Как начертить 32 угольник в окружности (3 видео)

Построение правильных многоугольников

Содержание

Задача 1
Задача 2
Геометрия
Понятие правильного многоугольника
Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника
Формулы для правильного многоугольника
Построение правильных многоугольников
Презентация на тему Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
Описание презентации по отдельным слайдам:
🔥 Видео

Задача 1

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Дано: отрезок DC.

Построить: правильный шестиугольник, сторона которого равна DC.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся тем, что сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, т.е. (смотри формулу для вычисления стороны правильного многоугольника), где — радиус окружности описанной около правильного многоугольника. Нам нужно построить правильный шестиугольник со стороной DC, поэтому с помощью циркуля измеряем отрезок DC и строим окружность радиуса DC, и отмечаем на ней произвольную точку А₁, центр окружности обозначаем буквой О.

Затем не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, так, чтобы выполнялись равенства

А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ = А₄А₅ = А₅А₆ = DC (т.е. сначала строим окружность радиуса DC с центром в точке А₁ (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным), данная окружность пересечет окружность с центром О в точке А₂, далее аналогично строим окружность радиуса DC с центром в точке А₂, она пересечет окружность с центром О в точке А₃ и т.д.).

Теперь соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

Задача 2

Дан правильный -угольник. Построить правильный 2-угольник.

Дано: правильный -угольник А₁А₂А₃. А_n.

Построить: правильный 2-угольник.

Решение:

Пусть, например, нам дан шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆, значит, построить нужно двенадцатиугольник.

Сначала опишем около данного шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆ окружность. Для этого построим биссектрисы углов А₁ и А₂. Чтобы построить биссектрису угла А₁, строим окружность произвольного радиуса с центром в точке А₁ (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), данная окружность пересечет стороны А₁А₂ и А₁А₆ угла А₁ в точках Е и К. Затем строим две окружности с центрами в точках Е и К радиуса ЕК (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом), данные окружности пересекутся в точке Р. Далее проводим луч А₁Р, который и будет биссектрисой угла А₁.

Аналогично строим биссектрису угла А₂.

Точку пересечения биссектрис углов А₁ и А₂ обозначаем буквой О и строим окружность радиуса ОА₁ с центром О (окружность описанная около А₁А₂А₃А₄А₅А₆).

Далее нужно каждую из дуг А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, А₄А₅, А₅А₆, А₆А₁ разделить пополам. Чтобы разделить дугу А₁А₂ пополам, построим серединный перпендикуляр к отрезку А₁А₂. Для этого строим две окружности с центрами в точках А₁ и А₂ радиуса А₁А₂ (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Данные окружности пересекутся в двух точках, одну обозначим буквой М, а другая совпадет с точкой О, т.к. у шестиугольника сторона равна радиусу (с другими многоугольниками совпадения с точкой О не будет) . Затем проводим прямую МО, данная прямая пересечет дугу А₁А₂ в точке В₁, которая и разделит дугу А₁А₂ пополам. Далее точку В₁ соединяем с концами А₁ и А₂ дуги А₁А₂.

Аналогично находим точки В₂, В₃. Точки В₄, В₅, В₆ в данном случае строить необязательно, они получаются автоматически при построении точек В₁, В₂, В₃, т.к. шестиугольник симметричная фигура.

Мы выполняли построения на примере правильного шестиугольника, если мы имеем произвольный правильный -угольник, то все построения выполняются аналогично.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный треугольник и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный шестиугольник, затем правильный двенадцатиугольник и вообще 2 k -угольник, где — любое целое число, больше двух.

Замечание

Не все правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Построение пятиугольника циркулем и линейкойСкачать

Геометрия

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Видео:Построение шестнадцатиугольника циркулемСкачать

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ 14-УГОЛЬНИК [construction of regular tetradecagon]Скачать

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой a_n, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a₄– это сторона квадрата, a₆– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Видео:Построение 12 угольника циркулемСкачать

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

Видео:Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Презентация на тему Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Построение 10 угольника циркулемСкачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Конференция
по теме
” Построение правильных
многоугольников циркулем и линейкой ”

Цель урока
Создать условия для более глубокого усвоения знаний по теме, высокого уровня обобщения и систематизации знаний.

Методические задачи
Выяснить , всякий ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки;
Повторить способы построения правильных многоугольников и познакомить с новыми способами;
Познакомить с приближенными построениями правильных многоугольников (способы А Дюрера, Биона, Ф.Коваржика);
Познакомить с перспективными технологиями и новыми разработками построения правильных многоугольников;
Показать применение правильных многоугольников в окружающем нас мире.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Многоугольник- это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. На рисунке 1 многоугольник F1 выпуклый, а многоугольник F2 невыпуклый.
Многоугольник называется невыпуклым, если прямая, содержащая сторону многоугольника разбивает его на две части.
Все треугольники выпуклы, а многоугольники с большим числом сторон могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Правильные многоугольники
На рисунке 1 представлены правильный треугольник , шестиугольник и четырех угольник.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Радиус описанного круга -это радиус правильного многоугольника, а радиус вписанного круга –его апофема.
Правильные многоугольники всегда выпуклые, но существуют и самопересекающиеся замкнутые ломаные, имеющие равные звенья и углы. Фигуры такого вида называются правильными звездчатыми многоугольниками или полиграммами, по аналогии с пентаграммой — правильной пятиконечной звездой (изображена внутри правильного пятиугольника на рис.2).
Любой правильный многоугольник, выпуклый или звездчатый, можно наложить сам на себя так, чтобы одна из двух произвольно заданных сторон совпала с другой; то же верно для любых двух его вершин. И обратно: многоугольник, обладающий обоими этими свойствами, правильный. Но существуют неправильные многоугольники, у которых такое свойство справедливо только для сторон, как у ромба, или только для вершин, как у прямоугольника.
Имеется 2n способов совместить правильный n-угольник сам с собой: половина из них — повороты вокруг одной и той же точки, его центра, на углы, кратные360°/ n, вторая половина — n симметрий относительно прямых, соединяющих центр с вершинами и серединами сторон. Центр правильного многоугольника равноудален от всех его сторон и от всех вершин, поэтому он служит одновременно центром вписанной и описанной окружностей многоугольника (рис.3 )

Великий математик, механик и инженер древности Архимед
(греч. Αρχιμήδης, родился 287 до н. э. — 212 до н. э.)
Периметр (сумма длин сторон) правильного n-угольника при заданном числе сторон n наиболее близок к длине его описанной окружности среди всех вписанных в нее n-угольников; таким же свойством он обладает и по отношению к вписанной окружности. Поскольку вычисление длины окружности считалось в древности весьма важной задачей, много усилий было затрачено на то, чтобы научиться оценивать периметр вписанной в нее правильного многоугольника при достаточно больших n. Особенно преуспел в этом Архимед.

Евклид
( родился в 330 году до н. э. в небольшом городке Тире, недалеко от Афин).
Впрочем, правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных задолго до Архимеда. Пифагорейцы, в философии которых числа играли главную роль, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, т. е. о построении правильного вписанного многоугольника. В «Началах» Евклида приводятся построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон от трёх до шести, а также пятнадцати угольника. Этим последним особенно интересовались: согласно измерениям древних астрономов, угол наклона плоскости эклиптики к экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е. 24°(истинное значение чуть меньше -23°27′). Задача о построение правильных многоугольников была полностью решена лишь спустя два тысячелетия.

Теорема. Многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым. Если все стороны вписанного многоугольника равны, то он является правильным.

Доказательство. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn, вписанный в окружность с центром О. Докажем сначала, что этот многоугольник выпуклый. Для этого нужно доказать, что он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону многоугольника. Докажем, например, что он лежит по одну сторону от прямой А1А2. Для этого достаточно убедиться в том, что вершины А3А4,…, Аn принадлежат одной и той же полуплоскости с границей А1А2. Рассмотрим полуплоскость с границей А1А2, в которой лежит точка А3. Точка А4 принадлежит этой же полуплоскости, так как в противном случае прямая А1А2 пересекает дугу А3А4 окружности и, следовательно, имеет с окружностью больше двух точек, что невозможно. Точно так же вершина А5 и все остальные вершины принадлежат этой же полуплоскости. Аналогично доказывается, что многоугольник лежит по одну сторону от каждой из этих прямых А2А3 ,…, АnА1.

Пусть все стороны вписанного многоугольника равны: А1А2 = А3А4 =…= Аn-1Аn = АnА1. Докажем, что углы многоугольника также равны: угол А1= угол А2=…=угол Аn. Если n=3, то это утверждение очевидно. Допустим, что n >3, и рассмотрим вершины Аn, А1, А2, А3 (рис.4).
Треугольники ОАnА1, ОА1А2, ОА2А3 равны друг другу по трем сторонам, а так как эти треугольники равнобедренные, то угол1= угол 2=угол 3= угол 4. Поэтому угол А1= угол1+угол 2= угол 3+ угол 4= угол А2. Точно также доказывается равенство других углов многоугольника. Следовательно, многоугольник А1А2…Аn правильный.

Каково бы ни было число n, больше двух, существует правильный n-угольник.

Возьмем какую-нибудь окружность с центром в точке О и разделим её на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (рис.5, на этом рисунке n=8).

Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними), поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда согласно доказанной теореме следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник.
В пространстве фигурой, аналогичной правильному многоугольнику, является правильный многогранник- выпуклый многогранник, у которого все грани- правильные равные друг другу многоугольники и к каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Интересно отметить, что в отличие от правильных многоугольников, которые могут иметь любое (больше двух) число сторон, существует лишь конечное число различных типов правильных многогранников. Ещё Евклид доказал, что таких типов только пять: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр), двадцатигранник (икосаэдр).

Основные формулы.
Вычисление угла правильного многоугольника :

Сторона правильного многоугольника :

Площадь правильного
многоугольника :

Радиус вписанной окружности :

.Применение формул
Для правильного треугольника

Для правильного четырехугольника

Для правильного шестиугольника
Теорема. Правильные одноимённые многоугольники подобны и стороны их относятся как радиусы или апофемы.
Следствие. Периметры правильных одноимённых многоугольников относятся как радиусы или как апофемы.

Построение правильного многоугольника
по его стороне (с использованием поворота)
Правильным называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Предварительно необходимо вычислить внутренний угол правильного многоугольника. Из школьного курса геометрии вам известно (или будет известно немного позже), что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n — 2). Исходя из этой теоремы, несложно вычислить величину внутреннего угла правильного многоугольника. В таблице ниже приведены значения сумм углов и внутренних углов для некоторых правильных многоугольников.

Зная величину внутреннего угла правильного многоугольника, построить сам многоугольник не составит труда.
Построим две точки — две соседние вершины многоугольника.
Одну из точек отметим как центр поворота, выделим вторую точку и повернём её на внутренний угол. В результате будет построена третья вершина многоугольника.
Только что построенную точку отметим в качестве центра поворота и повернём на внутренний угол соседнюю вершину (бывший центр). Будет построена четвёртая вершина.
Третий шаг будем повторять до тех пор, пока не будут построены все вершины многоугольника.
Последовательно соединить вершины многоугольника отрезками.

Любой ли правильный многоугольник можно построить
с помощью циркуля и линейки ?

Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая — искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n — данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k — любое натуральное число.

Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:

Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки .

Задача №1. Построение правильного шестиугольника и треугольника.

Согласно формуле аn= 2R*sin180°/n сторона АВ правильного шестиугольника равна радиусу R описанной окружности. Поэтому, если задан произвольный отрезок PQ, то для построения правильного шестиугольника, стороны которого равны PQ, достаточно построить окружность радиуса PQ, взять на ней произвольную точку А и, не меняя раствора циркуля, отметить на этой окружности последовательно точки B, C, D, E, F так, чтобы AB=BC=…=EF=PQ. Проведя затем отрезки AB, BC, CD, DE, EF, FA, получим шестиугольник ABCDEF, который согласно теореме о правильном многоугольнике является правильным, причем его стороны равны отрезку PQ.
Для того, чтобы построить правильный треугольник нужно соединить точки данного шестиугольника через одну, значит соединим точки A,C и E. Треугольник ACE- искомый.

Задача №2. Построение правильного четырехугольника и восьмиугольника.

Пусть w-данная окружность с центром в точки О и радиусом R. Через точку О проведем диаметр АС и к этому диаметру проведем серединный перпендикуляр, который пересечет окружность w в двух точках В и D.Теперь последовательно соединим точки A,B,C и D. ABCD-искомый квадрат.

Для того, чтобы построить правильный восьмиугольник нужно сначала построить правильный четырехугольник, например, А1А3А5А7-квадрат, потом построить биссектрисы углов А1OА3, А3OА5, А5OА7, А7OА1, которые прересекут окружность в точках А2, А4, А6, А8 соответственно, затем последовательно соединить точки А1,А2,А3,А4,А5,А6,А7,А8. А1А2. А8-искомый восьмиугольник.

.
Задача №3. Найти углы правильного десятиугольника и выразить его сторону через радиус R описанной окружности.

Решение. По формуле аn=(n-2)/n*180° находим угол а10 правильного десятиугольника: а10=(10-2)/10*180°= 144°.
Пусть АВ- сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R с центром в точке О.
По формуле аn= 2R*sin180°/n АВ=2R*sin18°. Получим другое выражение для стороны АВ. С этой целью рассмотрим треугольник АВО и проведем его биссектрису АС. Так как угол АОВ= 360°/10= 36°, то угол ОАВ= (180°-36°)/2= 72°, угол ВАС= 1/2*угол ОАВ= 1/2*72°= 36°.
Отсюда следует, что треугольник АОВ

треугольнику САВ по двум углам (угол АОВ = угол ВАС= 36°, угол В -общий). Поэтому АВ=АС и АВ/ОВ= ВС/АВ. Далее, треугольник АОС равнобедренный (угол АОС= угол ОАС= 36°), следовательно, АС=ОС.
Итак, АВ=АС=ОС=R-BC, откуда ВС=R-АВ, и пропорцию АВ/ОВ=ВС/АВ можно записать в виде АВ/R=(R-AB)/AB. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно АВ:
АВ + R*АВ -R =0. Решая это уравнение и учитывая, что АВ>0, находим АВ= R/2( 5-1) (Замечание. Сравнивая полученное выражение для АВ с равенством АВ=2R*sin18°, находим значение sin18°: sin18°= ( 5-1)/4

Задача 4. Построение правильного десятиугольника и пятиугольника.
Пусть w- данная окружность радиуса R c центром О. Построим сначала правильный десятиугольник, вписанный в окружность w. Для этого проведем взаимно перпендикулярные радиусы ОА1 и ОВ окружности w и на отрезке ОВ как на диаметре построим окружность с центром С. Отрезок А1С пересекает эту окружность в некоторой точке D. Докажем, что отрезок А1D равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность w. В самом деле,

А1D=А1С-R/2, А1С= А1О + ОС = R +( R /2) = 5 R /4 = R 5/2
А1D= R 5/2 – R/2 = R /2 ( 5-1)
Далее отметим на окружности w точки А2, А3, … , А10 так, что А1А2= А2А3=… =А9А10 = А1D. Десятиугольник А1А2…А10-искомый.

Для того, чтобы построить правильный пятиугольник нужно соединить точки данного десятиугольника через одну, значит соединим точки А1,А3,А5,А7,А9. Пятиугольник А1А3А5А7А9- искомый.

.
Задача 5. В данную окружность вписать правильный пятнадцатиугольник.

Решение. Пусть w- данная окружность радиуса R с центром O и АВ — сторона правильного вписанного в эту окружность десятиугольника, а АС- сторона правильного вписанного шестиугольника, причем точки В и С расположены на окружности так, как показано на рисунке а). Тогда, очевидно, дуга АВ=36°, дуга АС=60° , поэтому дуга ВС=24° . Следовательно, угол ВОС=24°=360°/15°, и, значит, отрезок ВС- сторона правильного пятнадцатиугольника, вписанного в окружность w. Так как мы умеем строить циркулем и линейкой отрезки АВ=((корень из 5-1)/2)*R и АС=R (рис.б)), то можем построить отрезок ВС.
Возьмем далее на окружности w произвольную точку А1 и, пользуясь циркулем, отметим на этой окружности последовательно точки А2, А3,…, А15 так, что А1А2 = А2А3=…= А14А15= ВС. Проведя затем отрезки А1А2, А2А3,…, А14А15, А15А1, получим искомый правильный пятнадцатиугольник А1А2…А15 (рис. в)).

Задача №6. Дан правильный n-угольник А1А2. Аn, вписанный в окружность с центром О. Построить n-угольник, сторона которого равна данному отрезку PQ.

Решение. Проведем лучи ОА1, ОА2. ОАn и на этих лучах построим вершины искомого n-угольника. Для этого на луче А2А1 отложим отрезок А2С, равный отрезку PQ, и через точку С проведем прямую, параллельную прямой ОА2 (на рисунке n=8). Точку пересечения этой прямой с лучом ОА1 обозначим В1. Проведем теперь окружность с центром О радиуса ОВ1 и обозначим через В2, В3. Вn точки пересечения этой окружности с лучами ОА2, ОА3. ОАn. Построим, наконец, отрезки В1В2, В2В3. ВnВ1. Получим искомый правильный n-угольник В1В2. Вn.

Приближённые построения правильных многоугольников

Приближенное построение правильного пятиугольника способом
А. Дюрера.

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:»Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J.
Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник.»

Построение правильного вписанного в окружность многоугольника с любым числом сторон.
Один из таких практических методов, позволяющий построить правильный вписанный в окружность многоугольник с любым числом сторон известен как приём Биона(рис.1).

Пусть дана окружность и АВ — её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.(На рис.1 приведено построение стороны правильного семиугольника.) При n=5,7,9,10 погрешность построения не привышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%.
Среди различных подходов к построению правильных многоугольников выделяется задача на построение правильного многоугольника по данной стороне. Ещё в XV в. великий художник Леонардо да Винчи (1452-1519), занимаясь такими построениями, установил соотношение между стороной многоугольника и апофемой:
аn/2 : ha =3/(n-1)(рис.2), которое можно выразить так: tg180°/n =3/(n-1).

1888 г. в журнале » Вестник опытной физики и элементарной математики» появилась статья Ф. Коваржика, где он предложил общий способ построения правильных многоугольников по данной стороне (рис.3).

Пусть АВ- сторона правильного n-угольника, который требуется построить. На АВ строим равно
сторонний треугольник АВС, из точки С опускаем перпендикуляр CD на АВ и продолжаем его. Затем делим АВ на 6 равных частей и такие откладываем на СD по обе стороны от С. Точки деления являются центрами окружностей, описанных около искомых многоугольников. Перенумеровав эти точки, как показано на рисунке, получим, что, например, А7 — радиус окружности, описанной около семиугольника, сторона которого равна АВ.
Для шестиугольника и двенадцатиугольника такое построение даёт точный результат. Докажем, что для других значений n предложенное построение обладает достаточно высокой точностью. Пусть величина центрального угла ANB некоторого n-угольника равна х. Обозначим АВ через а. Тогда по

теореме Пифагора CD= а — (а/2) = а / 2 ,
NC=(n-6/)*а/6
tgx/2=AD:ND=AD:(NC+CD)=
=a/2:((n-6)* а /6 + а /2)=
= a/2 🙁 а /2 *((n-6):3 + ))=
= 1:(( n-6):3 + )=
=1:((n-6 +3 ):3 )= 3:(n-6+3 )=
=3:((n-1)+0,19615)
(Сравните с результатом Леонардо да Винчи.)
Рассмотрим пример. Так, при n=7 tg x/2 =3/6,19615. Тогда х/2= 25°50’6» и х= 51°40’12», а центральный угол для правильного семиугольника равен 51°25’43».
Погрешность составляет:
0,56% для 15-угольника; 3% для 20-угольника; 14% для 30-угольника; 74% для 40-угольника.
Приближённые способы построения правильных многоугольников просты и удобны на практике, красивы и орнаментaльны.

И всё же существует единый способ построения правильного n-угольника, в основу которого положена известная вам теорема геометрии. После знакомства с этим способом вам необходимо назвать эту теорему.
Для построения многоугольника из 11 равных сторон проведем из точки А под острым углом к отрезку (диаметру) АВ, прямую линию. На ней циркулем-измерителем откладываем нужное число равных отрезков произвольной величины, в данном случае 11. Последнюю точку соединяем с точкой В. Из нечетных точек деления с помощью линейки и угольника проводим прямые, параллельные прямой 11В. Если провести через все точки, то поделим отрезок АВ на 11 равных частей.
Сейчас проведем дугу СД радиусом ВА до пересечения с горизонтальной осью. Из точек С и Д будем проводить через точки 1’, 3’,5’ и т.д. лучи до пересечения с окружностью. Соединяем полученные точки на окружности между собой, и таким образом, мы вписали в окружность правильный многоугольник. Какая теорема используется?
Теорема Фалеса.

Устройство для графического построения правильных многоугольников
Известно, что простого специального приспособления для графического построения правильных многоугольников с четным или нечетным количеством сторон не имеется. Но если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов — циркуля и линейки без делений — не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено и практически невозможно.
Предложено простое устройство для графического построения правильных многоугольников как с четным, так и нечетным количеством сторон.
Устройство (см.рисунок) представляет собой тонкую прозрачную или непрозрачную полимерную пластинку в виде полукруга с центром в точке Р. Основание полукруга представляет собой ровную линейку без делений. По внешней стороне полукруга с левой стороны нанесены риски с одним и тем же интервалом. Каждая риска обозначена цифрами от 1 до 35 (или кратными последней цифре, например 5, 10, 15 и т.д.). Расстояние между рисками выбрано по величине произвольно. Количество рисок на устройстве определяет максимальное количество сторон для построения правильного многоугольника.
С уменьшением расстояния между рисками возможно расположить по контуру полукруга большее количество рисок, что позволит строить правильные многоугольники с большим количеством сторон.
На правой стороне полукруга от точки В риской А отделена дуга величиной 60 градусов.

Графическое построение правильных многоугольников при помощи данного устройства производится следующим образом. Например, необходимо построить правильный 9-угольник. Для этого делают следующие шаги:
1. Проводят на листе бумаги горизонтальную линию.
2. Прикладывают полукруг сверху на проведенную линию и обводят по контуру полностью полукруг. После этого точками обозначают на листе бумаги риски с буквами Р, О, В, А, а также точки напротив рисок с цифрами 6 и 9.
3. Проводят линию между точками 6 и В.
4. Проводят два луча: один из точки Р через точку А, а второй — из точки 9 параллельно линии ОВ. Эти два луча пересекутся в точке, которую необходимо обозначить, например, буквой К.
5. Циркулем проводят полуокружность из точки М на линии ОВ так, чтобы эта полуокружность проходила через точки 9 и К. В этом случае точка М является точкой пересечения диаметра ОВ с перпендикуляром к середине отрезка, соединяющего точки 9 и К.
6. Проведенная циркулем полуокружность пересечет линию ОВ в точке Е, а ее продолжение за точку В — в точке Д, и, кроме того, она пересечет луч из точки В через точку 6 в точке С.
7. Циркулем откладывают на дуге КД дугу НД, равную дуге СЕ.
8. Проводят луч из точки Р через точку Н, который пересечет дугу АВ в точке Т. Величина дуги ВТ составит точно 1/9 часть окружности с центром в точке Р и радиусом РВ.
9. Откладывая на данной окружности девять размеров дуги ВТ и соединив соседние засечки отрезками, получают правильный 9-угольник, вписанный в окружность с центром в точке Р.
Точность графических построений зависит только от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых графических работ.

Проводят циркулем заданную окружность с центром в точке О произвольным радиусом, а затем проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СД.
Откладывают на окружности от точки Д влево семь равных между собой дуг, взятых произвольным размером: Д1, 12, 23, 34, 45, 56 и 6Е.
Соединяют отрезком точки В и Е, который пересечет диаметр СД в точке Р.
Соединяют отрезками точки О и 2, О и 3, О и 5, О и 4.
Проводят циркулем окружность через три точки 4, Р и Д. На рис.1 эта окружность не показана полностью из-за перегруженности линий на плоскости чертежа. Центр О1 данной окружности находится на отрезке О2, а окружность пересечет отрезок О2 в точке Х.
Проводят вторую окружность через другие три точки 4, Х и 2. Центр этой окружности находится в точке О2 на отрезке О3, и она пересекает отрезок О3 в точке У.
Проводят еще одну окружность через три точки Е, Р и З. Центр этой окружности О3 находится на отрезке О5, а окружность пересекает отрезок О5 в точке Z.
Проводят вновь окружность через три точки 5, Z и 3. Центр данной окружности находится на отрезке О4, а окружность пересекает отрезок О4 в точке Т.
Проводят циркулем дугу «n-n» из точки О как из центра через точку Т, которая пересечет отрезок О3 в точке К.
Проводят два луча от точки 4: один через точку К, а второй — через точку У.
Полученный угол К4У делят пополам биссектрисой Б, которая пересечет отрезок О3 в точке И.
Проводят циркулем дугу «m-m» из точки О как из центра через точку И, которая пересечет отрезок ОД в точке П.
Проводят луч из точки 1 через точку П, который пересечет в точке М заданную окружность с центром в точке О.
Откладывают на окружности с центром в точке О дугу МН, равную по величине дуге СМ, а затем от точки Н откладывают дугу НС1, равную по величине дуге СН.
Откладывают вновь на заданной окружности от точки С1 дуги С1С2, С2С3, С3С4, С4С5 и С5С6, равные дуге СС1.
Соединяют отрезками точки С и С1, С1 и С2, С2 и С3, С3 и С4, С4 и С5, С5 и С6, С6 и С, получая при этом правильный 7-угольник, вписанный в заданную окружность с центром в точке О.
Схема точного построения правильного семиугольника

Схема построения взаиморавных больших и малых
радиальных дуг

Абсолютная точность данных геометрических построений подтверждается математическими выкладками, а производимая точность самих построений зависит во многом от тщательности работ и точности применяемых инструментов.
Действительно, в одном и том же круге равные между собой малые дуги «а» и «в» на его окружности при равных углах a при вершине своих секторов позволяют получить равные между собой большие дуги «А» и «В» на этой же окружности, а, следовательно, и разделить заданную дугу с сумой больших дуг на равные между собой части.

А так ли уж важно изучать и знать сведения о правильных многоугольниках? В каких житейских ситуациях можно встретиться с правильными многоугольниками?
Историческая справка.
В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад. Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников (3600: 600 = 6), либо четыре квадрата (3600: 900 = 4), либо три правильных шестиугольника (3600: 1200 = 3), так как сумма углов с вершиной этой точки равна 3600. Вы не задумывались вот над таким вопросом: Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?
Пчелы – удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот. Если возьмем равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник одинаковой площади (показываю модели), то периметр шестиугольника будет наименьшим. (Р3 = 45,9 см., Р4 = 40 см., Р6 = 37,8 см.).
Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.
И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Платоновы тела
Платоновы тела — трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.
Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются «Начала» Евклида.
Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды
.Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.