Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
1.Вектор и его абсолютная величина
Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор
. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:
. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора
имеют одинаковое направление. А вектора
Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.
Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.
Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.
Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора
с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут:
Координаты нулевого вектора равны нулю.
Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.
Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.
Рис.2 Координаты вектора.
Видео:Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.Скачать
2.Сложение векторов
Пусть заданы два вектора со своими координатами
(b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами
В векторной форме можно записать так:
Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.
Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор
параллельным переносом так, чтобы конец вектора
совпадал с началом вектора
. Тогда начало вектора
и конец вектора
и будет сумма векторов
По методу параллелограмма, если два вектора
имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор
Разностью двух векторов
называется такой вектор
, который нужно прибавить к вектору
, чтобы получить вектор
Рис.3 Сложение векторов.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
3.Умножение вектора на число
Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:
Для любых двух векторов
число λ можно вынести за скобку λ (
Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что
Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:
Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)
Так как координаты вектора
(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов
Рис.5 Скалярное произведение векторов.
Отсюда вытекает следующий вывод:
если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора
параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.
Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор
переходит в вектор
. А это значит, что эти вектора равны.
Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору
Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов
Доказательство:
Найдем координаты векторов
Таким образом, координаты векторов следующие:
А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и xAB = xCD, yAB = yCD, то вектора
Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).
Пример 3
В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что
Доказательство:
, равный и параллельный вектору
от точки С. И отложим вектор
, равный и параллельный вектору
от точки В (Рис.8).
Тодга получим параллелограмм, в котором вектор
, так же как вектор
. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то
Отсюда можно сделать вывод: так как
Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.
Пример 4
(-3;-2). Найдите вектор
и его абсолютную величину.
Решение:
, то найдем его координаты:
Теперь найдем его абсолютную величину:
| 2 = (-1) 2 + (-4) 2 = 17
| =
(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы
Рис.9 Задача. Даны векторы
Пример 5
Найдите угол между векторами
Решение:
По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:
Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /
Таким образом, угол между векторами
(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами
(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>
Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
§11.2. Операции с векторами и их свойства
Суммой векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) и b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) называется вектор c ⟶ ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) , a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) + b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) = c ⟶ ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) .
Для любых векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) , b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) справедливы равенства
a ⟶ + b ⟶ = b ⟶ + a ⟶ , a ⟶ + ( b ⟶ + c ⟶ ) = ( a ⟶ + b ⟶ ) + c ⟶ .
Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство A B ⟶ + B C ⟶ = A C ⟶ .
Вектор A B ⟶ имеет координаты x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , вектор B C ⟶ имеет координаты x 3 — x 2 , y 3 — y 2 . Следовательно, вектор A B ⟶ + B C ⟶ имеет координаты x 3 — x 1 , y 3 — y 1 Вектор A C ⟶ имеет такие же координаты. По теореме 11.5 A B ⟶ + B C ⟶ = A C ⟶ . Теорема доказана.
Рис. 11.2.1. Правило треугольника Рис. 11.2.2. Построение суммы векторов по правилу треугольника
Замечание. Теорема 11.6 даёт следующий способ построения суммы произвольных векторов a ⟶ и b ⟶ . Надо от конца вектора a ⟶ отложить вектор b ′ ⟶ , равный вектору b ⟶ . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a ⟶ , а конец – с концом вектора b ′ ⟶ , будет суммой векторов a ⟶ и b ⟶ .
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Рис. 11.2.3. Правило параллелограмма
Разностью векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) и b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) называется такой вектор c ⟶ ( c 1 ; c 2 ) , который в сумме с вектором b ⟶ дает вектор a ⟶ : b ⟶ + c ⟶ = a ⟶ , откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.
Произведением вектора a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) на число λ называется вектор b ⟶ ( λ a 1 ; λ a 2 ) , т. е. λ a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) = b ⟶ ( λ a 1 ; λ a 2 ) .
Для любого вектора a ⟶ и чисел λ и μ ( λ + μ ) a ⟶ = λ a ⟶ + μ a ⟶ ;
Для любых двух векторов a ⟶ и b ⟶ и числа λ λ ( a ⟶ + b ⟶ ) = λ a ⟶ + λ b ⟶ .
Абсолютная величина вектора λ a ⟶ равна |λ || a|. Направление вектора λ a ⟶ при a ⟶ ≠ 0 совпадает с направлением вектора a ⟶ , если и противоположно направлению вектора a ⟶ , если λ
Построим векторы O A ⟶ и O B ⟶ , равные a ⟶ и λ a ⟶ соответственно (O – начало координат). Пусть a 1 и a 2 – координаты вектора a ⟶ . Тогда координатами точки A будут числа a 1 и a 2 , координатами точки B – числа λ a 1 и λ a 1 . Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.
Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a ⟶ и λ a ⟶ одинаково направлены. Если λ a ⟶ и λ a ⟶ противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора λ a ⟶ равна | λ a ⟶ | = ( λ a 1 ) 2 + ( λ a 2 ) 2 = | λ | a 1 2 + a 2 2 = | λ | | a ⟶ | . Теорема доказана.
Рис. 11.2.4.
Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов a ⟶ и b ⟶ существует такое число λ, что b ⟶ = λ a ⟶ .
Пусть a ⟶ и b ⟶ одинаково направлены. Векторы b ⟶ и ( | b ⟶ | | a ⟶ | ) a ⟶ одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину | b ⟶ | . Значит, они равны: b ⟶ = ( | b ⟶ | | a ⟶ | ) a ⟶ = λ a ⟶ , λ = | b ⟶ | | a ⟶ | . Если векторы a ⟶ и b ⟶ противоположно направлены, аналогично заключаем, что b ⟶ = — ( | b ⟶ | | a ⟶ | ) a ⟶ = λ a ⟶ , λ = — | b ⟶ | | a ⟶ | . Теорема доказана.
Пусть a ⟶ и b ⟶ – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор c ⟶ можно единственным образом представить в виде c ⟶ = λ a ⟶ + μ b ⟶ .
Пусть A и B – начало и конец вектора c ⟶ . Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам a ⟶ и b ⟶ . Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем A B ⟶ = A C ⟶ + C B ⟶ . Так как векторы a ⟶ и A C ⟶ коллинеарны, то A C ⟶ = λ a ⟶ ; так как векторы C B ⟶ и b ⟶ коллинеарны, то C B ⟶ = μ b ⟶ . Таким образом, c ⟶ = λ a ⟶ + μ b ⟶ .
Рис. 11.2.5. К теореме 11.9
Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что c ⟶ = λ a ⟶ + μ b ⟶ существуют числа λ 1 и μ 1 такие, что c ⟶ = λ 1 a ⟶ + μ 1 b ⟶ и при этом верно хотя бы одно из соотношений λ ≠ λ 1 , μ ≠ μ 1 . Пусть для определенности λ ≠ λ 1 . Тогда из равенства λ a ⟶ + μ b ⟶ = λ 1 a ⟶ + μ 1 b ⟶ имеем a ⟶ = μ — μ 1 λ 1 — λ b ⟶ . На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы a ⟶ и b ⟶ коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) и b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) называется число a 1 b 1 + a 2 b 2 . Скалярное произведение векторов a ⟶ и b ⟶ обозначется a ⟶ b ⟶ .
Для любых векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) , b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) и c ⟶ ( c 1 ; c 2 ) верно:
a ⟶ b ⟶ = b ⟶ a ⟶ ;
( λ a ⟶ ) b ⟶ = λ a ⟶ b ⟶ ;
( a ⟶ + b ⟶ ) c ⟶ = a ⟶ c ⟶ + b ⟶ c ⟶ .
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Пусть a ⟶ и b ⟶ – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем: ( a ⟶ + b ⟶ ) 2 = ( a ⟶ + b ⟶ ) ( a ⟶ + b ⟶ ) = ( a ⟶ + b ⟶ ) a ⟶ + ( a ⟶ + b ⟶ ) b ⟶ = ( a ⟶ a ⟶ ) + ( b ⟶ a ⟶ ) + ( a ⟶ b ⟶ ) + ( b ⟶ b ⟶ ) = ( a ⟶ ) 2 + 2 a ⟶ b ⟶ + ( b ⟶ ) 2 . или | a ⟶ + b ⟶ | 2 = | a ⟶ | 2 + | b ⟶ | 2 + 2 a ⟶ b ⟶ . Скалярное произведение a ⟶ b ⟶ , таким образом, выражается через длины векторов a ⟶ , b ⟶ и a ⟶ + b ⟶ , т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора a ⟶ , а сам вектор a ⟶ лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a ⟶ будут числа | a ⟶ | и 0, а вектора b ⟶ – b → cos φ и b → sin φ . По определению a ⟶ b ⟶ = | a ⟶ | ċ | b ⟶ | cos φ + 0 ċ | b ⟶ | sin φ = | a ⟶ | ċ | b ⟶ | cos φ .
Рис. 11.2.6. Скалярное произведение двух векторов
Единичные векторы l 1 ⟶ ( 1 ; 0 ) и l 2 ⟶ ( 0 ; 1 ) , имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Любой ненулевой вектор a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде a ⟶ = a 1 l 1 ⟶ + a 2 l 2 ⟶ .
Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 a ⟶ = λ l 1 ⟶ + μ l 2 ⟶ . Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор l 1 ⟶ ( 1 ; 0 ) . Имеем a ⟶ l 1 ⟶ = λ l 1 ⟶ l 1 ⟶ + μ l 2 ⟶ l 1 ⟶ . С учетом того, что l 1 ⟶ и l 2 ⟶ ортогональны, имеем a 1 ċ l + a 2 ċ 0 = λ ( l ċ l + 0 ċ 0 ) ; λ = a 1 . Аналогично, умножая равенство на l 2 ⟶ , получим a ⟶ l 2 ⟶ = μ l 2 ⟶ l 2 ⟶ или a 1 ċ 0 + a 2 ċ l = μ ( 0 ċ 0 + l ċ l ) ; μ = a 2 . Таким образом, для любого вектора a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) получается разложение a ⟶ = λ l 1 ⟶ + μ l 2 ⟶ . Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.
= 1 / 
Рис. 11.2.1. Правило треугольника 
Рис. 11.2.2. Построение суммы векторов по правилу треугольника
Рис. 11.2.3. Правило параллелограмма
Рис. 11.2.4.
Рис. 11.2.5. К теореме 11.9
Рис. 11.2.6. Скалярное произведение двух векторов
