Познакомимся еще с одним геометрическим преобразованием, называемым инверсией , или преобразованием посредством обратных радиусов, или симметрией относительно окружности. Первый термин короче (поэтому в наш «век скоростей» употребляется чаще), но второй и третий точнее характеризуют предмет, к которому относится: слово инверсия чрезвычайно многозначно, в том числе и в математике; например, инверсией иногда называется центральная симметрия в пространстве – см. урок «Перемещения». Буквальный перевод с латыни слова inversio – «обращение»: все значения слова «инверсия» связаны с каким-то переворачиванием или «выворачиванием наизнанку» прежнего порядка вещей (например, центральная симметрия в пространстве относительно начала координат меняет значения всех координат на противоположные, и сверх того – в отличие от центральной симметрии на плоскости – нарушает ориентацию).
Инверсией относительно окружности с центром и радиусом называется преобразование, которое каждой точке ставит в соответствие точку , лежащую на луче и удаленную от на расстояние : отсюда и название «преобразование посредством обратных радиусов»: радиусы – расстояния от точки до точек и обратны друг другу. Легко видеть, что при инверсии точки, лежащие вне окружности, переходят внутрь нее, а точки, лежащие внутри – наружу; поэтому, собственно, преобразование и называется инверсией. Точки окружности при инверсии преобразуются сами в себя. Инверсия относительно одной и той же окружности, примененная два раза, возвращает точку в прежнее положение: таким образом, обратным к инверсии преобразованием является та же самая инверсия.
Построить образ точки при инверсии несложно: если точка лежит внутри окружности, то надо провести через эту точку диаметр и перпендикулярную ему хорду, а затем найти точку пересечения касательных к окружности в концах хорды. Если же исходная точка лежит вне окружности, то надо провести из этой точки касательные к окружности, соединить их и найти точку пересечения получившейся хорды с прямой, которая соединяет исходную точку с центром окружности.
Такие две точки будут взаимно инверсными. В самом деле: прямоугольные треугольники и 1 подобны по общему острому углу при вершине , следовательно, , откуда . Этот вывод сделан еще в «Конических сечениях» Аполлония. Если вы внимательно ознакомились с предыдущим уроком, вы уже поняли: прямая, проходящая через 1 перпендикулярно прямой окружности – не что иное, как поляра точки , и наоборот. Таким образом, четверка , , и – гармоническая.
Посмотрите, как меняются положения образа при инверсии, если двигать исходную точку.
Согласно Паппу, Аполлоний ставил и решал вопросы о том, как преобразуются при инверсии прямая и окружность. Нетрудно убедиться, что прямые, проходящие через центр инверсии, переходят в себя. Все другие прямые переходят в окружности, проходящие через : пусть угол прямой, тогда = , поэтому , треугольники и подобны по стороне и общему углу при вершине , следовательно, угол прямой.
Окружности, проходящие через центр инверсии, переходят в прямые. Все другие окружности переходят в окружности – доказательство производится сходным методом с рассмотрением равных углов и подобных треугольников.
Инверсия, таким образом, переводит окружности и прямые снова в окружности и прямые: преобразования, обладающие этим свойством, называются круговыми преобразованиями. Все круговые преобразования могут быть получены композицией инверсии с каким-либо преобразованием подобия.
Замечательным свойством инверсии является то, что она сохраняет углы между линиями (то есть между касательными к ним в точках их пересечения): такого рода преобразования называются конформными преобразованиями . Это более широкая группа, нежели круговые преобразования.
Окружность, инверсная сама себе, перпендикулярна окружности инверсии: касательные к этим двум окружностям в каждой точке их пересечения перпендикулярны. Таким образом, у данных окружностей перпендикулярны радиусы, проведенные в точке пересечения.
Термин «симметрия относительно окружности» объясняется определенными аналогиями инверсии с осевой симметрией. В частности, как известно, точку, симметричную данной относительно некоторой оси, можно построить как вторую точку пересечения двух окружностей, перпендикулярных оси симметрии. Точно так же точку, образ точки при инверсии можно построить как вторую точку пересечения двух окружностей, перпендикулярных окружности инверсии.
Строго говоря, инверсия – преобразование не всей плоскости в себя: центр окружности инверсии не отображается никуда, и в него тоже, соответственно, ничего не отображается. Для удобства при рассмотрении инверсии к плоскости присоединяют бесконечно удаленную точку – точку, в которую при инверсии переходит центр окружности инверсии. Эта точка – общая у всех прямых: параллельные прямые в ней касаются, а прямые общего положения имеют ее своей второй точкой пересечения; таким образом, прямые на такой пополненной плоскости пересекаются в двух точках, как окружности. Такую пополненную бесконечно удаленной точкой плоскость называют плоскостью Мёбиуса в честь великого немецкого геометра, создавшего в 1850 г. общую теорию круговых преобразований. Плоскость Мёбиуса отличается от проективной плоскости, которая имеет не одну бесконечно удаленную точку, а целую бесконечно удаленную прямую. По аналогии с инверсией на плоскости можно рассматривать инверсию в пространстве – симметрию относительно сферы. Инверсия тесно связана со стереографической проекцией сферы на плоскость. А именно, стереографическая проекция сферы совпадает с инверсией этой сферы относительно касающейся ее вдвое большей сферы.
Точки, инверсные друг другу (иногда называемых «взаимными полюсами»), рассматривались давно (например, Аполлонием); иногда они назывались «взаимными полюсами». Тем не менее, инверсия как преобразование начала изучаться в основном в XIX в., что было связано с общим уяснением понятия геометрического преобразования; впервые такое рассмотрение было осуществлено в 1831 г. шведским математиком Л. Магнусом и немецким математиком Ю. Плюккером.
Интерес к инверсии сильно возрос после того, как в 1845 г. физик Уильям Томсон (будущий лорд Кельвин – именно в честь него единица измерения абсолютной температуры в системе СИ называется кельвином) развил т. н. метод изображений в теории электрического потенциала. Электрический потенциал – физическая величина, которая меняется в присутствии заряженных тел и в разных точках пространства имеет разные значения. Линии электрического поля перпендикулярны поверхностям равного потенциала.
Определить, каков будет электрический потенциал, создаваемый по-разному расположенными зарядами в разных условиях, – нетривиальная задача, в XIX в. привлекшая внимание целого ряда математиков, в том числе великого Гаусса. Томсон рассматривал, каковым станет поле вблизи проводников, например, металлических. Во всех точках проводника потенциал должен быть одинаков (при условии, что ток не течет – нет источника тока).
Предположим, у нас есть металлическая сфера радиуса , и на расстоянии от ее центра в точку помещен точечный заряд .
Если бы металлической сферы не было, определить потенциал не составило бы труда: потенциал φ, создаваемый точечным зарядом , обратно пропорционален расстоянию от него
Но присутствие проводника искажает эту картину, потому что заряд влияет на электроны в проводнике, которые легко в нем перемещаются (если внешний заряд положительный, электроны сместятся на ближнюю к нему сторону сферы, а противоположная зарядится отрицательно). Они распределятся так, чтобы поверхность сферы стала эквипотенциальной. Оказывается, это эквивалентно тому, как если бы в пространство проводника поместили другой заряд – причем он должен располагаться в точке, инверсной расположению первого заряда относительно сферы.
Определим положение этого другого заряда и его величину. Пусть его величина ′, находится он в точке , а – некоторая точка сферы, . Тогда потенциал, создаваемый в этой точке первым зарядом, равен вторым а суммарный и это число должно быть постоянным: единственный способ этого добиться – считать, что оно равно нулю, а расстояния пропорциональны зарядам, то есть отношение расстояний до двух точек, где расположены заряды, одно и то же для всех точек сферы: Рассмотрим треугольник . Отношение его сторон и равно отношению отрезков и , а также и : здесь – биссектриса внутреннего угла, а – внешнего. Т. к. две этих биссектрисы перпендикулярны друг другу, угол – прямой. Значит, если отношение постоянно, то как раз и лежит на сфере с диаметром . Четверка точек , , и гармоническая, а значит, точка – образ точки при инверсии относительно сферы, и
Инверсия дает возможность сводить решение некоторых сложных задач на построение к решению задач более простых. Но чтобы приступить к решению таких задач, нужно прежде всего научиться инвертировать точки, прямые и окружности. В связи с этим предлагаем изучить решения следующих задач.
Задача 6.42. Инверсия задана окружностью инверсии О(г) (рис. 6.45). Построить точку М’, инверсную точку М.
Анализ. По определению инверсии искомая точка М’ принадлежит лучу ОМ и удалена от центра инверсии на расстояние ОМ’ = г 2 : ОМ. Следовательно, отрезок ОМ’ можно найти построением как четвертый пропорциональный к отрезкам г, г и ОМ (если М * О) (читатель в параграфе 6.10 найдет описание построения отрезка как четвертого про- порцианального).
Следует рассмотреть несколько случаев.
Случай 1. Точка М находится вне окружности инверсии О (г) (см. рис. 6.45).
Построение и исследование (в решении данной задачи эти две части удобно совместить).
1. Соединяем отрезком прямой точку М с центром инверсии.
2. Строим касательную из точки М к окружности инверсии.
3. Из полученной точки касания Г опускаем перпендикуляр ТК на ОМ.
4. Отмечаем точку М’ — точку пересечения ТК и ОМ.
М’ — искомая точка.
Доказательство. Точка М’ е ОМ по построению; в ДОГМ угол ОТМ прямой; по известному свойству перпендикуляра ТМ’ к гипотенузе ОМ находим
Следовательно, по определению инверсии точка М’ — искомая. Случай 2. Точка М находится внутри окружности инверсии О(г), но не совпадает с центром инверсии (рис. 6.46).
Построение и исследование. 1. Соединяем отрезком прямой точку М с центром инверсии.
2. Через точку М проводим перпендикуляр МР к ОМ.
3. Отмечаем точку Г — точку пересечения МР и окружности О (г).
4. Строим в точке Г касательную t к окружности инверсии.
5. Отмечаем точку пересечения: М’ — точка пересечения t и ОМ; М’ — искомая точка.
Доказательство. Треугольник ОТМ’ — прямоугольный, ГМ ± ОМ’. ОМ г
Следовательно,-=-, т.е. ОМ’ ? ОМ = г 2 .
Случай 3. Точка М принадлежит окружности инверсии О(г) (рис. 6.47).
Если точка М принадлежит окружности инверсии, то ОМ = г.
По определению инверсии ОМ • ОМ’ = г 2 , отсюда ом’ = г, т.е. точка М’ принадлежит окружности инверсии. Так как согласно определению инверсии точка М’ должна принадлежать лучу ОМ, то отсюда следует, что точка М’ в этом случае будет совпадать с точкой М.
Случай 4. Точка М совпадает с центром инверсии О. В этом случае
ОМ = 0. Из соотношения ОМ’= — следует, что задача не будет иметь решения: нельзя построить точку, инверсную центру инверсии О. Замечание. Если точка М находится внутри окружности, то ОМ 2
Из соотношения ОМ’--следует, что при этом ОМ’ > г, т.е., как мы уже убедились, точка М’ будет находиться вне окружности инверсии. Если точка М будет приближаться к центру инверсии (ОМ будет при этом уменьшаться), то точка М’ будет удаляться от центра окружности инверсии (так как будет увеличиваться ОМ’), и наоборот.
Задача 6.43. Инверсия задана окружностью инверсии О(г) (рис. 6.48). Построить фигуру, инверсную данной прямой KL.
Анализ. Способ построения искомой фигуры вытекает из следующих теорем.
1. При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.
2. При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя.
Построение и исследование. Случай 1. Прямая KL не имеет общих точек с окружностью инверсии.
1. Из центра инверсии О опускаем перпендикуляр ОВ на прямую KL.
2. Отмечаем точку Л — точка персечения ОВ и KL.
3. Строим точку Л’, инверсную точке Л (см. задачу 6.42).
4. Строим на отрезке ОА’ как на диаметре окружность.
Окружность О, |дОА’j — искомая.
Случай 2. Прямая KL касается окружности инверсии.
Случай 3. Прямая KL пересекает окружность инверсии, но не проходит через центр инверсии.
Случай 4. Прямая KL проходит через центр инверсии О.
В случаях 2—4 предлагаем данную задачу решить самостоятельно.
Задача 6.44. Инверсия задана окружностью инверсии О (г). Инвертировать данную окружность O^rj) (термин употребляется в литературе в смысле отыскания фигуры, инверсной данной).
Анализ. Способ решения данной задачи вытекает из следующих теорем.
1. Окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в этой инверсии в окружность, так же не проходящую через центр инверсии.
2. При инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую, не проходящую через центр инверсии; эта
по прямая перпендикулярна к линии центров данной окружности и окружности инверсии.
Случай 1. Данная окружность ОДгД находится вне окружности инверсии и не имеет с ней общих точек (рис. 6.49).
1. Строим прямую 00:.
2. Отмечаем точки Л и В пересечения прямой ООх и данной окружности Oj (/*>).
3. Строим точки А’ и В’, инверсные точкам А и В.
4. Строим на отрезке А’В’ как на диаметре окружность 02^A’B’J, которая является искомой.
Остальные возможные случаи расположения данной окружности ОДгД относительно окружности инверсии О (г) и соответствующие решения задачи предлагаем рассмотреть самостоятельно. Не забудьте рассмотреть случай, когда данная окружность Оа (гг) ортогонально пересекает окружность инверсии О (г).
Перейдем к решению задач методом инверсии.
Задача 6.45. Построить окружность, проходящую через две данные точки А и В и касающуюся данной прямой I.
Анализ. Для решения этой задачи, очевидно, достаточно найти точку касания искомой окружности и данной прямой.
Пусть окружность S (рис. 6.50) — искомая. Произведем преобразование инверсии, приняв за центр инверсии одну из данных точек, например В, а радиус окружности инверсии возьмем равным АВ.
При этой инверсии прямая I перейдет в окружность L, проходящую через центр В инверсии, а окружность S — в некоторую прямую т, проходящую через точку А (точка А переходит в себя при инверсии) и касающуюся окружности L в точке Сь в которую переходит при инверсии точка С.
Построения. Проведя из точки А касательную т к окружности L, получим точку касания Cv Прямая ВСХ пересекает данную прямую I в искомой точке С.
Доказательство правильности построения непосредственно вытекает из приведенного анализа.
Исследование. В зависимости от расположения точки А и окружности L задача может иметь два, одно или ни одного решения.
Задача 6.46. Построить окружность, касательную к данной окружности а и проходящую через две данные точки А и В, находящиеся вне данной окружности.
С тем чтобы выделить идею решения этой задачи, мы опишем и выполним лишь построение. В данном случае построение производится методом инверсии, и, применяя этот метод, мы покажем, каким образом задачи на построение сводятся к более простым задачам.
Пусть а — данная окружность (рис. 6.51), А и В — данные точки. [1] [2]
3. Проводим из точки В’ касательные прямые х <и х2 к окружности а’.
4. Инвертируем построенные прямые лг< и х’2 относительно окружности со. Эти прямые не проходят через центр инверсии А; тогда по известному свойству инверсии они преобразуются соответственно в окружности х[ и х2; при этом каждая из этих окружностей будет проходить через точку В и касаться окружности а, так как каждая из прямых х< и х’2 проходит через точку В’ и касается окружности а’. Окружности х< и х’2 — искомые.
Таким образом, с помощью инверсии данную задачу мы свели к задаче на построение касательной к окружности из данной точки.
Ортогональные окружности.Углом между двумя кривыми (в частности, между двумя окружностями) называется угол между касательными к этим кривым в их общей точке. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными (друг другу), если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны (рис. 5). Согласносвойству касательной к окружности центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой окружности в точке их пересечения.
Теорема 4.Окружность г, ортогональная к окружности инверсии, отображается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии).
Доказательство. Если М — произвольная точка окружности г и прямая ОМ пересекает окружность г вторично в точке М‘, то по свойству секущих ОМ*ОМ’=ОТ2 =R 2 , т.е. точки М и М’ взаимно инверсны относительно окружности щ (рис. 5). Следовательно, окружность г отображается на себя.
Теорема 5 (обратная). Если окружность г, отличная от окружности инверсии, отображается инверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии.
Доказательство. Соответственные точки М и М’ окружности г лежат на одном луче с началом О, причем одна из них вне, другая — внутри окружности щ инверсии (рис. 5). Поэтому окружность г пересекает окружность щ. Пусть Т — одна из точек их пересечения. Докажем, что ОТ — касательная к окружности г. Если бы прямая ОТ пересекала г еще в другой точке Т1, то по свойству секущих ОТ * ОТ1=R2. Но ОТ=R и поэтому ОТ1= R, т.е. точки Т и Т1совпадают, прямая ОТ касается г в точке Т, окружности щ и г ортогональны.
Инверсия как симметрия относительно окружности. Инверсия относительно окружности имеет аналогию с осевой симметрией.
Теорема 6. Окружность, содержащая две инверсные точки, инвариантна при данной инверсии (следовательно, ортогональна окружности инверсии).
Доказательство. Если окружность г содержит точки А и А’, соответственные при инверсии относительно окружности щ, то центр О инверсии лежит вне отрезка АА’, т.е. вне окружности г (рис. 6). Пусть М — произвольная точка окружности г и прямая ОМ пересекает г вторично в точке М’. Тогда по свойству секущих ОМ * ОМ’ = OA * OA’ = R2.
Поэтому точки М и М’ взаимно инверсны, и окружность г отображается инверсией на себя.
Следствие.Если две пересекающиеся окружности ортогональны к окружности инверсии, то точки их пересечения взаимно инверсны.
Действительно, если А — одна из точек
пересечения окружностей б и в, каждая из которых ортогональна к окружности щ инверсии, то прямая
OA пересекает как окружность б, так и окружность в в образе А’ точки А (рис. 7).
Иначе говоря, образом точки А, не лежащей на окружности инверсии, служит вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку А и ортогональных к окружности инверсии.
Это свойство может быть положено в основу определения инверсии.
Возьмем теперь вместо окружности щ прямую щ как предельный случай окружности (окружность бесконечно большого радиуса). Центры окружностей б и в, ортогональных прямой щ, лежат на этой прямой. Предыдущее свойство инверсии (второе ее определение) приводит к тому, что точки А и А’ пересечения окружностей б и в симметричны относительно прямой щ (рис. 8).
вторым 
а суммарный 
и это число должно быть постоянным: единственный способ этого добиться – считать, что оно равно нулю, а расстояния пропорциональны зарядам, то есть отношение расстояний до двух точек, где расположены заряды, одно и то же для всех точек сферы: 
Рассмотрим треугольник . Отношение его сторон и равно отношению отрезков и , а также и : здесь – биссектриса внутреннего угла, а – внешнего. Т. к. две этих биссектрисы перпендикулярны друг другу, угол – прямой. Значит, если отношение 
постоянно, то как раз и лежит на сфере с диаметром . Четверка точек , , и гармоническая, а значит, точка – образ точки при инверсии относительно сферы, и 
