Как находить базис и ранг системы векторов

Видео:Примеры Линейная зависимость векторов Базис и ранг системы векторовСкачать

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A_v А₂. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

• 3) записать базис системы векторов Б = (А_рА₂, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
• 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A _t ay + А₂х₂ + . + А„х_п = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Разрешенная система имеет вид

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б_: = (A_VA₂), которые соответствуют разрешенным неизвестным х₁ и х₂. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А₃ являются координаты вектора А’₃ = (3, -2), т.е. коэффициенты при х₃ в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х₃ А₃ = ЗЛ₁ — 2А_г Аналогично, коэффициентами разложения вектора А₄ являются координаты вектора А’₄ = (4, 1) А₄ = 4А_у + 1 А_т

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я₉₄ = 1.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как находить ранг системы векторов

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Как найти ранг векторов

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A_v А₂. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

• 3) записать базис системы векторов Б = (А_рА₂, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
• 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A _t ay + А₂х₂ + . + А„х_п = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Разрешенная система имеет вид

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б_: = (A_VA₂), которые соответствуют разрешенным неизвестным х₁ и х₂. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А₃ являются координаты вектора А’₃ = (3, -2), т.е. коэффициенты при х₃ в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х₃ А₃ = ЗЛ₁ — 2А_г Аналогично, коэффициентами разложения вектора А₄ являются координаты вектора А’₄ = (4, 1) А₄ = 4А_у + 1 А_т

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я₉₄ = 1.

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

86. Ранг системы векторов и ранг матрицы. Основная теорема о двух системах векторов

Теорема 1. Пусть даны две системы векторов A1, A2, . AK, и B1, B2, . BM, которые обладают свойствами:

1) первая система линейно независима;

2) каждый вектор первой системы линейная комбинация векторов второй системы.

Тогда k £ m, т. е. число векторов первой системы не больше числа векторов второй системы.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу векторов второй системы, т. е. по M.

Пусть M=1. Докажем, что K=1. Допустим противное, что K>1. Тогда по второму условию каждый вектор системы A1, A2, . AK линейно выражается через вектор B1, т. е. AI = aIBI ; I=1,2. K, где все числа aI ≠ 0 ; I=1,2. K. Действительно, в противно случае какой-нибудь вектор AI = 0 и по свойству система A1, A2, . AK линейно зависим, что противоречит условию. Тогда из первых двух равенств первой системы получаем, что

Отсюда вектора A1, A2 образуют линейно зависимую подсистему системы векторов A1, A2, . AK, что противоречит свойству. Установленное противоречие доказывает справедливость теоремы при M=1.

Предположим, что утверждение теоремы справедливо для любой системы второго вида, содержащей M — 1 вектор, и докажем его для системы содержащей M векторов. По второму условию имеем систему K равенств :

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Онлайн калькулятор. Ранг матрицы.

Используя этот онлайн калькулятор для вычисления ранга матрицы, вы сможете очень просто и быстро найти ранг матрицы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления ранга матрицы, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисления ранга матрицы, а также закрепить пройденный материал.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Найти ранг матрицы

Введите значения Матрицы:

Ввод данных в калькулятор ранга матриц

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора ранга матриц

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.

Видео:19. Ранг матрицы. Ранг системы векторовСкачать

Теория. Ранг матриц.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Базис и ранг системы векторов

Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

• 1) часть является линейно независимой системой векторов;
• 2) каждый вектор системы разлагается по векторам части.

Диагональная система векторов является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части.

Если система уравнений

является разрешенной, то векторы-коэффициенты при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную часть системы векторов А_г, А₂, . А_п.

Векторы системы разлагаются по базису этой системы единственным образом.

Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен г, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из г векторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.

Построение базиса системы векторов А^, А₂, . А_п и разложений векторов по базису:

1. Рассмотреть систему уравнений А₁х₁+ А₂х₂ + . + А_пх_п = 0 и найти равносильную ей разрешенную систему уравнений

• 2. Найти диагональную часть системы векторов А, А’₂ , . А’_п.
• 3. Отметить векторы системы Ар А₂, . А_п, соответствующие диагональной части системы А, А’₂ , . А_п; они образуют базис системы -^•1,-^2» •••>
• 4. Разложить вектор Aj по диагональной части системы А’_г , А’₂ , . А_п ; вектор А,, 1

Разрешенная система уравнений, равносильная исходной, имеет вид

0 ’ А 4 = 1 ’ А 5 = 1

Разложим теперь векторы А₂ и А₃ по базису А_1г А₃, А₄. Для этого сначала разложим соответствующие векторы А₂ и А’₅ по диагональной системе А’₄ , А’₃ , А₄ , имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты:

Векторы А₂ и А₅ разлагаются по базису Ар А₃, А₄ с теми же коэффициентами, что и векторы А’₂ и А₃ по диагональной системе А₄ , А’₃ , А₄ :

Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

4.47. Найти базис системы векторов

содержащий вектор А₅, и все векторы, не входящие в этот базис, разложить по базису.

4.48. Найти базис системы векторов

содержащий векторы А₂ и А₃, и векторы, не входящие в этот базис, разложить по базису.

4.49. Найти два базиса системы векторов

единственными общими векторами которых служат А₂ и А₄.

Найти все базисы системы векторов:

4.53. Ai = (1, 0, 1, 0),

• 4.54. Доказать, что линейно зависимая система ненулевых векторов содержит два различных базиса.
• 4.55. Доказать, что система векторов, имеющая только один базис, линейно независима.
• 4.56. Вектор разлагается по остальным векторам системы A_lf А₂, . А_т, которая не содержит нулевых векторов. Доказать, что система A_lt А₂, . » А_т обладает базисом, который не содержит вектора Ар
• 4.57. Вектор А_г не разлагается по остальным векторам системы Ар А₂, . А_т, которая не содержит нулевых векторов. Доказать, что каждый базис системы векторов A_lf А₂, . А_тсодержит вектор Ар
• 4.58. Каждый вектор системы Ар А₂, . А_т разлагается по своей части В₁₉ В₂, . В_k. Доказать, что каждый базис системы векторов Вр В₂, является базисом системы Ар А₂, . А_т.
• 4.59. Найти какой-нибудь базис системы ненулевых векторов Ар А₂, А₃, А₄, если каждый вектор этой системы разлагается по предыдущим векторам.
• 4.60. Доказать, что если в системе Ар А₂, . А_т, А₁ Ф 0, вычеркнуть все векторы, которые разлагаются по предыдущим векторам, то получится базис системы Ар А₂, . А_т.
• 4.61. Каждая линейная комбинация векторов Вр В₂, . В_т, отличная от нулевого вектора, не разлагается по системе векторов Ар А₂, . »А_п. Доказать, что объединение базисов систем векторов Ар А₂, . А_п и Вр В₂, . В_т будет базисом объединенной системы Ар А₂, . А_п, Вр В₂, . В_т.
• 4.62. Найти все различные базисы системы ненулевых векторов Ар А₂, А₃, А₄, если каждый вектор этой системы разлагается по предыдущим векторам.
• 4.63. В системе векторов Ар А₂, А₃, А₄, А₅ ранга 3 векторы А₁ и А₃, а также А₂ и А₄ пропорциональны. Найти все базисы этой системы.

• 4.64. В системе А_1? А₂, А₃, А₄ ранга 3 вектор А₄ = 2А₁ — А₃. Найти все базисы этой системы векторов.
• 4.65. Система ненулевых векторов А₁,А₂, . A_k+1, содержащая два пропорциональных вектора, имеет ранг k. Сколько различных базисов содержит эта система?
• 4.66. Система векторов А_х — А₂, А₂ — А₃, А₃ — А₄, А₄ + Aj линейно независима и вектор В не разлагается по этой системе. Найти ранг системы векторов Ар А₂, А₃, А₄, В.
• 4.67. Доказать, что ранг системы А_г + В_±, А₂ + В₂, . А_п + В_п не превосходит ранга системы векторов Ар А₂, . А_п, Вр в₂. в_п.
• 4.68. Ранг системы векторов Ар А₂, . А_п равен г. Найти ранг системы векторов Ар А₂ — Ар . А_п — А_п _ j.
• 4.69. Пусть ранг системы векторов Ар А₂, . А_т равен k. Доказать, что каждая часть системы векторов Ар А₂, . А_т, содержащая более k векторов, линейно зависима.
• 4.70. Ранг некоторой части системы векторов равен рангу всей системы векторов. Доказать, что каждый базис этой части является базисом всей системы векторов.
• 4.71. Доказать, что ранг системы векторов Ар А₂, . Ар A_{fe +} p . А_т не превосходит суммы рангов ее частей Ар А₂, . А_йиА_й+р . А _то.
• 4.72. Пусть ранг системы векторов Ар А₂, . А_т равен г и вектор В не разлагается по системе Ар А₂, . А_т. Доказать, что ранг системы векторов Ар А₂, . А_т, В равен г -I- 1.
• 4.73. Каждый вектор системы A_lf А₂, . А_т ранга г разлагается по векторам системы ВрВ₂,В_п ранга r+ 1. Доказать, что в системе Вр В₂, . В_п найдется такой вектор, который не разлагается по системе Ар А₂, . А_т.
• 4.74. Векторы Вр В₂, . В_г образуют базис системы A_lfА₂, . А_т hAj — ненулевой вектор, не входящий в этот базис. Доказать, что в системе Вр В₂, . В_г найдется такой вектор B_z,

Видео:Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvyСкачать

87. Базис и ранг системы векторов. Теорема о базисах

Пусть V векторное пространство над полем Р, S — система векторов из V.

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема B1, B2, . BR системы S, что любой вектор системы S линейная комбинация векторов B1, B2, . BR.

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S. Обозначается ранг системы векторов S символом R = rangS.

Если S = , то система не имеет базиса и предполагается, что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов A1 = (1,2), A2 = (2,3), A3 = (3,5), A4 = (1,3). Вектора A1 , A2 образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и A3 = A1 + A2 , A4 = 3A1 — A2 . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть S — конечная система векторов из V , S ≠ . Тогда справедливы утверждения.

1° Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2° Система S обладает базисом.

2° Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов, т. е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4° Если R = rangS, то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5° Если R = rangS, То любые k > r векторов системы S линейно зависимы.

6° Любой вектор A € S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т. е., если B1, B2, . BR базис системы S, то

И такое представление единственно.

В силу 5° базис это Максимально линейно независимая подсистема системы S, а ранг системы S число векторов в такой подсистеме.

Представление вектора A в виде (1) называется Разложением вектора по векторам базиса, а числа a1, a2, . ar называются Координатами вектора A В данном базисе.

Доказательство. 1° Пусть B1, B2, . BK — линейно независимая подсистема системы S. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора нашей подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через вектора B1, B2, . BK , то обозначим его через BK+1 . Тогда системы B1, B2, . BK , BK+1 — линейно независима. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора этой подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через B1, B2, . BK , BK+1, то повторим рассуждения. Продолжая этот процесс, мы либо придем к базису системы S , либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Так как в системе S конечное число векторов, то вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно и на некотором шаге получим базис системы S.

2° Пусть S конечная система векторов и S ≠ . Тогда в системе S есть вектор B1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S . По первой части его можно дополнить до базиса системы S . Таким образом система S обладает базисом.

3° Допустим, что система S имеет два базиса:

По определению базиса система векторов (2) линейно независима и (2) Í S . Далее по определению базиса каждый вектор системы (2) линейная комбинация векторов системы (3). Тогда по основной теореме о двух системах векторов R £ S. Аналогично доказавается, что S £ R. Из этих двух неравенств следует R = S.

4° Пусть R = rangS, A1, A2, . AR — линейно независимая подсистема S. Покажем, что она является базисом систем S. Если она не является базисом, то по первой части ее можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, . AR, AR+1. AR+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

5° Если K векторов A1, A2, . AK (K > R) системы S — линейно независимы, то по первой части эту систему векторов можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, . AK, AK+1. AK+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

6° Пусть B1, B2, . BR базис системы S. По определению базиса любой вектор A € S есть линейная комбинация векторов базиса:

Доказывая единственность такого представления допустим противное, что есть еще одно представление:

Вычитая равенства почленно находим

Так как базис B1, B2, . BR линейно независимая система, то все коэффициенты ai — bi =0; I = 1, 2, . R. Следовательно, ai = bi ; I = 1, 2, . R и единственность доказана.

Видео:Ранг матрицыСкачать

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Видео:Ранг матрицыСкачать

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 — x 2 ) , . . . , ( x

n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3

1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5

1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x

1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x

2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

📸 Видео

Линейная зависимость векторов. РангСкачать

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Базис линейного пространства (01)Скачать

Линейная алгебра, 6 урок, Ранг матрицыСкачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

11. Ранг матрицыСкачать