Граничные условия для вектора на границе двух диэлектриков (8 видео)

Поле в диэлектрике. Условия на границе двух диэлектриков

Изучим поведение векторов напряженности Е и электрического смещения D электростатического поля на границе раздела двух однородных изотропных диэлектрических сред 1 (?),/),) и 2 (E₂,D₂). Рассмотрим окрестность произвольной точки А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Пусть е, и с₂ — диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Будем использовать теорему о циркуляции вектора Е (12.16) и теорему Гаусса для вектора (13.14).

Проведем в точке А на границе раздела сред единичные векторы, направленные по касательной к поверхности (т) раздела и по нормали (п) к ней, направленной из первой среды во вторую.

Построим вблизи точки А замкнутый прямоугольный контур L, две стороны которого параллельны границе раздела сред и равны А/, а две другие равны АИ (рис. 13.3, а). При любом значении АИ должна выполняться теорема о циркуляции вектора Е (12.16):

Перейдем к пределу при Ah —> 0:

В этом случае значения интеграла j E dI вдоль боковых сторон (АИ) прямоугольного контура L тоже стремятся к нулю. Верхняя и нижняя стороны контура неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. При обходе контура L по часовой стрелке с учетом выражения (13.16) получаем, что

Рис. 13.3. К получению условий на границе двух диэлектриков: а — для тангенциальных компонент векторов Ё и D, б — для нормальных компонент векторов

где проекции вектора Ё взяты на направление обхода контура, показанное стрелками на рис. 13.3, а. Учтем, что в проекции на вектор т выполняется E_W=

E_U. Таким образом, первое граничное условие для напряженности поля

т.е. тангенциальная составляющая вектора Ё напряженности поля не изменяется при переходе из одной среды в другую через поверхность раздела.

Согласно формулам (13.12а) и (13.17), имеем и получаем первое граничное условие для электрического смещения:

т.е. тангенциальная составляющая вектора D претерпевает на границе раздела диэлектриков разрыв.

Определим вторую пару условий. Выберем вокруг точки А небольшой участок поверхности раздела сред площадью AS. Построим цилиндрическую замкнутую поверхность S, охватывающую этот участок границы раздела сред 1 и 2. Пусть образующие цилиндра длиной Аh параллельны вектору п нормали к поверхности раздела, а основания цилиндра перпендикулярны п (рис. 13.3, б).

В теореме Гаусса (13.14) для вектора D

где q — суммарный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S, т.е. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при А/г —> 0 :

В общем случае при наличии поверхностных сторонних зарядов на границе раздела lim q = oAS, где о — поверхностная плотность сто-

роннего заряда на границе раздела. Тогда должно выполняться равенство

Получаем граничное условие для вектора D в виде

Если на поверхности раздела сред нет поверхностных сторонних зарядов, то Пт

Рис. 13.4. Преломление линий напряженности на границе двух диэлектриков (е₂ > е,)

В частности, если первая среда — вакуум, то ?| = 1 и Е_2п — Е_1п/е₂. Это условие важно для практического применения в решении задач.

Преломление линий векторов Е и D. Полученные выше условия для составляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, что линии данных векторов на этой границе преломляются (рис. 13.4). Найдем соотношение между углами а, и а₂, образуемыми линиями напряженности с перпендикуляром к поверхности раздела сред в точке А. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то по формулам (13.17) и (13.21) получаем

Из рис. 13.4 следует, что углы а_< и а₂ удовлетворяют условиям

Тогда закон преломления линий напряженности электростатического поля

на поверхности раздела двух диэлектрических сред при условии отсутствия на этой поверхности сторонних зарядов в соответствии с уравнением (13.21) запишется так:

Условие на границе проводник — диэлектрик. Если на рис. 13.3, б, среда I — проводник, а среда 2 — диэлектрик, то D_ln — D_n, a D_ln — 0, так как внутри проводника Е — 0. Из формулы (13.19) следует, что

где И — внешняя по отношению к проводнику нормаль.

Связанный заряд у поверхности проводника. Можно доказать, что если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик (объемная плотность связанных зарядов р’ = 0), то на границе диэлектрика с проводником будут связанные заряды с поверхностной плотностью о’:

где о — поверхностная плотность стороннего заряда на проводнике. При этом знаки связанного и стороннего зарядов будут противоположны.

Сегнетоэлектрики. Сегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики, обладающие в определенном диапазоне температур спонтанной поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий. Они используются в конденсаторах большой емкости при малых размерах. Примеры: сегнетова соль NaKC₄H₄0₆ 4Н₂0, титанат бария ВаТЮ₃.

Домены — это области сегнетоэлектриков с различными направлениями поляризации. Доменная структура отражает особенности развития фазового перехода в реальном сегнетоэлектрике. Температура, выше которой исчезают сегнетоэлектрические свойства и вещество ведет себя как изотропный диэлектрик, называют тонкой Кюри Т_с . В некотором температурном интервале у сегнетоэлектриков ?

10 000 . Например, у сегнето- вой соли Т_с — 258 —296 К, спонтанная поляризация p_s — 2,6 нКл/м 2 , ?-200; у титаната бария Г_С=391К, спонтанная поляризация p_s = 158 нКл/м 2 , ?-3000.

Рис. 13.5. Диэлектрический гистерезис в сегнетоэлект-

Для сегнетоэлектриков связь между вектором напряженности внешнего электрического поля Е и вектором поляризации Р нелинейная и наблюдается явление диэлектрического гистерезиса — сохранения остаточной поляризованности Р_0СТ при снятии внешнего поля (рис. 13.5). Поляризация образца исчезает полностью лишь под действием электрического поля противоположного направления, напряженность которого Е =

Е_С. Величина Е_с называется коэрцитивной силой.

Пьезоэлектрики — это кристаллические диэлектрики, в которых при сжатии или растяжении возникает электрическая поляризация — прямой пьезоэффект. Обратный пьезоэффект — появление механической деформации под действием электрического поля.

Содержание

Условия на границе раздела двух диэлектриков.
Граничные условия для векторов поляризации
Что такое граничные условия
Уравнения поля
Готовые работы на аналогичную тему
🔍 Видео

Видео:Лекция 4-2. Условия на границе раздела двух диэлектриковСкачать

Условия на границе раздела двух диэлектриков.

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются два следующих условия:

1) равны тангенциальные составляющие напряженности поля:

2) равны нормальные составляющие электрической индукции:

Индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2 — ко второму.

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле fyEdl = 0 по любому замкнутому контуру; второе представляет следствие теоремы Гаусса.

Докажем справедливость первого условия. С этой целью выделим плоский замкнутый контур mnpqm (рис. 19.11) и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сторона контура расположена в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е₂, нижняя — в диэлектрике с е,. Длину стороны тп, равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что размеры пр и qm будут бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляющими интеграла dl вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем. Составляющая §Ё dl на пути тп равна Ё₂ dl₂ = E_2l dl, по пути pq равна Ё dl_x = -Е_и dl. Знак минус появился потому, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая вектора Ё_х направлены в противоположные стороны (cosl80° = -1). Таким образом, §Ё dl = E_2ldl-E_u dl = 0 или Е_и=Е_2г

Убедимся в справедливости второго условия. С этой целью на границе раздела двух сред выделим очень малых размеров параллелепипед (рис. 19.12). Внутри выделенного объема есть связанные заряды и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на границе раздела рассмотрим отдельно), поэтому ?/3 dS = 0.

Поток вектора D:

т. e. при наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изменяется на значение плотности свободных зарядов на границе раздела.

Из § 19.3 известно, что потенциалу придается смысл работы при переносе единичного заряда. При переходе через границу, отделяющую один диэлектрик от другого, например, при переходе от точки п к точке р на рис. 19.11, нормальная составляющая напряженности является величиной конечной, а длина пути стремится к нулю. Произведение их равно нулю.

Поэтому при переходе через границу раздела двух диэлектриков потенциал не претерпевает скачков.

Видео:46. Граничные условия для электрического поляСкачать

Граничные условия для векторов поляризации

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Билет №06-08 "Диэлектрики"Скачать

Что такое граничные условия

Граничными условиями называют связь между векторами, характеризующими поле, по разные стороны поверхности, которая разграничивает две области. Такая поверхность может разделять вещества, обладающие различными свойствами, может отделять вещество от вакуума, может быть воображаемой границей.

В любом случае граничные условия позволяют определить изменения векторов поля при переходе через границу. Их получают с помощью уравнений поля.

Видео:граница раздела двух диэлектриков 2Скачать

Уравнения поля

Если два разных диэлектрика находятся в электрическом поле, то на их границе возникают поверхностные заряды. Это понятно, при одинаковой напряженности электрического поля поляризованность разных диэлектриков различна. Значит, граница диэлектриков пересекается разным количеством поляризационных зарядов со стороны каждого диэлектрика. В конечном итоге около границы собирается некоторый связанный заряд, который является поверхностным зарядом, его поверхностную плотность будем обозначать $_$. Так, при переходе через границу двух различных диэлектриков можно записать следующее выражение:

где $P_$-нормальная составляющая вектора поляризации диэлектрика с номером 2, $P_$ — нормальная составляющая вектора поляризации диэлектрика с номером 1. Граничное условие для вектора поляризации (1) можно записать несколько иначе:

$overrightarrow$-единичный вектор нормали, который направлен из первой во вторую среду. $overrightarrow

,overrightarrow

$. Формулы (1,2) могут применяться и для границы диэлектрик — вакуум (для вакуума поляризованность полагается равной нулю), то есть $P_=0$, получим в таком случае:

где $P_n$ — перпендикулярная составляющая вектора поляризации на границе диэлектрика с вакуумом.

При переходе через границу раздела двух диэлектриков для нормальной составляющей вектора $overrightarrow$ можно записать:

где $sigma $ — поверхностная плотность распределения свободных зарядов на границе диэлектриков. $overrightarrow$ — нормаль, которая проведена в сторону второй среды. Если свободных зарядов на границе раздела двух диэлектриков нет, то:

Для тангенциальной составляющей:

Нормальная же составляющая напряженности электрического поля на границе двух диэлектриков терпит разрыв (силовые линии преломляются). Если около границы нет свободных зарядов, то можно записать:

В том случае если $_2>_1$, следовательно, $E_

Граничные условия для тангенциальной составляющей вектора напряженности ($E_$) при переходе из одного диэлектрика в другой имеют вид:

Граничные условия выполняются для полей изменяющихся во времени. Эти условия справедливы и для границы с вакуумом. Надо только помнить, что диэлектрическая проницаемость вакуума полагается равна единице.

Задание: Объясните, как ведет себя поле (с точки зрения рисунка силовых линий), если в него внести шаровой слой диэлектрика с достаточно большой диэлектрической проницаемостью (рис.1).

При переходе через границу раздела воздух — диэлектрик силовые линии поля преломляются. Так как воздух имеет меньшую диэлектрическую проницаемость, чем шаровой слой, то силовые линии удаляются от нормали к границе шарового слоя. Если полый диэлектрик с большой диэлектрической проницаемостью внести в электрическое поле, то вследствие преломления линии поля будут концентрироваться преимущественно в слое диэлектрика. Внутри полости они расположатся редко. Поле внутри полости будет ослаблено в сравнении с внешним полем. Полость обладает экранирующим действием. Однако экранирование не является полным. Чем больше $varepsilon $, тем больше экранирующее действие (рис.2).

Готовые работы на аналогичную тему

Задание: Получите закон преломления линий электрического смещения при переходе границы между двумя диэлектриками (рис.3).

Основой для решения задачи станет тот факт, что линии смещения электрического поля ($overrightarrow$) проходят границу раздела двух диэлектриков не прерываясь (рис.3). Количество линий приходящих к площадке $triangle S$ из диэлектрика с номером (1) будет равно:

[D_1triangle S_1=D_1triangle Scosalpha left(2.1right).]

Количество линий выходящих из площадки $triangle S$ в диэлектрик с номером (2) равно:

[D_2triangle S_2=D_2triangle Scosbeta left(2.2right).]

Так как линии не претерпевают разрыва, то из количества должны быть одинаковы, то есть запишем, что:

[D_1triangle Scosalpha =D_2 triangle Scosв left(2.3right),]

[D_1cosalpha =D_, D_2cosbeta =D_left(2.4right).]

На границе диэлектриков линии электрического смещения терпят преломление, угол между нормалью к поверхности раздела и линией электрического смещения изменяется ($alpha to beta $). Из рис 3. следует, что

следовательно, подставляя граничные условия для составляющих вектора смещения в (2.5) получим закон преломления линий электрического смещения:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08 12 2021