Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.(1)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми,(2)

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

которое и является расстоянием между прямыми L1 и L2 (Рис.1).

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L1 и L2:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(3)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(4)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Найдем проекцию точки M1 на прямую L2. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямойL2.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L2, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L2, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L2. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет следующий вид:

m2<xx1)+p2(yy1)+ l2(zz1)=0(5)
2(x−1)−4(y−2)+ 8(z−1)=0

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:

2x−4y+ 8z−2=0(6)

Найдем точку пересечения прямой L2 и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L2.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L2:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(7)

Чтобы найти точку пересечения прямой L2 и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Решив уравнение получим:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(8)

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L2 и плоскости α:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Остается найти расстояние между точками M1 и M3:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L1 и L2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L1 и L2. Если направляющие векторы прямых L1 и L2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q1=λq2, то прямые L1 и L2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии q1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q1 параллелограмма.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Вычислим координаты вектора Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Вычислим векторное произведение векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии q1:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние между прямыми L1 и L2 равно:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми,
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми,

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(25)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(26)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Векторы q1 и q2 коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми=<x2x1, y2y1, z2z1>=.

Вычислим векторное произведение векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии q1. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии q1:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии q1:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Таким образом, результатом векторного произведения векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии q1 будет вектор:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Поскольку векторное произведение векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии q1 дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L1 и L2 равно :

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L1 и L2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L1 и L2 нужно построить параллельные плоскости α1 и α2 так, чтобы прямая L1 лежал на плоскости α1 а прямая L2 − на плоскости α2. Тогда расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию между плоскостями L1 и L2 (Рис. 3).

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Поскольку плоскость α1, проходит через прямую L1, то он проходит также через M1(x1, y1, z1). Следовательно справедливо следующее равенство:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.(27)

где n1=<A1, B1, C1> − нормальный вектор плоскости α1. Для того, чтобы плоскость α1 проходила через прямую L1, нормальный вектор n1 должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

A1m1+B1p1+C1l1=0.(28)

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

A1m2+B1p2+C1l2=0.(29)

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A1, B1, C1, D1, и подставляя в уравнение

A1x+B1y+C1z+D1=0.(30)

получим уравнение плоскости α1. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α2:

A2x+B2y+C2z+D2=0.(31)

Плоскости α1 и α2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn1=<A1, B1, C1> и n2=<A2, B2, C2> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Полученное расстояние между плоскостями α1 и α2 является также расстоянием между прямыми L1 и L2.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(32)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(33)

Построим плоскость α1, проходящую через прямую L1, параллельно прямой L2.

Поскольку плоскость α1 проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и нормальный вектор n1=<m1, p1, l1> плоскости α1 перпендикулярна направляющему вектору q1 прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.(34)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α1 представляется следующим условием:

A1m1+B1p1+C1l1=0.(35)

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

A1m2+B1p2+C1l2=0.(36)
A1·2+B1·1+C1·4+D1=0.(37)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.(38)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.(39)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(40)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(41)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A1x+B1y+C1z+D1=0.(42)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(43)

Построим плоскость α2, проходящую через прямую L2, параллельно прямой L1.

Поскольку плоскость α2 проходит через прямую L2 , то она проходит также через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и нормальный вектор n2=<m2, p2, l2> плоскости α2 перпендикулярна направляющему вектору q2 прямой L2. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A2x2+B2y2+C2z2+D2=0.(44)

а условие параллельности прямой L2 и искомой плоскости α2 представляется следующим условием:

A2m2+B2p2+C2l2=0.(45)

Так как плоскость α2 должна быть параллельной прямой L1, то должна выполнятся условие:

A2m1+B2p1+C2l1=0.(46)
A1·6+B1·(−1)+C1·2+D1=0.(47)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.(48)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.(49)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(50)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(51)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A2x+B2y+C2z+D2=0.(52)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(53)

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α1 и α2 :

A1x+B1y+C1z+D1=0.
A2x+B2y+C2z+D2=0.

Поскольку нормальные векторы плоскостей α1 и α2 совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α1 и α2, используя следующую формулу:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(54)
Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Упростим и решим:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Показать, при каких условиях прямые на плоскости параллельны, пересекаются, совпадают. Рассмотреть случаи, когда прямые заданы каноническими, общими или уравнениями с угловым коэффициентом. Научить находить косинус угла между пересекающимися прямыми и координаты точки их пересечения. Научить находить расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояние между параллельными прямыми.

1) Школьники должны знать:

− условия, при которых прямые пересекаются, параллельны, совпадают, в случаях, если прямые заданы общими уравнениями, каноническими, уравнениями с угловым коэффициентом;

− условия, при которых прямые перпендикулярны;

− формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости;

− формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми в случаях, если прямые заданы общими уравнениями, каноническими, уравнениями с угловым коэффициентом.

2) Школьники должны уметь:

− выяснять взаимное расположение прямых на плоскости;

− находить угол между прямыми на плоскости;

− находить расстояние от точки до прямой на плоскости;

− находить расстояние между параллельными прямыми на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными.

1.Пусть на плоскости заданы общими уравнениями две прямые L1 и L2:

где Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми– нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.

а) совпадают, если

− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

б) параллельны, если

− нормальные векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

в) пересекаются, если нормальные векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т. е.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

2.Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 каноническими уравнениями:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

а) совпадают, если

− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, лежит также и на второй прямой

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

б) параллельны, если

− направляющие векторы прямых коллинеарны, а значит, их координаты пропорциональны;

− точка, лежащая на первой прямой, не лежит на второй прямой.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

в) пересекаются, если направляющие векторы прямых не коллинеарны, а значит, их координаты не пропорциональны, т. е.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

3.Если прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом

а) совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2;

б) параллельны, если k1 = k2 и b1 ¹ b2;

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

в) пересекаются, если k1 ¹ k2.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

1.Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 общими уравнениями:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 на плоскости равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

В случае если прямые L1 и L2 перпендикулярны, их нормальные векторы также перпендикулярны, а значит, скалярное произведение нормальных векторов должно быть равно нулю, т. е. Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

2.Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Тогда косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

2. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Тогда тангенс наименьшего угла между прямыми L1 и L2 можно найти по формуле:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми,

где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.

Очевидно, что две прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты будут равны.

Итак, условие параллельности двух прямых:

Если две прямые перпендикулярны, т. е. угол φ = p/2, мы получим

Это будет иметь место, когда

Итак, условие перпендикулярности двух прямых:

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить:

1) Как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;

2) Используя координатно – векторный метод.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Пусть на плоскости заданы прямая L и точка M, не принадлежащая этой прямой

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

расстояние от точки М0(x0, y0) до прямой L.

Замечание. Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости можно найти по последней формуле, если находить расстояние от любой точки, принадлежащей одной прямой, до другой прямой.

Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины A.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Напишем уравнение высоты AH. Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой AH, вектор Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиперпендикулярен вектору Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми, а значит, скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю, т. е. Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми,

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Итак, уравнение высоты AH:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Напишем уравнение медианы, проведенной из вершины A. Найдем координаты точки D. Точка D − середина отрезка BC, значит, ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C. Координаты точек B(2, −1) и C(−3, 5), тогда координаты точки D:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Для любой точки N(x, y), лежащей на медиане AD, вектор Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиколлинеарен вектору Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми, а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны. Найдем координаты векторов Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Запишем условие пропорциональности координат:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми(умножим на (1/2));

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

По свойству пропорций получим:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Получили общее уравнение медианы AD:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих прямых.

Уравнение прямой AH: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиТогда нормальный вектор этой прямой − Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми. Уравнение прямой AD: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми. Тогда нормальный вектор этой прямой − Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Ответ: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Даны координаты точек A(4, 1), B(2, −1), C(−3, 5). Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Напишем уравнение прямой BC. Для любой точки N(x, y), лежащей на прямой BC, вектор Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиколлинеарен вектору Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми, а значит, координаты этих векторов должны быть пропорциональны:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Перемножив по свойству пропорций, перейдем к общему уравнению прямой:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Тогда общее уравнение прямой BC:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Точка A(4, 1) Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиBC. Расстояние от точки до прямой на плоскости можно найти по формуле:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымигде Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Ответ: расстояние от точки A до прямой BC равно Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:

L1: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми;

L2: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми;

Запишем координаты нормальных векторов прямых L1 и L2:

L1: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми, тогда Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми– нормальный вектор прямой L1;

L2: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми, тогда Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми– нормальный вектор прямой L2.

Найдем отношение координат нормальных векторов прямых:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Так как координаты нормальных векторов пропорциональны, то векторы Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиколлинеарны, а значит, прямые L1, и L2 либо параллельны, либо совпадают.

Прямые параллельны так как

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние между прямыми найдем, как расстояние от точки М1, лежащей на прямой L1, до прямой L2 по формуле:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымигде Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Найдем координаты точки M1, принадлежащей прямой L1. Для этого одну из координат, например y0, примем равной нулю, тогда x0 = 4, значит, точка Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Ответ: прямые параллельны, расстояние между ними равно Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то найти расстояние между ними:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Найдем направляющие векторы прямых L1 и L2:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми,

то координаты направляющих векторов не пропорциональны. Следовательно, прямые L1 и L2 пересекаются.

Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Найдем координаты точки пересечения прямых L1 и L2. Для этого получим общие уравнения этих прямых.

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Пусть точка М (x0, y0) − точка пересечения прямых L1 и L2. Тогда координаты точки М должны удовлетворять обоим уравнениям. Решим систему уравнений:

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымиИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Следовательно, точка Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми− точка пересечения прямых L1 и L2.

Ответ: прямые пересекаются, Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми, точка пересечения прямых − точка Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

Задачи для усвоения пройденного материала.

1. Найти расстояние от точки А(−4, 1) до прямой, проходящей через точки B(1, −1), C(1, 5).

2. Выяснить взаимное расположение прямых Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

3. Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

4. Найти точку пересечения высот треугольника, вершинами которого являются точки Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии составляющей угол 450 с прямой Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми.

6. Найти угол между прямыми Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымииИсследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

1. При каких значениях параметров прямые Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымипараллельны? совпадают? пересекаются?

2. При каких значениях параметров прямые Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымипараллельны? совпадают? пересекаются?

3. При каких значениях параметров прямые Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымипараллельны? совпадают? пересекаются?

4. Как найти угол между пересекающимися прямыми,?

5. Как найти координаты точки пересечения прямых?

6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

7. При каких значениях параметров прямые Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымии Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямымипараллельны? совпадают? пересекаются?

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведем иллюстрацию для наглядности: Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

На чертеже изображены две параллельные прямые a и b . Точка М 1 принадлежит прямой a , из нее опущен перпендикуляр на прямую b . Полученный отрезок М 1 Н 1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b .

Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.

Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.

Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b . Зададим на прямой а точки М 1 и М 2 , опустим из них перпендикуляры на прямую b , обозначив их основания соответственно как Н 1 и Н 2 . М 1 Н 1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | .

Исследовать взаимное расположение прямых и расстояние между параллельными прямыми

Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Прямая М 2 Н 2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a . Получившиеся треугольники М 1 Н 1 Н 2 и М 2 М 1 Н 2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М 1 Н 2 – общая гипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Теорема доказана.

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Видео:Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

— найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

— произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 ( x 1 , y 1 ) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = — C 1 .

Когда С 2 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y — C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогда для случаев, когда С 2 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = — A A 2 + B 2 x 1 — B A 2 + B 2 y 1 — C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b ) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = — C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = — C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x — 1 и x = 4 + 3 · λ y = — 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 ( 4 , — 5 ) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 ( 4 , — 5 ) до прямой y = 2 3 x — 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x — 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x — 1 ⇔ 2 3 x — y — 1 = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + ( — 3 ) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x — 3 y — 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x — 3 13 y — 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = — 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 — 3 13 · — 5 — 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x — 3 = 0 и x + 5 0 = y — 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y — 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 = 5 — ( — 3 ) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ: 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 ( 3 , 0 , — 2 ) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 проходит через точку М 2 ( — 5 , 1 , 2 ) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 как b → с координатами ( 1 , — 1 , 4 ) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 — ( — 5 , 0 — 1 , — 2 — 2 ) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , — 1 , — 4

Вычислим векторное произведение векторов :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 — 1 4 8 — 1 — 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8 , 36 , 7 )

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + ( — 1 ) 2 + 4 2 = 1409 3 2

🎬 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

15. Взаимное расположение прямых в пространствеСкачать

15. Взаимное расположение прямых в пространстве

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.

Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.Скачать

Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. Практическая часть.  10 класс.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 класс

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
Поделиться или сохранить к себе: