Как доказать лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми (4 видео)

Содержание

Методика введения понятия «Параллельные прямые в пространстве»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Оставьте свой комментарий
Подарочные сертификаты
Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых
Геометрия. 10 класс
📹 Видео

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Методика введения понятия «Параллельные прямые в пространстве»

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Параллельные прямые в пространстве

Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: .

На рисунке a и b параллельны,
а прямые a и c , a и d не параллельны.

Докажем теорему о параллельности прямых.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство.
Рассмотрим прямую а и точку M , не лежащую на этой прямой.
Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (Следствие 1).
Обозначим эту плоскость буквой .

Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой и прямой , т.е. должна лежать в плоскости . Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а , и притом только одна.
На рисунке эта прямая обозначена буквой b .
Итак, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а .
Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей.
Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.

На рисунке отрезки CD и EF параллельны , а отрезки AB и CD не параллельны, отрезок AB параллелен прямой а .

Параллельность трех прямых

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Из курса планиметрии известно, что если 3 прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве. Сформулируем и докажем это утверждение.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство.
Пусть и . Докажем, что .
Для этого нужно доказать, что прямые а и b :
1) лежат в одной плоскости;
2) не пересекаются.
1. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой плоскость, проходящую через прямую а и точку К .

Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.
Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость , то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая c также пересекает плоскость .
Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости .
2. Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые ( а и b ), параллельные прямой с , что невозможно.
Теорема доказана.

Методика введения темы «Параллельны прямые в пространстве»

Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Параллельность прямых a и b обозначается так: .

Какие прямые на рисунке параллельны, а какие не параллельны?

На рисунке прямые a и b параллельны,
а прямые a и c , a и d не параллельны.

Докажем теорему о параллельности прямых.

Что нужно доказать?

1) Каким следствием из аксиомы мы воспользуемся, чтобы доказать, что существует единственная плоскость, которая проходит через прямую и точку, не лежащую на прямой?

2) Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой и прямой , т.е. должна лежать в плоскости .

Что из этого следует?

3) Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а , и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой b .

Итак, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а .
Теорема доказана.

2) b – единственная

1) Аксиома 1: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей.
Какие два отрезка называются параллельными?

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.

Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Какие отрезки на рисунке параллельны, а какие не параллельны?

На рисунке отрезки CD и EF параллельны , а отрезки AB и CD не параллельны, отрезок AB параллелен прямой а .

Попробуйте сформулировать это утверждение.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Что требуется доказать?

1) Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой плоскость, проходящую через прямую а и точку К .

2) Пусть прямая b пересекает плоскость . Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая c также пересекает плоскость .
Запишем:

Что следует из этих утверждений?

3) Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости .

Получаем противоречие, т.к. .

4) Докажем теперь, что прямые а и b не пересекаются.

Предположим, что они пересекаются.

Из этого следует, что через точку их пересечения проходят две прямые ( а и b ), параллельные прямой с:

Следовательно (по лемме)

Следовательно (по лемме).

Упражнение 1.
Какие две прямые на плоскости называются параллельными?

Какие две прямые в пространстве называются параллельными?

Упражнение 2.
Что означают слова: «Прямые лежат в одной плоскости»?

Упражнение 3.
Покажите рукой в аудитории прямые, через которые нельзя провести плоскость.

Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?

Упражнение 5.
Прямая . Верно ли, что ?

В параллелепипеде A … перечислите все пары параллельных ребер.

Даны две параллельные прямые. Будут ли все прямые, пересекающие обе данные прямые, лежать в одной плоскости? Почему?

Верно ли для пространства утверждение, справедливое на плоскости:
«Две прямые, перпендикулярные двум параллельным прямым, параллельны»?

Сколько пар параллельных ребер имеет:

б) треугольная призма;

Даны две параллельные прямые и точка, не принадлежащая им. Установите, принадлежит ли точка плоскости этих прямых.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 962 человека из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 340 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Лашичева Полина СергеевнаНаписать 701 30.11.2020

Номер материала: ДБ-1534458

30.11.2020 0

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Определение параллельных прямых;
Теорема о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку;
лемма о двух параллельных прямых;
теорему о параллельности трех прямых;
определение параллельных прямой и плоскости;
признаком параллельности прямой и плоскости.

Глоссарий по теме

Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.

Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.

В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

М и а задают плоскость α
Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.

Лемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Тип задания: Единичный / множественный выбор

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.