Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:
 | (1) |
 |
Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:
 , | (3) |
 . | (4) |
Построим следующее соотношение
 . | (5) |
С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:
 . | (6) |
 . | (7) |
Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):
 . | (8) |
Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).
Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).
 |
Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:
 , | (9) |
 . | (10) |
Построим следующее соотношение
 . | (11) |
Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).
Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):
 |
Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:
 , | (12) |
 . | (13) |
Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).
Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.
 |
Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:
 | (14) |
Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:
 | (15) |
Из равенств (14) и (15) получаем:
 . |
Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.
Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:
 . | (16) |
Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:
 |
 . | (17) |
Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:
Видео:№242. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника,Скачать
Биссектрисы параллелограмма
Если биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне перпендикулярны, то биссектрисы противолежащих углов обладают другим свойством.
Свойство биссектрис противоположных углов параллелограмма.
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF — биссектриса ∠BAD,
CN- биссектриса ∠BCD.
Доказать: AF ∥ CN или лежат на одной прямой.
1) Так как AF — биссектриса ∠BAD, CN — биссектриса ∠BCD (по условию), то
Следовательно, их половины тоже равны: ∠FAD=∠BCN.
при BC ∥ AD и секущей BC).
А так как эти углы — соответственные при прямых AF и CN и секущей BC, то AF ∥ CN (по признаку параллельности прямых).
Если все стороны параллелограмма равны, биссектрисы противоположных углов лежат на одной прямой.
В этом случае из того, что AB=BC следует, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC,
а значит, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Биссектриса треугольника
Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.
Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.
На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .
Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).
Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.
Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:
что и требовалось доказать.
Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения
b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.
что и требовалось доказать.
Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .
Тогда справедлива формула:
что и требовалось доказать.
Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.
Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:
Доказательство . Из рисунка 5 следует формула
Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:
что и требовалось доказать.
Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6
откуда с помощью Теоремы 2 получаем:
что и требовалось доказать.
Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .
Доказать, что выполнено равенство:
Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то
Поскольку CE – высота, то
что и требовалось доказать.
Из решения этой задачи вытекает простое следствие.
Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:
🔍 Видео
№ 192 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать
Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать
№244. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АССкачать
Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать
Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать
№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать
Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
Биссектриса параллелограммаСкачать
№192. В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°Скачать
Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)Скачать
№245. Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельнаяСкачать
Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать
Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
№243. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
№191. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающаяСкачать
Биссектриса углаСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
