Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Градусные меры дуг окружности относятся как их длины, поэтому вписанный угол опирается на дугу
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, тем самым, он равен 85°.
- Геометрия. Урок 5. Окружность
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
- Дуга в окружности
- Углы в окружности
- Длина окружности, длина дуги
- Площадь круга и его частей
- Теорема синусов
- Примеры решений заданий из ОГЭ
- 5.5.1 Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
- 📽️ Видео
Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Видео:ОГЭ 2021 Задание 16Скачать
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Видео:Геометрия Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые ее делят две точки, если градусныеСкачать
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Видео:Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | ИнфоурокСкачать
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Видео:72. Градусная мера дуги окружностиСкачать
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Видео:Геометрия Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые ее делят две точки, если градуснаяСкачать
5.5.1 Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
Видеоурок: Градусная мера дуги окружности
Лекция: Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
Мерой угла называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.
Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.
Градусная мера угла
Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.
Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° — развернутый угол, четверть – 90° — прямой угол и т.д.
Радианная мера угла
А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия. Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.
Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.
Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.
Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.
Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.
Ниже представлена таблица, позволяющая переходить от градусов к радианам или же наоборот:
Если говорить о длине дуги, то длина дуги в 1 рад равна длине радиуса соответствующей окружности. То есть для определения длины дуги необходимо величину радиуса умножить на градусную меру дуги в радианах.
📽️ Видео
Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Геометрия Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенные между двумя параллельными хордамиСкачать
Задача 6 №27868 ЕГЭ по математике. Урок 109Скачать
Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать
Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать
Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать
Г 8 Градусная мера дуги окружности. Центральный угол - 01Скачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Геометрия Концы хорды AB делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3:7Скачать
Как найти длину окружности, радиус и длину дуги окружности. Геометрия 8-9 классСкачать