Исторические сведения о четырехугольниках (6 видео)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПОНЯТИЯ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Содержание

Историческая справка о четырехугольниках
Четырёхугольники. Историческая справка.
Просмотр содержимого документа «Четырёхугольники. Историческая справка.»
Разработка урока внеурочной деятельности «Четырехугольники и их виды»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
📸 Видео

Видео:ЧетырехугольникиСкачать

Историческая справка о четырехугольниках

В древних египетских и вавилонских документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольной трапеции.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, который был введен Евклидом. Он называл параллелограмм “параллельно-линейной площадью”. Слово parallhlogrammou составлено из parallhloz и grammh— “линия” это слово дало основу для термина “параллелограмм” [44].

Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная версия параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь с 17 века. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида (и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых) [44].

Первые геометры, в том числе и Евклид, мыслили прямоугольник, вписанный в круг.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Образ ромба был связан первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Есть и другое значение. Термин «ромб» образован от греч. спмвпт — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми [44].

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrare- сделать четырехугольным), перевод с греческого — четырехугольник [44].

Трапеция — это четырёхугольник, где две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Трапеция — слово греческое, означавшее в древности «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1 век). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в 18 веке это слово приобретает современный смысл [44].

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

противолежащие стороны равны;

противоположные углы равны;

диагонали точкой пересечения делятся пополам;

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.

Противоположные стороны попарно равны.

Противоположные углы попарно равны.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

все свойства параллелограмма;

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.

Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

все свойства параллелограмма;

диагонали являются биссектрисами его углов.

Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.

Его диагонали перпендикулярны.

Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

все углы квадрата прямые;

диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Произвольный выпуклый четырехугольник

d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

a и b — смежные стороны; — угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне a.

S = aha
S = ab sin
S =d1d2 sin

a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

S = ab
S =d1d2 sin

S = aha
S = a2sin
S =d1d2

S = a2
S =d2

Рассмотрим свойства четырехугольников, на примере ЕГЭ.

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть ВМ и СК — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне ВС. Сумма углов ЛВС и BCD равна 180°. Углы ОВС и ОСВ — половинки углов ЛВС и BCD. Значит, сумма углов ЛВС и BCD равна 90 градусов. Из треугольника ВОС находим, что угол ВОС — прямой.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы DAE и ВЕЛ, а также CED и .4DE — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол ИЛЕ равен углу ВЕЛ, а угол CED — углу .4DE.

Получаем, что треугольники .ABE и CDE — равнобедренные, то есть BE = ЛВ, а ЕС = CD. тогда ВС = 5 + 5 = 10.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

S = a * h, где а — основание параллелограмма, h — его высота.
S = a * b * sin if, где a и b — стороны параллелограмма, ^ — угол между ними.

И еще одна формула. Также, как и свойства биссектрис углов параллелограмма, эта формула пригодится тем, кто нацелен на решение задачи С4.

S = dl * d2 * sin а, где d 1 и d2 — диагонали параллелограмма, а — угол между ними.

Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

1. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна
6. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Всё просто. Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD. Найдите, чему равен угол DBA и его синус, а затем найдите DB.

А сейчас рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы?

Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки СМ, ВМ и AM тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника.

Мы доказали теорему:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Итак, ВМ = СМ, значит, треугольник ВМС равнобедренный, и угол В СМ равен 24°

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла,

Тогда угол МСН (между медианой и высотой треугольника ABC) равен

Как вы думаете, где находится центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника? Ведь центр описанной окружности — точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка — середина гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Проведем диагональ АС.

Получим, что АС равна

Ромб и его свойства

По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.

Диагонали ромба перпендикулярны.

Диагонали ромба делят его углы пополам.

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.

1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60°.

Проведите меньшую диагональ ромба и рассмотрите треугольник.ADB. Поскольку AD = DB, а угол DAB равен 60°, треугольник .4DB — равносторонний.

Следовательно, меньшая диагональ ромба равна 2.

1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 3, а острый угол равен 60?

Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина.

2. Диагонали ромба относятся как 3 : 4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Пусть диагонали ромба равны 6х и 8х.

Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник АОВ — прямоугольный.

По теореме Пифагора Л В2 = АО2 + ОВ2

Нам надо найти высоту ромба.

Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, S = а * h. С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников ЛВС и ADC, то есть равна 60 * 40 = 2400. отсюда h = S :а = 2400 : 50 = 48.

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Можно дать и другое определение квадрата:

квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите .

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Трапеция и ее свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. Мы разобрали и стандартные задачи (номер 1 и 2), и более интересные.

1. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины В.

2. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150. Найдите площадь трапеции.

3. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника ABC находим x = 5.

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

4. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

5. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .

Периметр трапеции равен .

На сколько периметр трапеции больше периметра треугольника? Чему равен периметр трапеции?

Видео:Виды четырёхугольниковСкачать

Четырёхугольники. Историческая справка.

Трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Каково происхождение этих терминов? Вы узнаете из данной публикации.

Просмотр содержимого документа
«Четырёхугольники. Историческая справка.»

Четырёхугольники. Историческая справка.

«Трапеция» — слово греческого происхождения, (по гречески «трапедзион») означает столик, обеденный стол. Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом.

В средние века в «Началах»- главный труд Евклида, термин «трапеция» используется как любой четырёхугольник (не параллелограмм).

Лишь в XVIII в. это слово приобретает современный смысл.

«Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посейдона.

«Параллелограмм» греческого происхождения и, согласно Проклу, был введен Евклидом.

Оно состоит из двух греческих слов – «Parallelos», что означает «параллельный», и «Gramme» — «линия». Таким образом, термин «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».

Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке.

Одни считают, что этот термин произошел от греческого слова «ромбос», означающего »бубен» (т.к. ромб похож на четырехугольный бубен). Другие считают, что от греческого слова «ромб», которое означает «вращающееся тело», «веретено» (т.к. сечение в обмотанном веретене имеет форму ромба).

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Папы Александрийского.

Этот термин произошел от латинского слова «кваттуор» (четыре) — фигура с четырьмя сторонами.

В древнем мире квадрат обычно означает четыре стороны света. И в Ассирии, и в древнем Перу четыре стороны света, четыре направления, то есть квадрат это и есть весь Мир.

В сознании индейцев Северной Америки Вселенная — квадрат, разделенный на четыре части. Египтяне обожествляли квадрат. Греки описали его силами математики, хотя Пифагор считал все чётные числа женскими и слабыми, квадрат же равно как и цифра четыре в силу их делимости и превращения в ничто, были описаны лишь отрицательными характеристиками.

В Исламе Кааба – пуп земли тоже кубической формы. У кельтов вселенная это три квадрата, один вложенный в другой, из центра текут четыре реки.

Термин образован путем соединения двух слов: «прямой» и «угол». Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.

В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°.

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Разработка урока внеурочной деятельности «Четырехугольники и их виды»

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: « Четырехугольники и их виды.»

познакомить ребят с историей возникновения четырехугольников;

рассмотреть виды четырехугольников и их элементы;

способствовать развитию умений анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное; развивать осознанную математическую речь; развитие познавательного интереса учащихся;

содействовать воспитанию таких качеств как: самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, целенаправленность, трудолюбие, аккуратность, ответственность

— Продолжить формирование навыков контроля результатов деятельности.

— Способствовать развитию коммуникативных навыков. Развивать умение анализировать, обобщать материал, выступать перед аудиторией, развивать интеллектуальные, творческие и исследовательские способности, активизировать интерес к учебным предметам.

— Формирование логического, абстрактного, эвристического, системного мышления.

Оборудование: проектор, экран, компьютер, презентации

Сообщение темы, целей и задач урока.

История возникновения четырехугольников.

Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия.

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.

Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.

Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами.

Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов).

Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д.

Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей – Фараонов.

Пирамиды – а они построены более 5 тыс. лет назад – состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки.

« Все боится времени, но само время боится пирамид ».

В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает 82 метра.

Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое.

Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: » Не знающие геометрии не допускаются!»

Настает время привести все разрозненные знания в систему.

Геометрия… откуда взялось это слово? Что оно означает? Попробуем разгадать его смысл. Ведь вам постоянно встречаются похожие слова: география, геология, геодезия… а есть еще геоботаника и т.п. это все названия различных наук или разделов наук. Со смыслом слова география вы уже знакомы. «Гео» означает «Земля», «метр» — это единица измерения длины (от греческого слова «метрео» — «измеряю». Таким образом, получается, что геометрия в переводе с греческого означает «измерение земли» или «землемерие».

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в.до н.э.

В «Энциклопедическом словаре юного математика» написано: «Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках».

И наиболее удачно была изложена геометрия, как наука о свойствах геометрических фигур, греческим ученым Евклидом (III в. до н. э.) в своих книгах «Начала». Евклид жил в Александрии, был современником царя Птоломея I и учеником Платона. Славу Евклиду создал его собирательный труд «Начала». Произведение состояло из 13 томов, описанная в этих книгах геометрия получила название Евклидова. Величайшая заслуга его состояла в том, что он подвел итог построению геометрии придал ее изложению столь совершенную форму, что на 2 тысячи лет «Начала» стали основным руководством по геометрии. В течение многих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которым молодежь изучала геометрию. Были и другие. Но лучшими признавались «Начала» Евклида. И даже сейчас, в наше время, учебники написаны под большим влиянием «Начал» Евклида.

Конечно, геометрия не может быть создана одним ученым. В работе Евклид опирался на труды десятков предшественников и дополнил работу своими открытиями и изысканиями. Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.

Что изучает геометрия.

Геометрия – это раздел математики, которая изучает пространство, а также всяческие отношения, который в этом пространстве возникают. Всю геометрию можно разделить на несколько типов. Например, классическая геометрия решает все вопросы связанные с точками, прямыми, плоскостями и т.д. Она сама включает в себя планиметрию, стереометрию и другие дисциплины. Существует также аналитическая геометрия, которая построена на координатном способе познания. Например, именно таким способом изучаются вектора, прямые и отрезки, которые заданы формулами и условиями. Также существует дифференциальная геометрия, которая задается дифференциальными уравнениями, а также занимается отображением этих уравнения в различных пространствах. И завершает это ряд такая дисциплина как топология, которая изучает непрерывность в наиболее общем виде.
Считается, что родоначальниками геометрии были греки, которые впервые опубликовали свои первые труды, например, знаменитые «Начала» Евклида. Греки занимались сравнением различных фигур, а также их принадлежность друг другу. Такая геометрия занималась простейшими фигурами, на плоскости и в пространстве.
Средние века не много дали геометрии, а вот уже в XVII веке Декарт придумал свой координатный метод, что заставило геометрию сделать новый виток в своей истории. Также кооринатный метод используется и в другом виде геометрии — дифференциальном, ГД координаты занимают одну из ведущих ролей. В дифференциальной геометрии все задается уже относительно гладкими графиками, что является более сложным и более развитие уровнем геометрии.
Сегодня геометрия используется довольно широко в прикладных моментах. Она касается не только обмера земли (как и тысячелетия назад) а также и другими, более развитыми и более сложными научными вычислениями.

Знакомство с четырехугольниками.

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.

Трапеция называется равнобедренной (равнобочной) , если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной .

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

Свойства:
1. Все углы квадрата прямые

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Математическая сказка о том, как подружились Квадрат и Прямоугольник.

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Прямоугольник, а по соседству с ним жил Квадрат.

Квадрат очень хотел подружиться с Прямоугольником, но он был маленьким, а Прямоугольник большим. Однажды ночью Квадрат взял ножницы, подкрался к дому Прямоугольника и отрезал у него половинку так, что Прямоугольник стал квадратом. Квадрат приставил к себе отрезанную половинку и стал прямоугольником. Наступило утро. Прямоугольник-Квадрат пришёл домой к Квадрату-Прямоугольнику и сказал: «Я бы сам отдал тебе свою половинку, если бы ты об этом попросил». Квадрату стало стыдно за свой поступок. Он попросил прощения у Прямоугольника. Прямоугольник простил его, и с тех пор они стали друзьями. Потом они часто менялись своими половинками.

Вот и сказке конец, а кто слушал – молодец!

СКАЗКА О ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

Жили-были в чудесной стране Геометрии Карандаш и Линейка. Как-то раз задумали они начертить четырехугольник, у которого все углы – по 90о. Чертили-чертили целый день. Особенно старалась Линейка. Она ложилась ровно, не наклоняясь. Карандаш отчетливо проводил и соединял линии. В конце концов у них получилась такая фигура . На радостях отправились они к своему другу Транспортиру. Он жил неподалеку от наших героев. Это был удивительно трудолюбивый и внимательный инструмент. Он напоминал половину круга, и поэтому его еще иногда ласково называли Пирожок. Пришли наши герои и попросили у него помощи:

– Послушай, Пирожок, помоги нам. Мы целый день чертили фигуру, у которой все углы должны быть по 90 . А так ли у нас получилось, мы не знаем. Проверь, пожалуйста.
А у Транспортира на спинке было много делений от 0 до 180. Проверка величины углов – его самое любимое занятие. Поэтому он, конечно, согласился. Все углы у четырехугольника действительно были равны 90 . А потом он улыбнулся и сказал:
– Угол, равный 90 , – это прямой угол, а четырехугольник, у которого все углы – по 90 , называется прямоугольником. В следующий раз, когда соберетесь что-нибудь чертить, – сказал Транспортир, – не забудьте про меня. Я обязательно приду к вам на помощь, и дело быстрее сладится.
И еще он добавил:
Раз, два, не ленись,
Дружно за дело вместе берись!

СКАЗКА О КВАДРАТЕ

Жил-был в стране Геометрии Лист. Его края были неровными, с множеством загибов, потому что его вырвал из тетради мальчик по имени Вовка, и уже долгое время Лист находился в пути. А нашему герою очень хотелось, чтобы все его стороны стали вновь ровными.
Собравшись с силами, Лист отправился на поиск Линейки, Карандаша и Ножниц. Только они могли ему помочь. Лист целых пять дней провел в пути, потому что двигаться он мог только с помощью ветра, а ветреная погода была не каждый день. На шестой день своего пути Лист встретил Карандаша. Карандаш в это время чертил углы на песке. Его углы были разной величины, и он упорно повторял вслух: «Острый, тупой, прямой, развернутый!». Лист тихонько подлетел к Карандашу и рассказал свою историю. Карандаш его пожалел и согласился помочь, но, к сожалению, без Линейки и Ножниц он ничего сделать не смог.
Теперь они отправились в путешествие уже вдвоем. Но Линейку им не пришлось долго искать, потому что она вместо мостика лежала на двух противоположных берегах ручья. Карандаш и Лист аккуратно перетащили Линейку на свой берег и попросили ее помощи.
– Да! Да! Да! – воскликнула Линейка (так соскучилась она по своей работе). – Конечно, помогу!
Началась работа. Карандаш чертил ровно. Линейка замеряла стороны так, чтобы все они были одинаковой длины. Когда работа была сделана, Линейка объявила Листу:
– Ну, теперь ты будешь квадратом!
– Квадратом? – удивился Лист.
– Да! Да! Квадратом! – убедительно ответила Линейка.
– А что это такое? – спросил Лист.
– Это прямоугольник, у которой все стороны не только ровные, но и равные, – сказала Линейка.
Лист обрадовался. Он поблагодарил Карандаша и Линейку и отправился на поиски Ножниц.

Идя по дорожке, Лист увидел красивый домик с очень необычной акацией вместо забора. Он поднялся по ступенькам и постучался. Дверь тихонько заскрипела, и к нему навстречу вышли Ножницы. Радость Листа невозможно было описать. Он прыгал от счастья. А Ножницы в это время смотрели на него и не понимали, в чем дело. Наконец Лист успокоился и рассказал Ножницам свою историю.
Ножницы повели себя необычно, они вдруг стали резать воздух. Это оказалось, они так выражали свое удовольствие. Ножницы действительно очень любили работать, то есть резать. Через пять минут наш Лист превратился в настоящий Квадрат. Ножницы принесли ему зеркало. Он долго смотрелся в него, а потом закричал:
– Квадрат! Квадрат!
А Ножницы опять стояли в недоумении и смотрели на Лист. Они не понимали, что это за слово повторял наш герой. Но мы-то с вами знаем, что это за фигура.

В тридесятом царстве Многоугольников, в тридевятом царстве Выпуклых многоугольников жил- был боярин по имени Параллелограмм. Надоело ему жить одному и решил он жениться. В невесты себе выбрал раскрасавицу соседку Равнобедренную Трапецию. Прошло немного времени и родился у них сынок Прямоугольник. Весь в родителей пошел!

От отца у него были бока попарно параллельны, а от матери достались равные диагонали. Но было у него свое личное достоинство – прямой угол, видимо, от предков достался. И от этог8о вырос он гордым, прямоугольным.

Не мог найти он друзей во всем государстве. Решил прямоугольник отправиться в путешествие. Сказал родителям: «Пока не найду себе друга – не вернусь». Что делать? Погоревали родители, но благословили его, и пошел он по земле геометрической.

Шел, шел, зашел в лес дремучий, видит избушка стоит. Зашел в избушку. А в этой избушке жили братья-сироты Квадрат, да Ромб. Познакомились, понравились друг другу. Проговорили всю ночь. Поведал им свое горе Прямоугольник. Братья и говорят: «У нас тоже есть прямой угол, не расстраивайся, мы будем с тобой дружить».

Отправились они вместе к отцу и матери Прямоугольника. Боярин и боярыня хорошо их приняли, пригласили остаться жить у себя. Братья с охотой согласились. И стали они вместе дружно поживать.

А про какой прямой угол говорили квадрат и ромб?

Что вы сегодня узнали на уроке? Что больше всего запомнилось?