Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Геометрия. 7 класс
Конспект урока

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Параллельные прямые.
  • Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
  • Признаки параллельности прямых.
  • Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

  • накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5.
  • односторонние: 3 и 5, 4 и 6.
  • соответственные: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6; 4 и 8.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

  1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
  2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
  3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Докажите: AB ║ CD.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

  1. ∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
  2. ∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
  3. ∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
  4. Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, но не принадлежит прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Говорят, что прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампересекаются в точке М.
Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Это можно записать так: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— знак принадлежности точки прямой, «Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламперпендикулярны (рис. 12), то пишут Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb.
  2. Если Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 90°, то а Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламАВ и b Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb.
  3. Если Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламОFА = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2). Из равенства этих треугольников следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламЗ = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4 и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам5 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам6.
  6. Так как Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам5 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам6 следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам6 = 90°. Получаем, что а Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламFF1 и b Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламFF1, а аКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам
2) Заметим, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламAOF = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламl + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180° и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180° следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламF и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3. Кроме того, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAF. Действительно, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4 и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламFAC равны как соответственные углы, a Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламFAC = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180° (рис. 97, а).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3= 180°.

4) Из равенств Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам= Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 = 180° следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAF + Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углама (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Так как Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = 90°, то и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = 90°, а, значит, сКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламb.

Что и требовалось доказать.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампараллельны, то есть Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, лучи АВ и КМ.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам(рис. 161).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, перпендикулярную прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами строят другую перпендикулярную прямую Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, затем — третью прямую Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами т. д. Поскольку прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламперпендикулярны одной прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, то из указанной теоремы следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, параллельной прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламтретьей прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам5,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам8,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам6,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам7,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам5,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам8 — соответственные углы;
  • Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам6,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам5 — внутренние односторонние углы;
  • Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам7,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— данные прямые, АВ — секущая, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 (рис. 166).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказать: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами продлим его до пересечения с прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 по условию, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBMK =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламANM =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBKM = 90°. Тогда прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 (рис. 167).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказать: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами секущей Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламl +Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180° (рис. 168).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказать: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами секущей Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламAOB = Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAO=Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAK = 26°, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAC = 2 •Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламADK +Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1=Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2. Так как Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам||Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Реальная геометрия

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампроходит через точку М и параллельна прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам||Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам(рис. 187).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказать: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам||Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Доказательство:

Предположим, что прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, параллельные третьей прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам||Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам4. Доказать, что Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Так как Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, которая параллельна прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, которые параллельны прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, АВ — секущая,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказать: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2.

Доказательство:

Предположим, чтоКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, параллельные прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— секущая,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 — соответственные (рис. 196).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказать:Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— секущая,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 иКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказать:Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламl +Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 +Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 = 180°. По свойству параллельных прямыхКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламl =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3 как накрест лежащие. Следовательно,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламl +Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, т. е.Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 = 90°. Согласно следствию Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, т. е.Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 = 90°.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламАОВ =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламABD =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламADB =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углампараллельны, то пишут: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам(рис. 211).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам3. Значит,Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам1 =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам2.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами АВКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, то расстояние между прямыми Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, А Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, С Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, АВКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, CDКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламCAD =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламравны (см. рис. 285). Прямая Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, проходящая через точку А параллельно прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, которая параллельна прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламбудет перпендикуляром и к прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAD +Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Тогда Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, параллельную прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Тогда Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам|| Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламравноудалены от прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламна расстояние Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, то есть расстояние от точки М до прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламравно Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Но через точку К проходит единственная прямая Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, параллельная Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Значит, точка М принадлежит прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам.

Таким образом, все точки прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламравноудалены от прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам. Прямая Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламКак доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам— параллельны.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углами Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим угламесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

§ 15. Свойства параллельных прямых

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°. Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP . Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный. Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

  1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
  5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Как доказать теорему о параллельных прямых по накрест лежащим углам

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

💡 Видео

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Теорема 14.3 Если соответственные углы равны, то прямые параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 14.3 Если соответственные углы равны, то прямые параллельны || Геометрия 7 класс ||

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым

Признак параллельности прямых. Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.Скачать

Признак параллельности прямых. Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: