе

Длина вектора Как находить угол между векторами в кубев пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как находить угол между векторами в кубе

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как находить угол между векторами в кубе

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как находить угол между векторами в кубе

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как находить угол между векторами в кубеи Как находить угол между векторами в кубе.

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Произведение вектора на число:

Как находить угол между векторами в кубе

Скалярное произведение векторов:

Как находить угол между векторами в кубе

Косинус угла между векторами:

Как находить угол между векторами в кубе

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как находить угол между векторами в кубе

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как находить угол между векторами в кубеи Как находить угол между векторами в кубе. Для этого нужны их координаты.

Как находить угол между векторами в кубе

Запишем координаты векторов:

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

и найдем косинус угла между векторами Как находить угол между векторами в кубеи Как находить угол между векторами в кубе:

Как находить угол между векторами в кубе

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как находить угол между векторами в кубе

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как находить угол между векторами в кубе

Координаты вершины пирамиды: Как находить угол между векторами в кубе

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Найдем координаты векторов Как находить угол между векторами в кубеи Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

и угол между ними:

Как находить угол между векторами в кубе

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как находить угол между векторами в кубе

Запишем координаты точек:

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как находить угол между векторами в кубе

Найдем координаты векторов Как находить угол между векторами в кубеи Как находить угол между векторами в кубе, а затем угол между ними:

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как находить угол между векторами в кубе

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как находить угол между векторами в кубе

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как находить угол между векторами в кубе

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как находить угол между векторами в кубе

То есть A + C + D = 0.

Как находить угол между векторами в кубеКак находить угол между векторами в кубе

Аналогично для точки K:

Как находить угол между векторами в кубе

Получили систему из трех уравнений:

Как находить угол между векторами в кубе

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как находить угол между векторами в кубе

Решив систему, получим:

Как находить угол между векторами в кубе

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как находить угол между векторами в кубе

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как находить угол между векторами в кубе

Вектор Как находить угол между векторами в кубе— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как находить угол между векторами в кубеимеет вид:

Как находить угол между векторами в кубе

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как находить угол между векторами в кубе

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как находить угол между векторами в кубе

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как находить угол между векторами в кубе

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как находить угол между векторами в кубеперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как находить угол между векторами в кубе

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как находить угол между векторами в кубе

Берем уравнение плоскости Как находить угол между векторами в кубеи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как находить угол между векторами в кубеКак находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как находить угол между векторами в кубе

Нормаль к плоскости AEF: Как находить угол между векторами в кубе

Найдем угол между плоскостями:

Как находить угол между векторами в кубе

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как находить угол между векторами в кубе

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как находить угол между векторами в кубеили, еще проще, вектор Как находить угол между векторами в кубе.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Координаты вектора Как находить угол между векторами в кубе— тоже:

Как находить угол между векторами в кубе

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как находить угол между векторами в кубе

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как находить угол между векторами в кубе

Получим:
Как находить угол между векторами в кубе

Ответ: Как находить угол между векторами в кубе

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как находить угол между векторами в кубе— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как находить угол между векторами в кубе— нормаль к плоскости α.

Как находить угол между векторами в кубе

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как находить угол между векторами в кубе

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Находим координаты вектора Как находить угол между векторами в кубе.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как находить угол между векторами в кубе.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как находить угол между векторами в кубе

Ответ: Как находить угол между векторами в кубе

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как находить угол между векторами в кубе

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как находить угол между векторами в кубе, AD = Как находить угол между векторами в кубе. Высота параллелепипеда AA1 = Как находить угол между векторами в кубе. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Как находить угол между векторами в кубе

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как находить угол между векторами в кубеКак находить угол между векторами в кубе

Решим эту систему. Выберем Как находить угол между векторами в кубе

Тогда Как находить угол между векторами в кубе

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как находить угол между векторами в кубе

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как находить угол между векторами в кубе

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Угол между векторами.

Как находить угол между векторами в кубе

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Формула вычисления угла между векторами

cos α =a · b
| a |·| b |

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=24=24= 0.96
| a | · | b |5 · 525

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=40=40=4= 0.8
| a | · | b |5√ 2 · 5√ 2505

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=28=14
| a | · | b |5 · 615

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🎥 Видео

Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. КубСкачать

Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. Куб

Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.

Угол между прямыми!Скачать

Угол между прямыми!

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

ЕГЭ. ЦЭ. Угол между прямыми в пространствеСкачать

ЕГЭ. ЦЭ. Угол между прямыми в пространстве

Задание №441 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задание №441 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

105. Угол между векторамиСкачать

105. Угол между векторами

Классика для начинающих ★ Найдите угол между двумя диагоналями граней куба на рисункеСкачать

Классика для начинающих ★ Найдите угол между двумя диагоналями граней куба на рисунке

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямыми

100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами
Поделиться или сохранить к себе: