Как доказать тождество векторов

Видео:Урок 5 ТОЖДЕСТВА. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Урок 5 ТОЖДЕСТВА. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ 7 КЛАСС

Векторное произведение векторов

Как доказать тождество векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Доказать тождествоСкачать

Доказать тождество

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Как доказать тождество векторов

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Как доказать тождество векторов

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

Как доказать тождество векторов

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

  • он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
  • он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
    Как доказать тождество векторов
  • длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
    Как доказать тождество векторов
  • тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Как доказать тождество векторов

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

  • Как доказать тождество векторов
  • Как доказать тождество векторов

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Как доказать тождество векторов

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:7 класс, 33 урок, ТождестваСкачать

7 класс, 33 урок, Тождества

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

Как доказать тождество векторов

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Как доказать тождество векторов

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Как доказать тождество векторов

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

Как доказать тождество векторов

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

  1. Антикоммутативность
    Как доказать тождество векторов
  2. Свойство дистрибутивности
    Как доказать тождество векторов

Как доказать тождество векторов
Сочетательное свойство
Как доказать тождество векторов

Как доказать тождество векторов

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Как доказать тождество векторов

Как доказать тождество векторов

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

Как доказать тождество векторов

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Видео:Докажите тождество. Алгебра 8 класс.Скачать

Докажите тождество. Алгебра 8 класс.

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Как доказать тождество векторов

Как доказать тождество векторов

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Как доказать тождество векторов

Как доказать тождество векторов

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Как доказать тождество векторов

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Как доказать тождество векторов

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Как доказать тождество векторов

Затем векторное произведение:

Как доказать тождество векторов

Вычислим его длину:

Как доказать тождество векторов

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Как доказать тождество векторов

Как доказать тождество векторов

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

Как доказать тождество векторов

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Как доказать тождество векторов

Видео:Доказать тождество. 7 классСкачать

Доказать тождество. 7 класс

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Как доказать тождество векторов

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.


источники:

🎦 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторное произведение векторовСкачать

Векторное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Тождественно равные выражения. Алгебра 7 класс.Скачать

Тождественно равные выражения. Алгебра 7 класс.

Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 10 класс тригонометрияСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 10 класс тригонометрия

Тождества. Тождественные преобразования выражений. 6 класс.Скачать

Тождества. Тождественные преобразования выражений. 6 класс.

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторы

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Докажите тождественность выраженийСкачать

Докажите тождественность выражений

Условие перпендикулярности векторов. 11 класс.Скачать

Условие перпендикулярности векторов. 11 класс.

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?
Поделиться или сохранить к себе: