Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Видео:№242. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника,Скачать

№242. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника,

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой(1)
Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой,(3)
Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(4)

Построим следующее соотношение

Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(5)

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(6)
Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(7)

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(8)

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой,(9)
Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(10)

Построим следующее соотношение

Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(11)

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой,(12)
Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(13)

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой(14)

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой(15)

Из равенств (14) и (15) получаем:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой.Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(16)

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой
Как доказать что биссектриса параллельна прямой.(17)

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Биссектрисы параллелограмма

Если биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне перпендикулярны, то биссектрисы противолежащих углов обладают другим свойством.

Свойство биссектрис противоположных углов параллелограмма.

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

CN- биссектриса ∠BCD.

Доказать: AF ∥ CN или лежат на одной прямой.

1) Так как AF — биссектриса ∠BAD, CN — биссектриса ∠BCD (по условию), то

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Следовательно, их половины тоже равны: ∠FAD=∠BCN.

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

при BC ∥ AD и секущей BC).

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

А так как эти углы — соответственные при прямых AF и CN и секущей BC, то AF ∥ CN (по признаку параллельности прямых).

Если все стороны параллелограмма равны, биссектрисы противоположных углов лежат на одной прямой.

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

В этом случае из того, что AB=BC следует, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC,

а значит, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Видео:№ 192 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

№ 192 - Геометрия 7-9 класс Атанасян

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Тогда справедлива формула:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Доказать, что выполнено равенство:

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Поскольку CE – высота, то

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

Как доказать что биссектриса параллельна прямой

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

🔥 Видео

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

№244. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АССкачать

№244. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АС

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)Скачать

Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)

№245. Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельнаяСкачать

№245. Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная

№192. В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°Скачать

№192. В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°

Биссектриса параллелограммаСкачать

Биссектриса параллелограмма

№243. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1Скачать

№243. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

№191. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающаяСкачать

№191. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающая

Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика
Поделиться или сохранить к себе: