Градусная мера дуги окружности через радиус

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Градусная мера дуги окружности через радиус

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | ИнфоурокСкачать

Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | Инфоурок

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Градусная мера дуги окружности через радиус

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:№1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°Скачать

№1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Радианная мера угла. 9 класс.

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Градусная мера дуги окружности через радиусОсновные определения и свойства. Число π
Градусная мера дуги окружности через радиусФормулы для площади круга и его частей
Градусная мера дуги окружности через радиусФормулы для длины окружности и ее дуг
Градусная мера дуги окружности через радиусПлощадь круга
Градусная мера дуги окружности через радиусДлина окружности
Градусная мера дуги окружности через радиусДлина дуги
Градусная мера дуги окружности через радиусПлощадь сектора
Градусная мера дуги окружности через радиусПлощадь сегмента

Градусная мера дуги окружности через радиус

Видео:Градусная мера дуги из ЕГЭ по математикеСкачать

Градусная мера дуги из ЕГЭ по математике

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьГрадусная мера дуги окружности через радиус
ДугаГрадусная мера дуги окружности через радиус
КругГрадусная мера дуги окружности через радиус
СекторГрадусная мера дуги окружности через радиус
СегментГрадусная мера дуги окружности через радиус
Правильный многоугольникГрадусная мера дуги окружности через радиус
Градусная мера дуги окружности через радиус
Окружность
Градусная мера дуги окружности через радиус

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаГрадусная мера дуги окружности через радиус

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругГрадусная мера дуги окружности через радиус

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторГрадусная мера дуги окружности через радиус

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментГрадусная мера дуги окружности через радиус

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникГрадусная мера дуги окружности через радиус

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Градусная мера дуги окружности через радиус

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Градусная мера дуги окружности через радиус

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Окружнось. Градусная мера дуги. Дуговой градус.Скачать

Окружнось. Градусная мера дуги. Дуговой градус.

Формулы для площади круга и его частей

Градусная мера дуги окружности через радиус,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в радианах

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в градусах

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в радианах

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаГрадусная мера дуги окружности через радиус
Площадь сектораГрадусная мера дуги окружности через радиус
Площадь сегментаГрадусная мера дуги окружности через радиус
Площадь круга
Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораГрадусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в радианах

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаГрадусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в радианах

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Градусная мера дуги окружности. Центральные углыСкачать

Градусная мера дуги окружности. Центральные углы

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиГрадусная мера дуги окружности через радиус
Длина дугиГрадусная мера дуги окружности через радиус
Длина окружности
Градусная мера дуги окружности через радиус

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиГрадусная мера дуги окружности через радиус

если величина угла α выражена в радианах

Градусная мера дуги окружности через радиус,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Градусная мера дуги окружностиСкачать

Градусная мера дуги окружности

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точку D, равна 106. Градусная мера дуги DE... (ЕГЭ)Скачать

Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точку D, равна 106. Градусная мера дуги DE... (ЕГЭ)

Длина окружности

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Градусная мера дуги окружности через радиус

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Градусная мера дуги окружности через радиус

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Градусная мера дуги окружности через радиус

из которой вытекает равенство:

Градусная мера дуги окружности через радиус

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Градусная мера дуги окружности через радиус

из которой вытекает равенство:

Градусная мера дуги окружности через радиус

Видео:Математика, 8 класс: Центральный угол. Градусная мера дуги окружностиСкачать

Математика, 8 класс: Центральный угол. Градусная мера дуги окружности

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Градусная мера дуги окружности через радиус

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Градусная мера дуги окружности через радиус

из которой вытекает равенство:

Градусная мера дуги окружности через радиус

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Градусная мера дуги окружности через радиус

из которой вытекает равенство:

Градусная мера дуги окружности через радиус

Видео:Г 8 Градусная мера дуги окружности. Центральный угол - 01Скачать

Г 8  Градусная мера дуги окружности. Центральный угол - 01

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Градусная мера дуги окружности через радиус

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

Градусная мера дуги окружности через радиус

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордамиСкачать

№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами

Длина дуги

Видео:Математика. 8 класс. Центральный угол. Градусная мера дуги окружности.Скачать

Математика. 8 класс.  Центральный угол.  Градусная мера дуги окружности.

Онлайн калькулятор

Градусная мера дуги окружности через радиусЧему равна длина дуги, если:

радиус r =
угол α =

Видео:Градусная мера угла. 9 класс.Скачать

Градусная мера угла. 9 класс.

Теория

Чему равна длина дуги окружности L если её радиус r, а угол между двумя прямыми, проведёнными от центра окружности к конечным точкам дуги — центральный угол α?

Формула

Если угол в градусах:

Если угол в радианах:

Пример

Для примера посчитаем чему равна длина дуги окружности с радиусом r = 2 см и центральным углом α = 45° :

L = 3.14 ⋅ 2 ⋅ 45/180 = 6.28 ⋅ 0.25 = 1.57 см

Поделиться или сохранить к себе: