Познакомимся еще с одним геометрическим преобразованием, называемым инверсией , или преобразованием посредством обратных радиусов, или симметрией относительно окружности. Первый термин короче (поэтому в наш «век скоростей» употребляется чаще), но второй и третий точнее характеризуют предмет, к которому относится: слово инверсия чрезвычайно многозначно, в том числе и в математике; например, инверсией иногда называется центральная симметрия в пространстве – см. урок «Перемещения». Буквальный перевод с латыни слова inversio – «обращение»: все значения слова «инверсия» связаны с каким-то переворачиванием или «выворачиванием наизнанку» прежнего порядка вещей (например, центральная симметрия в пространстве относительно начала координат меняет значения всех координат на противоположные, и сверх того – в отличие от центральной симметрии на плоскости – нарушает ориентацию).
Инверсией относительно окружности с центром и радиусом называется преобразование, которое каждой точке ставит в соответствие точку , лежащую на луче и удаленную от на расстояние : отсюда и название «преобразование посредством обратных радиусов»: радиусы – расстояния от точки до точек и обратны друг другу. Легко видеть, что при инверсии точки, лежащие вне окружности, переходят внутрь нее, а точки, лежащие внутри – наружу; поэтому, собственно, преобразование и называется инверсией. Точки окружности при инверсии преобразуются сами в себя. Инверсия относительно одной и той же окружности, примененная два раза, возвращает точку в прежнее положение: таким образом, обратным к инверсии преобразованием является та же самая инверсия.
Построить образ точки при инверсии несложно: если точка лежит внутри окружности, то надо провести через эту точку диаметр и перпендикулярную ему хорду, а затем найти точку пересечения касательных к окружности в концах хорды. Если же исходная точка лежит вне окружности, то надо провести из этой точки касательные к окружности, соединить их и найти точку пересечения получившейся хорды с прямой, которая соединяет исходную точку с центром окружности.
Такие две точки будут взаимно инверсными. В самом деле: прямоугольные треугольники и 1 подобны по общему острому углу при вершине , следовательно, , откуда . Этот вывод сделан еще в «Конических сечениях» Аполлония. Если вы внимательно ознакомились с предыдущим уроком, вы уже поняли: прямая, проходящая через 1 перпендикулярно прямой окружности – не что иное, как поляра точки , и наоборот. Таким образом, четверка , , и – гармоническая.
Посмотрите, как меняются положения образа при инверсии, если двигать исходную точку.
Согласно Паппу, Аполлоний ставил и решал вопросы о том, как преобразуются при инверсии прямая и окружность. Нетрудно убедиться, что прямые, проходящие через центр инверсии, переходят в себя. Все другие прямые переходят в окружности, проходящие через : пусть угол прямой, тогда = , поэтому , треугольники и подобны по стороне и общему углу при вершине , следовательно, угол прямой.
Окружности, проходящие через центр инверсии, переходят в прямые. Все другие окружности переходят в окружности – доказательство производится сходным методом с рассмотрением равных углов и подобных треугольников.
Инверсия, таким образом, переводит окружности и прямые снова в окружности и прямые: преобразования, обладающие этим свойством, называются круговыми преобразованиями. Все круговые преобразования могут быть получены композицией инверсии с каким-либо преобразованием подобия.
Замечательным свойством инверсии является то, что она сохраняет углы между линиями (то есть между касательными к ним в точках их пересечения): такого рода преобразования называются конформными преобразованиями . Это более широкая группа, нежели круговые преобразования.
Окружность, инверсная сама себе, перпендикулярна окружности инверсии: касательные к этим двум окружностям в каждой точке их пересечения перпендикулярны. Таким образом, у данных окружностей перпендикулярны радиусы, проведенные в точке пересечения.
Термин «симметрия относительно окружности» объясняется определенными аналогиями инверсии с осевой симметрией. В частности, как известно, точку, симметричную данной относительно некоторой оси, можно построить как вторую точку пересечения двух окружностей, перпендикулярных оси симметрии. Точно так же точку, образ точки при инверсии можно построить как вторую точку пересечения двух окружностей, перпендикулярных окружности инверсии.
Строго говоря, инверсия – преобразование не всей плоскости в себя: центр окружности инверсии не отображается никуда, и в него тоже, соответственно, ничего не отображается. Для удобства при рассмотрении инверсии к плоскости присоединяют бесконечно удаленную точку – точку, в которую при инверсии переходит центр окружности инверсии. Эта точка – общая у всех прямых: параллельные прямые в ней касаются, а прямые общего положения имеют ее своей второй точкой пересечения; таким образом, прямые на такой пополненной плоскости пересекаются в двух точках, как окружности. Такую пополненную бесконечно удаленной точкой плоскость называют плоскостью Мёбиуса в честь великого немецкого геометра, создавшего в 1850 г. общую теорию круговых преобразований. Плоскость Мёбиуса отличается от проективной плоскости, которая имеет не одну бесконечно удаленную точку, а целую бесконечно удаленную прямую. По аналогии с инверсией на плоскости можно рассматривать инверсию в пространстве – симметрию относительно сферы. Инверсия тесно связана со стереографической проекцией сферы на плоскость. А именно, стереографическая проекция сферы совпадает с инверсией этой сферы относительно касающейся ее вдвое большей сферы.
Точки, инверсные друг другу (иногда называемых «взаимными полюсами»), рассматривались давно (например, Аполлонием); иногда они назывались «взаимными полюсами». Тем не менее, инверсия как преобразование начала изучаться в основном в XIX в., что было связано с общим уяснением понятия геометрического преобразования; впервые такое рассмотрение было осуществлено в 1831 г. шведским математиком Л. Магнусом и немецким математиком Ю. Плюккером.
Интерес к инверсии сильно возрос после того, как в 1845 г. физик Уильям Томсон (будущий лорд Кельвин – именно в честь него единица измерения абсолютной температуры в системе СИ называется кельвином) развил т. н. метод изображений в теории электрического потенциала. Электрический потенциал – физическая величина, которая меняется в присутствии заряженных тел и в разных точках пространства имеет разные значения. Линии электрического поля перпендикулярны поверхностям равного потенциала.
Определить, каков будет электрический потенциал, создаваемый по-разному расположенными зарядами в разных условиях, – нетривиальная задача, в XIX в. привлекшая внимание целого ряда математиков, в том числе великого Гаусса. Томсон рассматривал, каковым станет поле вблизи проводников, например, металлических. Во всех точках проводника потенциал должен быть одинаков (при условии, что ток не течет – нет источника тока).
Предположим, у нас есть металлическая сфера радиуса , и на расстоянии от ее центра в точку помещен точечный заряд .
Если бы металлической сферы не было, определить потенциал не составило бы труда: потенциал φ, создаваемый точечным зарядом , обратно пропорционален расстоянию от него
Но присутствие проводника искажает эту картину, потому что заряд влияет на электроны в проводнике, которые легко в нем перемещаются (если внешний заряд положительный, электроны сместятся на ближнюю к нему сторону сферы, а противоположная зарядится отрицательно). Они распределятся так, чтобы поверхность сферы стала эквипотенциальной. Оказывается, это эквивалентно тому, как если бы в пространство проводника поместили другой заряд – причем он должен располагаться в точке, инверсной расположению первого заряда относительно сферы.
Определим положение этого другого заряда и его величину. Пусть его величина ′, находится он в точке , а – некоторая точка сферы, . Тогда потенциал, создаваемый в этой точке первым зарядом, равен вторым а суммарный и это число должно быть постоянным: единственный способ этого добиться – считать, что оно равно нулю, а расстояния пропорциональны зарядам, то есть отношение расстояний до двух точек, где расположены заряды, одно и то же для всех точек сферы: Рассмотрим треугольник . Отношение его сторон и равно отношению отрезков и , а также и : здесь – биссектриса внутреннего угла, а – внешнего. Т. к. две этих биссектрисы перпендикулярны друг другу, угол – прямой. Значит, если отношение постоянно, то как раз и лежит на сфере с диаметром . Четверка точек , , и гармоническая, а значит, точка – образ точки при инверсии относительно сферы, и
Формулы (4) и (5) дают возможность найти образы прямых и окружностей при инверсии.
Теорема 1. Прямая, проходящая через центр О инверсии (без точки О), переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Доказательство. Первая часть теоремы непосредственно следует из определения инверсии, поэтому докажем только вторую часть теоремы.
Пусть, Ах+Ву+С=0 — уравнение произвольной прямой, не проходящей через центр инверсии. Если в этом уравнении х и у заменить выражениями (5), то получим уравнение образа этой прямой:
Этим уравнением задается окружность, проходящая через точку О. ¦
Следствие 1. Если прямая d, не проходящая через центр О инверсии, переходит в окружность (О1, R), то прямые ОО1 и d перпендикулярны.
Доказательство. Из уравнения (6) находим координаты центра О1 окружности (О1,R): О1 (-, — ). Таким образом, вектор (-,-) перпендикулярен прямой d, заданной уравнением Ах + Ву +1 =0. ¦
Пользуясь следствием 1, легко указать способ построения образа щ прямой d, не проходящей через центр О инверсии.
Пусть Н — основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности инверсии г к прямой d, а Н’ — образ этой точки (рис. 4, а). Тогда щ есть окружность, построенная на отрезке ОН’ как на диаметре. Если прямая d пересекает окружность инверсии г в двух точках (па рис. 4, б точки А и В), то окружность щ проходит через точки А, В и О.
Теорема 2 . Окружность, проходящая через центр О инверсии (без точки О), переходит в прямую, не проходящую через точку О. Окружность, не проходящая через точку О, переходит в окружность, также не проходящую через точку О, причем точка О лежит на линии центров этих окружностей.
уравнение произвольной окружности щ. Если в этом уравнении х и у заменить их выражениями (5), то получим уравнение образа щ’ окружности
Умножив обе части равенства на (если , то точка О(0, 0) будет принадлежать данной окружности) получим, .
Это уравнение приводится к виду:
Если окружность со проходит через центр инверсии, то C = 0, поэтому уравнением (8) определяется прямая щ’, не проходящая через точку О (так как R4?0). Если окружность щ не проходит через точку О, то C?О, поэтому уравнением (8) определяется окружность щ’, не проходящая через центр инверсии. Из уравнений (7) и (8) находим центры окружностей:
(-,-) и (-, — ) — эти точки и точка О(0,0) лежат на прямой, заданной уравнением Вх — Ау = 0. ¦
Теорема 3. Если линии щ1и щ2, где щ1—окружность или прямая, а щ2 — окружность, касаются друг друга в точке М, отличной от центра инверсии f, то их образы щ1‘ и щ2‘также касаются друг друга в точке M’=f(M).
Доказательство. Так как щ1 и щ2 касаются друг друга в точке М, то М’ — единственная общая точка линий щ1 и щ2. Но каждая из этих линий является прямой или окружностью, поэтому они касаются друг друга ¦
Геометрические построения привлекают к себе внимание ещё с древних времён. Практическая геометрия так и зарождалась – с задач на построение, которыми занимались Пифагор, Евклид, Апполоний. Развитие теории геометрических построений определило такие виды преобразований плоскости, как центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия и т. д. Важной особенностью этих преобразований является то, что отрезки преобразуются в отрезки, окружности в окружности, т. е. они сохраняют природу простейших геометрических образов. Долгие века только эти виды преобразований применялись в геометрических построениях и задачах. Лишь в 30-е годы XIX века начали изучать инверсию, как новое преобразование плоскости, отличающееся от других непрямолинейностью, т. е. преобразованием окружности в прямую, и наоборот. Новый способ решения конструктивных задач стал называться методом инверсии, или методом обращения, или методом обратных радиусов. Нестандартность инверсии относительно преобразований движения даёт возможность практически приложить данный метод к решению задач механики. Конкретно, преобразовывать вращательное движение в прямолинейное. Инверсия позволяет применить к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения, прежде всего к задачам на построение и к теории пучков окружностей. С помощью метода инверсии многие задачи решаются без привлечения разнообразных искусственных построений, занимающих много времени.
Приложения инверсии многообразны. Механика, интерпретация геометрии Лобачевского на Евклидовой плоскости, комплексные числа и функции комплексного переменного.
Все конкретные преобразования сохраняют прямолинейность, то есть отрезок переводят в отрезок. Рассматриваемое нами преобразование таким свойством не обладает.
Пусть задана некоторая окружность S с центром O и радиусом r. Каждой точке X, отличной от точки O, поставим в соответствие точку X’ на луче OX, такую, что
Это преобразование и называется инверсией относительно окружности S и обозначается Is. Точка O называется центром инверсии, радиус r — радиусом инверсии, а окружность S – окружностью инверсии. В точке O инверсия Is не определена, т. е. для O нет соответствующей точки.
Из симметричности точек X и X’ в определении инверсии вытекает следующие свойства инверсии:
Свойство 1. Если точке X соответствует точка X’ при инверсии Is , то точке X’ соответствует точка X, т. е. если X’ = Is(X), то X = Is (X’).
Это же свойство инверсии можно сформулировать так: преобразование, обратное инверсии, совпадает с самой инверсиейб т. е. Is-1 = Is. Таким образом, Is * Is = E.
Свойство 2. При инверсии каждая точка окружности инверсии неподвижна, т. е. если XS, Is (X) = X.
В остальных случаях из пары соответствующих друг другу при иверсии точек X и X’ одна из точек лежит внутри окружности инверсии, а другая точка – вне окружности.
Свойство 3. Никакая точка плоскости не является инверсной для центра инверсии.
Свойство 4. На плоскости с «выколотым» центром инверсии инверсия является взаимно однозначгым преобразованием.
Свойство 5. Каждая точка базисной окружности инверсна сама себе.
Свойство 6. Если данная точка лежит вне базисной окружности, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот.
Свойство 7. Если точка, лежащая вне базисной окружности, неограниченно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка (внутри базисной окружности) неограниченно приближается к центру инверсии. Верно и обратное предположение.
Свойство 8. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя. При этом часть луча, внутренняя относительно базисной окружности, преобразуется в его внешнюю часть, и наоборот.
Свойство 9. при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя.
Эти свойства говорят о сходстве инверсии и осевой симметрии. Поэтому инверсию часто называют симметрией относительно окружности.
Показывает, как построить соответствующие друг другу при инверсии точки X и X’, где прямые p и q – касательные к S. OX * OX’ = r2.
Аналитическое задание инверсии
Для изучения дальнейших свойств инверсии удобно применять аналитический метод. Введём систему прямоугольных координат, поместив их начало в центр O окружности инверсии Is. Y
Пусть точка A имеет координаты x, y, а соответствующая ей точка A1 – координаты x1, y1. Тогда OA = (x, y), OA1 =( х1, у1) и
Поэтому x1=λx, y1=λy. Найдем множитель λ. Так как OA1↑↑OA, то λ>0. Из нижеописанного равенства следует, что OA1=λOA. Умножив обе части последнего равенства на OA, получим:
Так как OA1 * OA =r2 и OA2 = x2 + y2, то получаем что λ =. Следовательно, инверсия Is равенствами x1 = , y1 =
Так же при решении задач необходимо уметь выражать значения x и y через x1 и y1:y1 x = , y =
Образы прямых и окружностей при инверсии
Теорема (об инверсии). Инверсия преобразует: 1) прямую, проходящую через центр инверсии, в эту же прямую; 2) прямую, не проходящую через центр инверсии, в окружность, проходящую через центр инверсии; 3) окружность, проходящую через центр инверсии, в прямую, не проходящую через центр инверсии; 4)окружность, проходящую через центр инверсии, в окружность, не проходящую через центр инверсии.
Доказательство. Сначала рассмотрим уравнение для прямых и окружностей на плоскости:
A (x2 + y2) + Bx + Cx + D = 0 , если A2 + B2 + C2 = 0
При A = 0 данно уравнение становится линейным уравнением и задаёт прямую. Уравнение окружности (x-a)2 + (y-b)2 = R2 подобно нижепреведённому уравнению.
Чтобы выяснить во что преобразует инверсия I2 фигуру F, заданную уравнением для прямых и окружностей на плоскости, подставим выражения для x и y в данное уравнение:
D (x12 + y12) + Br2x1 + Cr2y1 + Ar4 = 0
Это уравнение задаёт образ Is(F) фигуры F при инверсии Is. Теперь рассмотрим последовательно все 4 случая.
1) F – прямая , проходящая через точку O
Тогда A = 0, D = 0 и уравнение имеет вид Bx1 + Cy1 = 0, т. е. задаёт ту же прямую F
2)F – прямая, не проходящая через точку O. Тогда A = 0 , но D 0 и уравнение приводится к виду x12 + y12 – 2ax1 – 2by1 = 0, где 2a = и 2b =. Выделив полные квадраты, его можно записать так:
(x1 — a)2 + (y1 — b)2 = a2 + b2
Это уравнение задает окружность, проходящую через точку O.
3)F – окружность, проходящую через точку O.
Тогда A 0, но D = 0 и уравнение приволится к виду
Bx1 + Cy1 + Ar2 = 0
Так как A 0, то это уравнение задаёт прямую, не проходящую через точку O.
4)F – окружность не проходящая через точку O.
В этом случае и A 0 и D 0 ,а уравнение имеет свой первоначальный вид: оно тоже задаёт окружность, не проходящую через точку O.
Сохранение величин углов при инверсии
Очевидно, что инверсия не сохраняет расстояний между точками. Но она сохраняет углы между кривыми. В рассмотренных мною случаях это углы между прямыми и окружностями. Угол между пересекающимися окружностями – это угол между касательными к ним прямыми и точке их пересечения. Аналогично определяется и угол между окружностью и пересекающей её прямой.
Если окружность и прямая (или две окружности) касаются, то их образы при инверсии так же касаются.
При инверсии углы сохраняются для случая пересекающихся прямых p и q, не проходящих через центр инверсии точку O.
Доказательство. Пусть точка A – точка пересечения p и q. Окружности U = Is(p) и V = Is(q) пересекаются в точке O и ещё в одной точке B = Is(A). Поскольку углы между окружностями U и V в точках O и B равны. То будем рассматривать угол между ними в точке O. Касательные прямые p1 и q1 в точке O к окружностям U и V паралельны соответственно прямым p и q. Поэтому p1q1 = pq =
Используя инверсию очень легко доказать теорему Птолемея о произведении диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника. При доказательстве этой теоремы используется следующая лемма.
Лемма. Пусть A’ и B’ – образы точек A и B при инверсии с центром O и радиусом r. Тогда труегольники OAB и OA’B’ подобны и
Доказательство. По определению инверсии выполняются равенства
OA’ * OA = r2, OB’ * OB = r2
Следовательно, OA’ * OA = OB’ * OB, и поэтому
Значит, треугольники OAB и OB’A’ имеют общий угол при вершине O и их стороны, идущие из этой же вершины, пропорциональны.
По третьему признаку подобия треугольники OAB и OA’B’ подобны. Но тогда и
Из этого равенства
Подставляя в это выражение OA’= мы получим A’B’ = AB
Теперь докажем теорему Птолемея.
Теорема Птолемея : Произведение диагоналей вписанного в окружность четырухугольника равно сумме произведения его противоположных сторон.
Доказательство. Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность S.
По теореме об инверсии окружность инверсия I с центром в точке D (и любым радиусом) переведёт в прямую p, не проходящую через точку D. Точки A1 = I(A), B1 = I(B), C1 = I(C) лежат на прямой p, причём точка B1 лежит на отрезке A1C1. Поэтому
A1C1 = A1B1 + B1C1.
По лемме об инверсии
A1C1 = AC, A1B1 = AB, B1C1 = BC
Подставив всё эти выражения в предыдущее уранение, получим
AC * DB = AB * DC + BC * DA
Инверсор
На свойствах инверсии основан механизм, преобразующий вращательное движение в прямолинейное. Он называется инверсором и устроен следующим образом. Семь твёрдых стержней OP, OQ, PM, PM’, QM, QM’ и SM соеденены шарнирно.
Точки O и S неподвижны, причём OS = SM. Кроме того, PMQM’ — ромб. Когда точка M вращается по окружности с центром S и радиусом SM, точка M’ перемещается по прямой. Теперь докажем это.
Установим, что произведение OM * OM’ равно квадрату касательной, проведённой из точки O к F, т. е. OM * OM’ = OP2 – PM2. Величина r2 = OP2 – PM2 постоянна. Точки M и M’ соответствуют друг другу при инверсии с центром O и радиусом r. Поэтому, когда точка M двигается по дуге окружности (проходящей через точку O), точка M’ двигается по прямолинейному отрезку (по третьему свойству из теоремы об инверсии).
В данной работе демонстрируются преимущества метода инверсии, как непрямолинейного преобразования плоскости, позволяющего преобразовывать вращательное движение в прямолинейное. Метод обратных радиусов (инверсии) дает возможность решать геометрические задачи на построение намного бысрее и рациональнее, что позволяет не только сэкономить время, но и представить красивое решение. Наверняка, все возможности этого метода ещё не востребованы на практике, поэтому данной тематике следует уделять значительно больше внимания, т. к. она обладает нестандартными восприятиями геометрических объектов.
🎬 Видео
№150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окр-тиСкачать
вторым 
а суммарный 
и это число должно быть постоянным: единственный способ этого добиться – считать, что оно равно нулю, а расстояния пропорциональны зарядам, то есть отношение расстояний до двух точек, где расположены заряды, одно и то же для всех точек сферы: 
Рассмотрим треугольник . Отношение его сторон и равно отношению отрезков и , а также и : здесь – биссектриса внутреннего угла, а – внешнего. Т. к. две этих биссектрисы перпендикулярны друг другу, угол – прямой. Значит, если отношение 
постоянно, то как раз и лежит на сфере с диаметром . Четверка точек , , и гармоническая, а значит, точка – образ точки при инверсии относительно сферы, и 
![Задача №255 [НЕДЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ #1]](https://i.ytimg.com/vi/YOhJB2oYSF4/0.jpg)
