Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Вписанный четырехугольник в окружность с вершиной в центре окружности

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Четырехугольник с вершиной в центре окружностиВписанные четырехугольники и их свойства
Четырехугольник с вершиной в центре окружностиТеорема Птолемея

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Четырехугольник с вершиной в центре окружности
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Четырехугольник с вершиной в центре окружности

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЧетырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЧетырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЧетырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЧетырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЧетырехугольник с вершиной в центре окружности

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Четырехугольник с вершиной в центре окружности
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Окружность, описанная около параллелограмма
Четырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Четырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Четырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Четырехугольник с вершиной в центре окружностиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Четырехугольник с вершиной в центре окружности
Окружность, описанная около параллелограмма
Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЧетырехугольник с вершиной в центре окружности

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЧетырехугольник с вершиной в центре окружности

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЧетырехугольник с вершиной в центре окружности

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЧетырехугольник с вершиной в центре окружности

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Докажем, что справедливо равенство:

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

откуда вытекает равенство:

Четырехугольник с вершиной в центре окружности(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.

Вписанный четырехугольник в окружность. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Общие понятия

Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.

Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.

Четырехугольник с вершиной в центре окружностиВам будет интересно: Железнодорожный техникум в Челябинске после 9 класса: специальности, отзывы

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Четырехугольник может быть следующих видов:

  • Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
  • Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
  • Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
  • Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
  • Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.

Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.

Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Частные случаи

Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:

  • Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
  • Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
  • Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Свойства вписанного четырехугольника в окружность

Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Теорема 1

Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что

Видео:2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shorts

Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.

Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Теорема.

В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).

Обратная теорема:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Пусть ABCDвписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:

Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .

Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).

Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.

Следствия.

1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.

Видео:вписанный и описанный четырехугольникСкачать

вписанный и описанный четырехугольник

Вписанный четырехугольник в окружность. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.

Видео:Вписанные четырехугольники. Метод вспомогательной окружностиСкачать

Вписанные четырехугольники. Метод вспомогательной окружности

Общие понятия

Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.

Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности Вам будет интересно: Железнодорожный техникум в Челябинске после 9 класса: специальности, отзывы

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Четырехугольник может быть следующих видов:

  • Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
  • Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
  • Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
  • Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
  • Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.

Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.

Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.

Видео:Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаСкачать

Задача об окружности, описанной около четырёхугольника

Частные случаи

Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:

  • Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
  • Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
  • Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.

Видео:Урок 2. Вписанная окружность в четырехугольник. Диаметр - высотаСкачать

Урок 2. Вписанная окружность в четырехугольник. Диаметр - высота

Свойства вписанного четырехугольника в окружность

Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.

Видео:Четырехугольник, вписанный в окружностьСкачать

Четырехугольник, вписанный в окружность

Теорема 1

Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что

Видео:Окружность, вписанная в четырёхугольник.Скачать

Окружность, вписанная в четырёхугольник.

Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.

Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Теорема.

В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).

Обратная теорема:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.

Четырехугольник с вершиной в центре окружности

Пусть ABCDвписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:

Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .

Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).

Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.

Следствия.

1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.

🎬 Видео

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Вписанный четырёхугольник. Центр окружностиСкачать

Вписанный четырёхугольник. Центр окружности

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники
Поделиться или сохранить к себе: