Видео:Представление комплексных чисел синусоидальными величинамиСкачать
Представление синусоидальных величин вращающимися векторами и комплексными числами
· Представление синусоидальных функций вращающимися векторами
Расчет переменных токов и напряжений с помощью алгебраических операций их мгновенных значений по исходным выражениям (1.1а) − (1.1в) весьма неудобен из-за громоздких вычислений. Графическое представление синусоидальных величин (см. рис.1.3) достаточно наглядно для одной, двух синусоид, но для сложных цепей практически не используется, ввиду трудности построения и анализа нескольких синусоидальных величин.
Представления синусоидальных функций при помощи вращающихся векторов (векторных диаграмм), как показано на рис 1.4, позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между разными напряжениями, токами и широко используется при объяснении процессов в цепях переменного тока.
Мгновенное значение синусоидальной функции времени t или угла поворота wtможно представить в виде изменяющейся проекции на вертикальную ось вращающегося с угловой скоростью wвектора, как показано на рис 1.4. Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, обозначаются, как и комплексные величины, точками вверху. Сравнивая рисунки 1.4,а и 1.4,б, можно видеть что длины векторов и равны амплитудам напряжения Um и тока Im синусоидальных функций напряжения uи тока i.
Рис.1.4. Соответствие синусоидальных функций u, i
и вращающихся векторов и
а) – графики мгновенных значений синусоидальных величин напряжения и тока; б)–вращающиеся с угловой скоростью ω векторы и
Проекции вращающихся с угловой скоростью ω векторов и на ось ординат У (рис. 1.4,б) равны мгновенным значениям синусоидальных функций напряжения uи тока i (рис. 1.4,а)
Углы наклона к оси абсцисс Х векторов и изменяются с угловой скоростью wи для момента времени t = t1 соответствуют фазам yu1 и yi1, поскольку для этого момента:
Начальные фазы yu и yi будут соответствовать углам наклона векторов и к оси Хв начальный момент времени t = 0 (рис. 1.4,б). Легко убедится, что векторы и , вращающиеся с одной угловой скоростью w, будут взаимно неподвижнымии для любого момента времени сохраняют неизменным сдвиг фаз между напряжением и током:
Так как фазовые сдвиги между напряжениями, токами и ЭДС одной частоты w остаются неизменными в течение времени, то от системы вращающихся векторов можно перейти к эквивалентной системе неподвижных векторов для момента времени t = 0.
В электротехнике принято оперировать действующими значениями величин напряжений U , ЭДС Е и токов I. Поэтому длины векторов на векторных диаграммах соответствуют не амплитудным, а действующим значениям, которые, как было выше сказано в раз меньше амплитудных значений.
Углы наклона векторов напряжения и тока к оси абсцисс (рис. 1.4,б) равны начальным фазам yu и yi (см. рис. 1.4,а). Таким образом, неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальной величины: действующее значение и начальную фазу. Третий параметр – угловая частота w должен быть заранее известен.
За положительное направление вращения векторов с угловой скоростьюw принято направление вращения против часовой стрелки (см. рис 1.4,б). Первый по вращению вектор считается опережающим следующий за ним вектор нафазовый угол j, который, в свою очередь, считается отстающим на тот же угол j относительно первого вектора. Например, на рис. 1.4,а вектор напряжения опережает вектор тока на фазовый угол j или наоборот, можно считать, что вектор тока отстает относительно вектора на тот же угол j.
Если для синусоидальных величин одной частоты начальные фазы одинаковы, то векторы этих величин направлены в одну сторону, фазовый угол между ними равен нулю (j=0) и говорят, что эти величины совпадают по фазе (синфазны). Когда для синусоидальных величин разность фаз j = ±p, то векторы этих величин направлены в противоположные стороны и говорят, что эти величины противоположны по фазеили находятся в противофазе.
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, относящиеся к одной цепи, называют векторной диаграммой.
Применение векторных диаграмм делает наглядным анализ электрический цепи. В этом методе сложение и вычитание мгновенных значений синусоидальных величин можно заменить геометрическим сложением и вычитанием их векторов, по правилам, представленным в Приложении 4.
· Представление синусоидальных функций комплексными числами
Применение векторных диаграмм для анализа цепей переменного тока, несмотря на простоту и наглядность, не всегда дает достаточную точность при расчетах. Метод представления синусоидальных функций комплексными величинами и оперирование с ними как с комплексными числами, называемый комплексным методом [1], объединяет в себе простоту векторных диаграмм с возможностью производить расчеты с любой заданной степенью точности.
Комплексный метод основан на представлении векторов из декартовой системы координат (рис. 1.5,а) в комплексной плоскости (см. рис. 1.5,б) и на записи их комплексными числами. Это позволяет для цепей синусоидального тока применять законы Ома и Кирхгофа и методы расчета этих цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока, конечно с учетом специфики оперирования с комплексными величинами.
Рис. 1.5. Соответствие векторов и комплексных чисел
а) – векторы действующих значений тока I и напряжения U на векторной диаграмме;
б) – представление векторов тока и напряжения на комплексной плоскости
Синусоидальную функцию тока или напряжения можно однозначно изобразить соответствующим вектором в декартовых координатах (см. рис. 1.5,а) или на комплексной плоскости (рис. 1.5,б). В свою очередь, каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое можно записать в алгебраической, тригонометрической или показательной форме. Например, комплексы тока инапряжения на рис. 1.5,б, соответствующие векторам тока и напряжения на векторной диаграмме рис. 1.5,а, можно представить в алгебраической форме:
в тригонометрической форме:
и показательной форме:
где и – модули комплексов тока и напряжения, равные длинам векторов этих величин, которые определяют действующие значения соответствующего тока и напряжения;
yi = arctgIр/Iа и yu = arctgUр/Uа – аргументы комплексовтока и напряжения, равные их начальным фазам; – формула Эйлера, связывающая алгебраическую и показательную формы записи комплексных чисел; е – основание натурального логорифма; – мнимая единица.
Примечание В электротехнике мнимая единица обозначается буквой j, в отличие от математики, где мнимая единица – i(а в электротехнике i– это принятое обозначение тока).
Таким образом, комплексное число или просто комплекс тока или напряжения в любой из выше перечисленных форм записи является отображением соответствующей синусоидальной функции тока или напряжения.
· Правила операций с векторами и комплексными величинами
Если исходный вектор повернуть на комплексной плоскости из положения 1 в положение 2 против часовой стрелки на угол β (см. рис. 1.6), то в комплексной форме это запишется как .
Рис. 1.6. Операция поворота вектора на комплексной плоскости
Следовательно, умножение комплексного числа на множитель типа соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±b, причем угол +b откладывается против часовой стрелки, а (-b) – по ходу часовой стрелки.
Если угол b = p/2= 90°, то из формулы Эйлера следует:
.
То есть умножение комплексного числа на мнимую единицу ±j соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±p/2.
Если взять, например, комплекс в алгебраической форме , изображенный вектором в положении 1 (см. рис. 1.6), то, умножив его +j, получим , что при его графическом построении на комплексной плоскости соответствует повороту исходного вектора на угол p/2 в положительном направлении (против часовой стрелки) из положения 1 в положение 3.
Считая угол поворотного множителя функцией времени, когда b = wt, получаем множитель или оператор вращения . В этом случае вектор станет радиусом-вектором, вращающимся относительно начала координат на комплексной плоскости с угловой скоростью w против часовой стрелки, что записывается в виде: . Это выражение называют комплексной функцией времени или комплексным мгновенным значением.
Комплексное число будетдействительным числом А, когда сомножитель b при мнимой единице будет равен нулю, при этом аргумент комплексного числа – угол α будет равен нулю или π, а на комплексной плоскости этому действительному числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль оси действительных чисел вправо от нуля (при угле α = 0)или влево от нуля (отрицательные числа при угле α = π).Комплексное число называется мнимым, когда действительное число а = 0, а аргумент комплексного числа – угол α будет равен ±π/2. На комплексной плоскости этому мнимому числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль вертикальной оси мнимых чисел ±j.
Операции сложения, вычитания, умножения и деления синусоидальных функций времени производят путем тех же алгебраических действий с соответствующими комплексными числами или векторами на комплексной плоскости. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме, и наоборот, соответствует переходу от декартовых координат к полярным и от полярных координат – к декартовым. При этом операции алгебраического сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, заменяются эквивалентными операциями геометрического сложения и вычитания соответствующих комплекс-векторов, записанных в показательной форме. Выбор той или иной формы записи комплексных чисел определяется простотой и удобством оперирования для определенной математической операции. Так, при сложении и вычитании комплексных чисел более удобна алгебраическая форма записи, а при умножении и делении – показательная.
Дата добавления: 2016-04-11 ; просмотров: 8383 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Видео:Лекция по электротехнике 3.2 - Изображение синусоидальной функции векторомСкачать
№14 Представление синусоидальной функции времени вращающимся вектором. Векторные диаграммы.
Пусть в прямоугольной системе координат имеется вектор длиной Im, расположенный под углом ψ к горизонтальной оси (рис. 14.1). Заставим этот вектор вращаться против часовой стрелки c угловой скоростью ω. Тогда за время t он повернется на угол ωt.
Проекцию вектора на вертикальную ось обозначим i. Из треугольника oab она равна i=Imsin(ωt+ψ), т.е. представляет собой функцию, определяющую мгновенное значение тока. Таким образом, последняя может быть представлена как проекция на вертикальную ось вращающегося вектора. Изображение тока с помощью вектора называется его векторной диаграммой. Длина вектора может быть равна амплитудному Im, либо действующему значению I.
Рис. 14.1 — Вращающийся вектор
Обычно вектор при этом показывается не в произвольный момент времени t, а в начальный (t = 0), когда его угол наклона к горизонтальной оси равен начальной фазе.
Теперь по уравнениям (2.3) построим векторную диаграмму двух векторов – тока и напряжения (2.4).
Длины векторов равны действующим значениям, углы их наклона к горизонтальной оси – начальным фазам, а угол между векторами, равный разности начальных фаз ψu и ψi, в соответствии с уравнением (2.4) определяет сдвиг фаз напряжения и тока.
Подчеркиваем, что на диаграмме стрелка, отмечающая угол φ, всегда направляется от вектора тока к вектору напряжения. Сейчас она направлена в положительном направлении – против часовой стрелки.
Рис. 14.2 — Векторная диаграмма тока и напряжения
Векторная диаграмма дает наглядное представление об отставании одних величин и опережении других. Если вращать картинку, показанную на рис. 14.2, против часовой стрелки, то вектор тока будет отставать от напряжения на угол φ. Так как при вращении длины векторов и угол между ними не меняются, то в том случае, когда начальные фазы напряжения и тока нас не интересуют, мы можем изображать диаграмму без осей и располагать ее так, как нам удобно (рис. 14.3).
Рис. 14.3 — Варианты построения векторной диаграммы
Видео:ТОЭ 26. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.Скачать
Часть III. Цепи синусоидального тока
Тема 3. Цепи синусоидального тока
- Общие сведения и определения
- Комплексная амплитуда
- Действующие значения синусоидальной функции
- Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма
- Изображение синусоидальной функции комплексными числами
- Закон Ома в комплексной форме
- Уравнения элементов в комплексной форме
- § 3.1. Общие сведения и определения:
Переменный ток имеет большее распространение, чем постоянный.
- конструкция электродвигателей и генераторов переменного тока гораздо проще;
- генераторы переменного тока могут быть выполнены для более высокого напряжения;
- переменный ток легко преобразовывается с помощью трансформатора, что необходимо при распределении электроэнергии и т.д.
Переменный ток – ток, периодически меняющий свое значение и направление. Наибольшее значение переменного тока – его амплитуда.
Переменный ток характеризуется:
Амплитуда – наибольшие (положительные или отрицательные) величины.
Период – время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.
Частота – обратно периоду.
Фаза – характеризует состояние переменного тока в любой момент времени.
Основным видом переменного тока является синусоидальный (гармонический) ток. Закон изменения такого тока описывается синусоидальной функцией.
В линейных электрических цепях, в которых действуют синусоидальные источники, все электрические параметры изменяются по синусоидальному закону.
ЭДС: .
Напряжение: .
Ток: ;
e(t), u(t), i(t) – мгновенные значения;
ω = 2π – угловая частота, [рад/с];
ƒ = 1 Т – циклическая частота, [Гц];
Любую синусоидальную функцию можно изобразить в виде графика, который называется графиком временных значений или временной диаграммой.
- § 3.2. Комплексная амплитуда:
Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для простейших электрических цепей.
Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию заменяют эквивалентной величиной.
где j = √ — 1 – мнимая единица.
– комплексная амплитуда.
– сопряженная комплексная амплитуда.
– поворотный множитель.
Последняя запись означает, что синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости в виде двух векторов, длина которых равна Um и которые равномерно вращаются со скоростями, равными ω в противоположные стороны.
- § 3.3. Действующие значения синусоидальной функции:
Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная оценка.
Действующие значения – среднеквадратичные за период значения синусоидальной функции, то есть, если:
то действующее значение:
Аналогично и для тока I и ЭДС ε .
Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду и действующее значение:
Действующее значение – это постоянная величина, которую обычно обозначают той же буквой, что и амплитуду, только без индекса m.
Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на проводник с сопротивлением R , что и переменный ток, в течение времени, равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов фиксируют и реагируют на действующие значения.
- § 3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма:
где a – проекция вектора на ось y в момент времени t.
рис. а рис. б
Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует некоторая синусоидальная функция, и наоборот.
Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции – радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного тока. Определим ток:
если: и .
Как известно, сумма двух синусоид одинаковой частоты ω представляет собой также синусоиду частотой ω , то есть i = Imsin (ωt + ψ ) и, следовательно, задача сводится к нахождению амплитуды Im и начальной фазы Ψ суммарного тока i. Искомые параметры Im и Ψ можно найти, воспользовавшись известными тригонометрическими преобразованиями.
Проведем решение задачи с помощью радиус-векторов I1m и I2m , вращающихся с частотой ω, положение которых для момента времени t = 0 показаны на рисунке ниже и осуществим геометрическое суммирование этих радиус-векторов по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор Im будет вращаться с частотой ω и является изображением некоторой синусоидальной функцией времени.
Следовательно, i = i1 + i2 – геометрическое изображение искомого тока.
Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду Im тока. Непосредственно по чертежу определяется и начальная фаза Ψ.
Рассмотренная совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.
- § 3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами:
Для введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось x с осью действительных чисел Re, а ось y – с Im.
Любому вектору A, расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:
- алгебраической:
- тригонометрической:
- показательной: ( e – основание натурального логарифма).
Все три формы записи в соответствии с формулой Эйлера равнозначны:
Переход от одной формы записи к другой:
где a1 – действительная часть;
Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и мнимых комплексных чисел ( A = 1 ):
где C = AB .
Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:
Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока, а аргумент Ψ комплексного сопротивления – разности начальных фаз напряжения и тока:
Закон Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действительных значений:
.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
🌟 Видео
Синусоидальный однофазный переменный токСкачать
Лекция 040-2. Комплексные числа. Представление синусоид комплексными числамиСкачать
Урок 25. Что такое Переменный ТОК | Практические примерыСкачать
Лекция по электротехнике 3.1 - Получение синусоидальной ЭДССкачать
Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать
Частотное и временное представление сигналов. Спектр. МодуляцияСкачать
Векторная диаграммаСкачать
AGalilov: Преобразование Фурье "на пальцах"Скачать
Видеолекция «Электрические цепи однофазного синусоидального тока»Скачать
Теоретические основы электротехники 30. Символический расчёт схем синусоидального тока.Скачать
Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
Расчет цепей переменного синусоидального тока | Метод комплексных амплитуд | Часть 3Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Урок 32 (осн). Сила. Единицы силы. Изображение силСкачать
Лекция 040-1. Основные понятия цепей синусоидального токаСкачать
3 2 Форма записи электротехнических величин переменного синусоидального токаСкачать
Построение векторной диаграммы. Цепь RLCСкачать