Имеет центр симметрии пара параллельных прямых параллелограмм (3 видео)

Имеет центр симметрии пара параллельных прямых параллелограмм

Постройте центр симметрии следующих фигур:

б) двух равных углов (в каких случаях это возможно?);

в) двух равных окружностей (рассмотрите все случаи);

г) двух равных треугольников (в каких случаях они могут быть центрально симметричны?).

Решение . Ответ: б) Два равных угла центрально-симметричны, если их стороны — противоположно направленные лучи. в) Во всех случаях центр симметрии — середина отрезка, соединяющего центры этих окружностей. г) Два равных треугольника могут быть центрально-симметричны, если соответственные стороны этих треугольников параллельны и нет параллельного переноса, переводящего один в другой.

Через центр симметрии квадрата ABCD проведена прямая I, пересекающая сторону AB. Докажите, что сумма расстояний вершин B и C квадрата до прямой равна сумме расстояний вершин A и D до этой прямой.

На сторонах квадрата вне его построены квадраты. Докажите, что их центры симметрии являются вершинами квадрата.

Дан параллелограмм ABCD, точка M принадлежит стороне BC, точка N принадлежит стороне CD, O — центр симметрии параллелограмма. Проведены прямые МО и NO, пересекающие прямые AD и AB соответственно в точках Р и Q. Докажите, что точки М, N, Р и Q — вершины параллелограмма.

Докажите, что объединение данного треугольника и треугольника, ему симметричного относительно середины какой-либо его стороны, является параллелограммом.

Докажите, что каждый четырёхугольник, имеющий центр симметрии, — параллелограмм.

Решение . Ответ: Указание: диагонали четырёхугольника, имеющего центр симметрии, делятся им пополам.

Отрезок центрально-симметричен отрезку AB относительно центра O. Найдите площадь треугольника ABO, если площадь треугольника равна 17,5.

Решение . Ответ: 17,5.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что

Решение . Треугольники BOK и DOM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, как вертикальные, как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей BD. Из равенства треугольников следует равенство их сходственных сторон: Что и требовалось доказать.

Приведем другое решение.

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма (Атанасян Л. С., Геометрия 7−9, п. 47). Поэтому треугольники OKB и OMD центрально симметричны относительно точки О и, следовательно, равны. Поэтому их стороны BK и DM равны. Что и требовалось доказать.

Содержание

Геометрия. 8 класс
Параллелограмм: свойства и признаки
Определение параллелограмма
Свойства параллелограмма
Признаки параллелограмма
🎥 Видео

Видео:№443. Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?Скачать

Геометрия. 8 класс

Выберите правильный ответ.

Какая фигура не имеет центра симметрии?

Впишите правильный ответ.

Сколько осей симметрии у шестиугольника с равными сторонами и углами (см. рисунок)?

Установите соответствие между фигурой и наличием у неё оси симметрии.

Имеет ось симметрии

Не имеет оси симметрии

Впишите правильный ответ.

Сколько осей симметрии у квадрата?

Выберите правильный ответ.

На каком рисунке верно построен отрезок, симметричный отрезку АB, относительно точки О?

Имеет центр симметрии пара параллельных прямых параллелограмм

Выберите верные утверждения.

Известно, что точка O центр симметрии, при которой точки А симметрична точке А₁ точка В симметрична точке В₁.

Треугольник АОВ – равнобедренный.

Треугольники АОВ и А₁ОВ₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

S = a × h, где a — сторона, h — высота.
S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:№422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?Скачать

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

Противоположные стороны параллелограмма равны.
ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
Противоположные углы параллелограмма равны.
ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
- CO = AO
- BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:№442. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.Скачать

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

AB || CD
AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

AC — общая сторона;
По условию AB = CD;
∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

AB = CD
BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

AC — общая сторона;
AB = CD по условию;
BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

CO = OA;
DO = BO;
углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.