Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
Содержание
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать Определение хорды Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой. Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности. Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать Свойства хорды к окружности
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать Свойства хорды и вписанного углаВидео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать Свойства хорды и центрального углаВидео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать Формулы нахождения хорды Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла. Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать Решение задачПримечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.
Решение. Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда 2х * 3х = 5 * 12 Откуда
Решение. 3,5х + 5,5х + 3х = 360 Откуда градусные величины центральных углов равны: 90 / 2 = 45 Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ; Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы углаОпределение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части. Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1). Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно, что и требовалось доказать. Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2). Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно, что и требовалось доказать. Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла. Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны. Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно что и требовалось доказать. Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны. Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4). Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство: Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство: Следовательно, справедливо равенство: откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности . Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника. Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольникФормулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.
где где Равнобедренный треугольник | Равносторонний треугольник | где Прямоугольный треугольник | Видео:В окружности три хордыСкачать Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольникТеорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6). с помощью формулы Герона получаем: что и требовалось. Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7). то, в случае равнобедренного треугольника, когда что и требовалось. Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8). то, в случае равностороннего треугольника, когда что и требовалось. Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник. Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно, В силу теоремы 3 справедливы равенства Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем что и требовалось. Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник. Видео:Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать Вписанная окружность
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
В четырехугольник, можно вписать окружность, Во все вышеперечисленные фигуры Окружность невозможно вписать в прямоугольник Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан Свойства вписанной окружностиВ треугольник
[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ] p — полупериметр четырехугольника. окружность и любая из сторон треугольника. перпендикуляры к любой точке касания. треугольника на 3 пары равных отрезков. Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера: с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника. В четырехугольник
[ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ] p — полупериметр четырехугольника. равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин. Примеры вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника: Примеры описанного треугольника: Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол
Центр окружности, которая вписана в угол, К центру окружности вписанной в угол, можно провести, Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности 🎦 ВидеоОкружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать Окружность. 7 класс.Скачать Радиус Хорда ДиаметрСкачать Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать Равносторонний треугольник и три хорды в описанной окружностиСкачать Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать |