Градиент от радиус вектора

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор Градиент от радиус вектора, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция Градиент от радиус векторане зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

Градиент от радиус вектора

(Наряду с обозначениями Градиент от радиус вектораиспользуют запись Градиент от радиус вектора— радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор Градиент от радиус вектора, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Градиент от радиус вектора

Вектор Градиент от радиус вектораможно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Градиент от радиус вектора

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора Градиент от радиус векторана оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора Градиент от радиус вектораравна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Градиент от радиус вектора

Векторное поле называется однородным, если Градиент от радиус вектора— постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция Градиент от радиус вектораопределяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле Градиент от радиус вектораопределено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней Градиент от радиус вектора).

Пример:

Найти поле линейной скорости Градиент от радиус вектораматериальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью Градиент от радиус векторавокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора Градиент от радиус вектора, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Градиент от радиус вектора

Построим радиус-вектор Градиент от радиус вектораточки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости Градиент от радиус вектора(модуль), как известно из курса физики, равно Градиент от радиус вектора, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но Градиент от радиус вектора— угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, Градиент от радиус вектора

Вектор скорости Градиент от радиус векторанаправлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения Градиент от радиус векторавекторы Градиент от радиус вектораобразуют правую тройку). Следовательно, Градиент от радиус векторат. е.

Градиент от радиус вектора

или Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Поле линейных скоростей Градиент от радиус векторатела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Градиент от радиус вектора

Видео:Демидович №4410: градиент от функции радиус-вектораСкачать

Демидович №4410: градиент от функции радиус-вектора

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Градиент от радиус вектора

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

Градиент от радиус вектора

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: Градиент от радиус вектораВ частности, при с = 1 получим Градиент от радиус вектора, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении Градиент от радиус вектора. Пусть вектор Градиент от радиус вектораимеет начало в точке М и направляющие косинусы Градиент от радиус вектора

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке Градиент от радиус векторав направлении вектора Градиент от радиус вектораопределяется как

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению Градиент от радиус вектораназывается предел

Градиент от радиус вектора

Производная по направлению Градиент от радиус вектораи характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если Градиент от радиус вектора> 0, то функция U возрастает в направлении Градиент от радиус вектора, если Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектора— бесконечно малые функции при Градиент от радиус вектора(см. п. 44.3). Поскольку

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Переходя к пределу при Градиент от радиус вектораполучим формулу для вычисления производной по направлению:

Градиент от радиус вектора

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Градиент от радиус вектора

Формула (70.2) принимает вид:

Градиент от радиус вектора

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Градиент от радиус вектораИх можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Градиент от радиус векторасовпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) Градиент от радиус вектораполучим

Пример:

Найти производную функции Градиент от радиус векторав точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Градиент от радиус вектора
Решение:

Находим вектор Градиент от радиус вектораи его направляющие косинусы:

Градиент от радиус вектора

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Градиент от радиус вектора

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Градиент от радиус вектора

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении Градиент от радиус векторапроизводная Градиент от радиус вектораимеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

Градиент от радиус вектора

и некоторого вектора

Градиент от радиус вектора

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектораугол между вектором grad U и направлением Градиент от радиус вектора(см. рис. 269).

Градиент от радиус вектора

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Градиент от радиус вектораТаким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

Градиент от радиус вектора

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Градиент от радиус вектораНо тогда из (70.3) следует, что Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Градиент от радиус вектора

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Градиент от радиус вектора

Решение:

Градиент от радиус вектора

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Градиент от радиус вектора

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью Градиент от радиус вектора, если точка А движется в направлении Градиент от радиус вектора(антиградиентное направление).

Видео:Демидович №4409: градиенты функций от радиус-вектораСкачать

Демидович №4409: градиенты функций от радиус-вектора

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором Градиент от радиус вектора. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля Градиент от радиус вектораназывается линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора Градиент от радиус вектора.

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

Градиент от радиус вектора

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Градиент от радиус вектора

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, Градиент от радиус вектора— ее радиус-вектор. Тогда вектор Градиент от радиус векторанаправлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов Градиент от радиус вектораследует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Градиент от радиус векторавокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором Градиент от радиус вектора(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Градиент от радиус вектора

Интегрируя, получим: Градиент от радиус векторат. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Градиент от радиус векторавектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть Градиент от радиус вектора— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Градиент от радиус вектораВыберем в каждой площадке точку Градиент от радиус вектора(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости Градиент от радиус векторав каждой точке: .Градиент от радиус вектора.

Градиент от радиус вектора

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Градиент от радиус векторапостоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через Градиент от радиус векторапротекает количество жидкости, приближенно равное Градиент от радиус вектора— площадь i-й площадки,Градиент от радиус вектора— высота i-гo цилиндра с образующей Градиент от радиус вектора. Но Я, является проекцией вектора Градиент от радиус векторана нормаль Градиент от радиус вектора— единичный вектор нормали к поверхности в точке Градиент от радиус вектора. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Градиент от радиус вектора

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Градиент от радиус вектораплощадок):

Градиент от радиус вектора

Независимо от физического смысла поля Градиент от радиус вектораполученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Градиент от радиус вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Градиент от радиус вектора

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектора— проекция вектора а на направление нормали Градиент от радиус вектора— дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

Градиент от радиус вектора

где вектор Градиент от радиус векторанаправлен по нормали к поверхности, причем Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

— проекции вектора Градиент от радиус векторана соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора Градиент от радиус вектора, можно записать в виде

Градиент от радиус вектора

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Градиент от радиус вектора

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

Градиент от радиус вектора

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле Градиент от радиус вектораесть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором Градиент от радиус вектораострый угол и Градиент от радиус векторав точках, где векторные линии входят в объем, Градиент от радиус вектора).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К Градиент от радиус вектора

Пример:

Найти поток вектора Градиент от радиус векторачерез верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Градиент от радиус вектора

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть Градиент от радиус векторана верхней стороне Градиент от радиус векторапоэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Градиент от радиус вектора

Итак, Градиент от радиус вектораНаходимГрадиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

В результате имеем: Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Пример:

Найти поток радиус-вектора Градиент от радиус векторачерез внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Градиент от радиус вектора

Очевидно, чтоГрадиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

т. к. Градиент от радиус вектора

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Градиент от радиус вектора

в точке М называется скаляр вида Градиент от радиус вектораи обозначается символом Градиент от радиус вектора, т. е.

Градиент от радиус вектора

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. Если Градиент от радиус вектора— постоянный вектор, то Градиент от радиус вектора
  2. Градиент от радиус векторагде с = const.
  3. Градиент от радиус векторат. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, Градиент от радиус вектора— вектор, то

Градиент от радиус вектора

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Градиент от радиус векторато

Градиент от радиус вектора

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Градиент от радиус вектора

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Градиент от радиус векторачерез поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Градиент от радиус вектора. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Градиент от радиус вектора

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Градиент от радиус векторав точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектора— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Градиент от радиус вектораОтсюда

Градиент от радиус вектора

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда Градиент от радиус вектора, и мы получаем выражение для Градиент от радиус векторав точке М:

Градиент от радиус вектора

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Градиент от радиус вектора

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что Градиент от радиус вектораесть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Градиент от радиус вектораточка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при Градиент от радиус вектораточка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Градиент от радиус векторахарактеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то Градиент от радиус вектора

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Градиент от радиус вектораназывается соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Градиент от радиус векторажидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Градиент от радиус вектора.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Градиент от радиус вектораИмеем:

Градиент от радиус вектора

Поле Градиент от радиус вектора— соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть Градиент от радиус вектора— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор Градиент от радиус векторанаправлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и Градиент от радиус вектора— дифференциал дуги кривой Градиент от радиус вектора

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора Градиент от радиус векторана вектор Градиент от радиус вектора, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектора— проекция вектора Градиент от радиус векторана касательную Градиент от радиус вектора, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы Градиент от радиус вектораполя при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение Градиент от радиус векторасохраняет знак: положительный, если направление вектора Градиент от радиус векторасовпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) Градиент от радиус векторавдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости Градиент от радиус вектора, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости Градиент от радиус векторасовпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

Градиент от радиус вектора

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол Градиент от радиус векторас осью Oz, то циркуляция будет равна Градиент от радиус векторас изменением угла Градиент от радиус векторавеличина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Градиент от радиус вектора

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Градиент от радиус вектора

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

Градиент от радиус вектора

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

Градиент от радиус вектора

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

Градиент от радиус вектора

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Градиент от радиус вектора

называется вектор, обозначаемый Градиент от радиус вектораи определяемый формулой

Градиент от радиус вектора

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Градиент от радиус вектора

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Градиент от радиус вектора— постоянный вектор, то Градиент от радиус вектора
  2. Градиент от радиус вектора
  3. Градиент от радиус векторат. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, а Градиент от радиус вектора— векторная, то

Градиент от радиус вектора

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Градиент от радиус вектора

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Градиент от радиус вектора

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Градиент от радиус векторапо контуру L, т. е. Градиент от радиус вектора(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Градиент от радиус векторачерез поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Градиент от радиус вектора

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Градиент от радиус вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора Градиент от радиус вектора через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектора— некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Градиент от радиус вектора

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Градиент от радиус вектораПерейдя к пределу, получаем:

Градиент от радиус вектора

Ротором вектора Градиент от радиус вектора в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Градиент от радиус вектораесть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Градиент от радиус вектора, т. е. ротор вектора Градиент от радиус вектора

По определению ротора

Градиент от радиус вектора

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Градиент от радиус векторапредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем Градиент от радиус вектораявляются gradU, Градиент от радиус вектораДействия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Градиент от радиус вектора

Этот символический вектор называют также оператором Градиент от радиус вектора(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Градиент от радиус векторана скаляр U или вектор Градиент от радиус векторапроизводится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов Градиент от радиус векторана величины Градиент от радиус векторапонимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Градиент от радиус вектора

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектора

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

Градиент от радиус вектора

(Понятно, что операция Градиент от радиус векторанапример, не имеет смысла: Градиент от радиус вектора— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о Градиент от радиус векторабессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Градиент от радиус вектора

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается Градиент от радиус вектора. Таким образом,

Градиент от радиус вектора

Дифференциальное уравнение Лапласа Градиент от радиус вектораиграет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

Градиент от радиус вектора

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. Градиент от радиус векторатак как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

Градиент от радиус вектора

4. Градиент от радиус векторатак как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

Градиент от радиус вектора

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Градиент от радиус вектора

Здесь Градиент от радиус вектора— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору Градиент от радиус вектора.

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле Градиент от радиус вектораназывается соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. Градиент от радиус вектора

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

  1. В соленоидальном поле Градиент от радиус векторапоток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Градиент от радиус вектора, то существует такое поле Градиент от радиус вектора, что Градиент от радиус вектора. Вектор Градиент от радиус вектораназывается векторным потенциалом поляГрадиент от радиус вектора.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что Градиент от радиус вектора).

3. В соленоидальном поле Градиент от радиус векторапоток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями Градиент от радиус векторабоковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Градиент от радиус вектораравен нулю. Следовательно,

Градиент от радиус вектора

где n — внешняя нормаль.

Градиент от радиус вектора

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то Градиент от радиус вектораи, следовательно,

Градиент от радиус вектора

Переменив направление нормали на площадке Градиент от радиус вектора, т.е. взяв внутреннюю нормаль Градиент от радиус вектораполучим:

Градиент от радиус вектора

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле Градиент от радиус вектораназывается потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Градиент от радиус вектораПримером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля Градиент от радиус векторапо любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

Градиент от радиус вектора

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле Градиент от радиус векторакриволинейный интеграл Градиент от радиус векторавдоль любой кривой L с началом в точке Градиент от радиус вектораи концом в точке Градиент от радиус векторазависит только от положения точек Градиент от радиус вектораи не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки Градиент от радиус векторасоединим их двумя кривыми Градиент от радиус векторатак, чтобы контур Градиент от радиус векторалежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Градиент от радиус вектора

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если Градиент от радиус вектора, то существует функция U (х; у; z) такая, что Градиент от радиус вектора

Из равенства Градиент от радиус векторавытекает, что Градиент от радиус векторат. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Градиент от радиус вектора

Отсюда: Градиент от радиус вектораСледовательно,

Градиент от радиус вектора

т. е. вектор поля Градиент от радиус вектораявляется градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства Градиент от радиус вектораследует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Градиент от радиус вектора

где Градиент от радиус вектора— координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле Градиент от радиус вектораназывается потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. Градиент от радиус вектора. (Иногда пишут Градиент от радиус вектора; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

Градиент от радиус вектора

и найти его потенциал.

Решение:

Градиент от радиус вектора

Следовательно, поле вектора Градиент от радиус векторапотенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Градиент от радиус вектораТак как

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Гармоническое поле

Векторное поле Градиент от радиус вектораназывается гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле Градиент от радиус векторапотенциально, то его можно записать в виде Градиент от радиус вектора— потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

Градиент от радиус вектора

или, что то же самое,

Градиент от радиус вектора

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:ГрадиентСкачать

Градиент

Нахождение градиента вектор-функции

Дата публикации Oct 20, 2018

Градиент от радиус вектора

ВЧасть 1Нам поставили задачу: вычислить градиент этой функции потерь:

Градиент от радиус вектора

Чтобы найти градиент, мы должны найти производную функцию. ВЧасть 2мы научились вычислять частную производную функции по каждой переменной. Однако большинство переменных в этой функции потерь являются векторами. Возможность найти частную производную векторных переменных особенно важна, поскольку нейронная сеть работает с большими объемами данных. Векторные и матричные операции — это простой способ представления операций с таким большим количеством данных. Как именно вы можете найти градиент вектор-функции?

Видео:Радиус векторСкачать

Радиус вектор

Градиент скалярной функции

Скажи, что у нас есть функция,f (x, y) = 3x²y, Наши частные производные:

Градиент от радиус вектора

Если мы организуем эти части в горизонтальный вектор, мы получимградиентизР (х, у), или∇ f (x, y):

Градиент от радиус вектора

6yxэто изменение вР (х, у)в отношении изменения вИкс, в то время как3x²это изменение вР (х, у)в отношении изменения вY,

Что происходит, когда у нас есть две функции? Давайте добавим еще одну функцию,g (x, y) = 2x + y⁸, Частные производные:

Градиент от радиус вектора

Таким образом, градиент g (x, y):

Градиент от радиус вектора

Видео:Демидович №4426: дивергенция градиента функции радиус-вектораСкачать

Демидович №4426: дивергенция градиента функции радиус-вектора

Представляющие функции

Когда у нас есть несколько функций с несколькими параметрами, часто полезно представлять их более простым способом. Мы можем объединить несколько параметров функций в один векторный аргумент,Иксэто выглядит следующим образом:

Градиент от радиус вектора

Следовательно,Р (х, у, г)станетF (x₁, x₂, x₃)который становитсяе (Икс).

Мы также можем объединить несколько функций в вектор, например так:

Градиент от радиус вектора

В настоящее время,у = F (X)гдеF (X)является вектором из [f₁ (Икс), f₂ (Икс), f₃ (Икс) . п (Икс)]

Для нашего предыдущего примера с двумя функциями,f (x, y) ⇒ f (Икс)а такжеg (x, y) ⇒ g (Икс).Здесь векторИкс= [x₁, x₂], гдеx₁ = х, а такжеx₂ = у, Чтобы упростить его еще больше, мы можем объединить наши функции: [f (Икс),г(Икс)] = [f₁ (Икс), f₂ (Иксзнак равноf (x) = y.

Градиент от радиус вектора

Зачастую количество функций и количество переменных будет одинаковым, поэтому для каждой переменной существует решение.

Видео:ГрадиентСкачать

Градиент

Градиент вектор-функции

Теперь, когда у нас есть две функции, как мы можем найти градиент обеих функций? Если мы организуем оба их градиента в одну матрицу, мы переместимся из векторного исчисления в матричное исчисление. Эта матрица и организация градиентов нескольких функций с несколькими переменными, известна какМатрица Якобиана,

Градиент от радиус вектора

Есть несколько способов представления якобиана. Этот макет, где мы укладываем градиенты по вертикали, известен какмакет числителя, но другие документы будут использоватьрасположение знаменателя, который просто переворачивает его по диагонали:

Градиент от радиус вектора

Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Градиент функции идентичности

Давайте возьмем функцию идентичности,у = ф (х) = х, гдеFi (Икс) = xiи найдите его градиент:

Градиент от радиус вектора

Так же, как мы создали наш предыдущий якобиан, мы можем найти градиенты каждой скалярной функции и сложить их вертикально, чтобы создать якобиан тождественной функции:

Градиент от радиус вектора

Поскольку это функция идентичности, f₁ (Икс) = x₁, f₂ (Икс) = х₂ и тд. Следовательно,

Градиент от радиус вектора

Частичная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю. Например, частная производная 2x² по y равна 0. Другими словами,

Градиент от радиус вектора

Поэтому все, что не на диагонали якобиана, становится равным нулю. Между тем, частная производная любой переменной по отношению к себе равна 1. Например, частная производнаяИксв отношенииИксравен 1. Следовательно, якобиан становится:

Градиент от радиус вектора

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

Градиент комбинаций вектор-векторных функций

Элементарные бинарные операторыявляются операциями (такими как сложениевес+Иксиливес>Икскоторый возвращает вектор единиц и нулей), который применяет оператор последовательно, начиная с первого элемента обоих векторов, чтобы получить первый элемент вывода, затем второго элемента обоих векторов, чтобы получить второй элемент вывода… и так далее.

Эта статья представляет поэлементные бинарные операции с такими обозначениями:

Градиент от радиус вектора

Здесь ◯ означает любой поэлементный оператор (например, +), а не композицию функций.

Итак, как вы находите градиент поэлементной операции двух векторов?

Поскольку у нас есть два набора функций, нам нужны два якобиана, один из которых представляет градиент относительноИкси один по отношению квес:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Большинство арифметических операций нам понадобятся простые, поэтомуе (ш)часто просто векторвес, Другими словами,Fi (Wi) = Wi, Например, операцияW + хподходит к этой категории, так как она может быть представлена ​​каке (ж) + д (х)гдеfi (wi) + gi (xi) = wi + xi.

При этом условии каждый элемент в двух якобианах упрощается до:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

На диагонали i = j, поэтому существует значение для частной производной. Вне диагонали, однако, i ≠ j, поэтому частные производные становятся равными нулю:

Градиент от радиус вектора

Мы можем представить это более кратко как:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Попробуем найти градиент функцииW + х, Мы знаем, что все вне диагонали равно 0. Значения частичных по диагонали относительновеса такжеИксявляются:

Градиент от радиус вектора

Итак, оба якобиана имеют диагональ 1. Это выглядит знакомо . это матрица тождеств!

Давайте попробуем это с умножением:ш * х, Значения частностей по диагонали относительновеса такжеИксявляются:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Следовательно, градиент по отношению квесизш * хявляетсяDiag (Икс)в то время как градиент по отношению кИксизш * хявляетсяDiag (вес).

Применяя те же шаги для вычитания и деления, мы можем суммировать все это:

Градиент от радиус вектора

Видео:#8 Ротор/Дивергенция/ГрадиентСкачать

#8 Ротор/Дивергенция/Градиент

Градиент векторных сумм

Одной из наиболее распространенных операций в глубоком обучении является операция суммирования. Как мы можем найти градиент функцииу = сумма (Икс)?

у = сумма (Икс)также может быть представлен как:

Градиент от радиус вектора

Следовательно, градиент может быть представлен как:

Градиент от радиус вектора

А так как частная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю, ее можно дополнительно упростить следующим образом:

Градиент от радиус вектора

Обратите внимание, что результатом является горизонтальный вектор.

Как насчет градиентау = сумма (Иксг)? Единственное отличие состоит в том, что мы умножаем каждый частный с константой, z:

Градиент от радиус вектора

Хотя это является производной по отношению кИкс, производная по скаляруZэто просто число:

Градиент от радиус вектора

Видео:Вектор-градиент (теория)Скачать

Вектор-градиент  (теория)

Градиент комбинаций векторных функций правила цепочки

ВЧасть 2мы узнали о правилах цепей с несколькими переменными. Однако это работает только для скаляров. Давайте посмотрим, как мы можем интегрировать это в векторные вычисления!

Давайте возьмем векторную функцию,Yзнак равное(Икс)и найти градиент. Давайте определим функцию как:

Градиент от радиус вектора

И то и другоеf₁ (х)а такжеf₂ (х)являются составными функциями. Введем промежуточные переменные дляf₁ (х)а такжеf₂ (х)и переписать нашу функцию:

Градиент от радиус вектора

Теперь мы можем использовать наше правило цепочки переменных, чтобы вычислить производную вектораY, Просто вычислите производнуюf₁ (х)а такжеf₂ (х)и поместите их один над другим:

Градиент от радиус вектора

Вуаля! У нас есть наш градиент. Однако мы пришли к нашему решению со скалярными правилами, просто сгруппировав числа в вектор. Есть ли способ представить правило цепи с несколькими переменными для векторов?

Прямо сейчас наш градиент вычисляется с помощью:

Градиент от радиус вектора

Обратите внимание, что первый член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₁надИкси второй член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₂надИкс Это как умножение матриц! Поэтому мы можем представить это как:

Градиент от радиус вектора

Давайте проверим наше новое представление правила цепочки векторов:

Градиент от радиус вектора

Мы получаем тот же ответ, что и скалярный подход! Если вместо одного параметраИксу нас есть векторный параметрИкснам просто нужно немного изменить наше правило, чтобы получить полное правило цепочки векторов:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

В нашем примере выше,еэто чисто функцияг; то есть,фиявляется функциейсолдатно нетGJ(каждая функцияесоответствует ровно 1 функцииг),В этом случае все вне диагонали становится равным нулю, и:

Градиент от радиус вектора

Теперь у нас есть все части, которые мы находим в градиенте нейронной сети, с которой мы начали нашу серию:

Градиент от радиус вектора

Проверять, выписыватьсяЧасть 4чтобы узнать, как вычислить его производную!

Если вы еще этого не сделали, прочитайте части 1 и 2:

ЧитатьЧасть 4для грандиозного финала!

Скачать оригинал статьиВот,

Если вам понравилась эта статья, не забудьте оставить несколько хлопков! Оставьте комментарий ниже, если у вас есть какие-либо вопросы или предложения 🙂

Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать

10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.

Векторный анализ

Содержание:

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

Градиент от радиус вектора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины. Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т.е. вполне характеризуется своим числовым значением. Например, поле температур.

Скалярное поле

Скалярное поле задается скалярной функцией точки и = /(М). Если в пространстве введена декартова с истема координат, то и есть функция трех переменных х, yt z — координат точки М: Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция f(M) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня Пример 1. Найти поверхности уровня скалярного поля ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению.

Производная Градиент скалярного поля Основные свойства градиента Инвариантное определение градиента Правила вычисления градиента -4 Согласно определению уравнением поверхности уровня будет . Это уравнение сферы (с Ф 0) с центром в начале координат. Скалярное поле называется плоским, если во всех плоскостях, параллельных некоторой плоскости, поле одно и то же.

Если указанную плоскость принять за плоскость хОу, то функция поля не будет зависеть от координаты z, т. е. будет функцией только аргументов х и у, Плоское поле можно характеризовать помощьюлиний уровня — множестваточек плоскости, в которых функция /(ж, у) имеетодно и тоже значение. Уравнение линии уровня — Пример 2.

Найти линии уровня скалярного поля Линии уровня задаются уравнениями При с = 0 получаем пару прямых получаем семейство гипербол (рис. 1). 1.1. Производная по направлению Пусть имеется скалярное поле, определяемое скалярной функцией и = /(Af). Возьмем точку Afo и выберем направление, определяемое вектором I. Возьмем другую точку М так, чтобы вектор М0М был параллелен вектору 1 (рис. 2). Обозначим длину вектора МоМ через А/, а приращение функции /(Af) — /(Afo), соответствующее перемещению Д1, через Ди.

Отношение определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины поданному направлению Пусть теперь стремится к нулю так, чтобы вектор М0М все время оставался параллельным вектору I. Определение. Если при Д/ О существует конечный предел отношения (5), то его называют производной функции в данной точке Afo поданному направлению I и обозначают символом зг!^ . Так что, по определению, Это определение не связано с выбором системы координат, т. е. носит**вариантный характер.

Найдем выражение для производной по направлению в декартовой системе координат. Пусть функция / дифференцируема в точке . Рассмотрим значение /(Af) в точке . Тогда полное приращение функции можно записать в следующем виде: где а символы означают, что частные производные вычислены в точке Afo. Отсюда Здесь величины jfi, , ^ суть направляющие косинусы вектора . Так как векторы МоМ и I сонаправлены , то их направляющие косинусы одинаковы:

Так как M Afo, осгавая сь все время на прямой, параллельной вектору 1, то углы постоянные потому Окончательно из равенств (7) и (8) получаем Эамуан ис 1. Частные производные , являются производными функции и по направлениям координатныхосей ссчлвешне нно- Пример 3. Найти производную функции по направлению к точке Вектор имеет длину .

Его направляющие косинусы: По формуле (9) будем иметь Тот факт, что , означает, что скалярное поле в точке в данном направлении возраста- Для плоского поля производная по направлению I в точке вычисляется по формуле где а — угол, образованный вектором I с осью Ох. Зммчмм 2. Формула (9) для вычисления производной по направлению I в данной точке Afo остается в силе и тогда, когда точка М стремится к точке Мо по кривой, для которой вектор I является касательным в точке ПрИШр 4.

Вычислить производную скалярного поля в точке Afo(l, 1). принадлежащей параболе по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы). Направлением ] параболы в точке считается направление касательной к параболе в этой точке (рис.3). Пусть касательная к параболе в точке Afo образует с осью Ох угол о.

Тогда откуда направляющие косинусы касательной Вычислим значения и в точке . Имеем Теперь по формуле (10) получаем.

Найти производную скалярного поля в точке по направлению окружности Векторное уравнение окружности имеет вид . Находим единичный вектор т касательной к окружности Точке соответствует значение параметра Значение г в точке Afo будет равно Отсюда получаем направляющие косинусы касательной к окружности в точке Вычислим значения частных производных данного скалярного поля в точке Значит, искомая производная .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Градиент скалярного поля Пусть скалярное поле определяется скалярной функцией которая предполагается дифференцируемой. Определение. Градиентом скалярного поля » в данной точке М называется вектор, обозначаемый символом grad и и определяемый равенством Ясно, что этот вектор зависиткак от функции /, так и отточки М, в которой вычисляется ее производная.

Пусгь 1 — единичный вектор в направлении Тогда формулу дл я производной по направлению можно записать в следующем виде: . тем самым производная от функ ии и по направлению 1 равна скалярному произведению градиента функ ии и(М) на орт 1° направления I. 2.1. Основные свойства градиента Теорема 1.

Градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское). (2) Проведем через произвольную точку М поверхность уровня и = const и выберем на этой поверхности гладкую кривую L, проходящую через точку М (рис. 4). Пусть I — векгор, касательный к кривой L в точке М. Так как на поверхности уровня и(М) = и(М|) для любой точки Мj е L, то С другой стороны, = (gradu, 1°). Поэтому .

Это означает, что векторы grad и и 1° ортогональны, Итак, векгор grad и ортогонален к любой касательной к поверхности уровня в точке М. Тем самым он ортогонален к самой поверхности уровня в точке М. Теорема 2. Градиент направлен в сторону возрастания функции поля. Ранее мы доказали, что градиент скалярного поля направлен по нормали к поверхности уровня, которая может быть ориентирована либо в сторону возрастания функции и(М), либо в сторону ее убывания.

Векторный анализ

Обозначим через п нормальк поверхности уровня, ориентированную в сторону возрастания функции ti(M), и найдем производную функции и в направлении этой нормали (рис. 5). Имеем Так как по условию рис.5 и поэтому ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению Производная Градиент скалярного поля Основные свойства градиента Инвариантное определение градиента Правила вычисления градиента Отсюда следует, что grad и направлен в ту же сторону, что и выбранная нами нормаль п, т. е. в сторону возрастания функции и(М).

Теорема 3. Длина градиента равна наибольшей производной по направлению в данной точке поля, (здесь шах $ берется по всевозможным направлениям в данной точке М паю). Имеем где — угол между векторами 1 и grad п. Так как наибольшее значени Пример 1. Найти направление наибольшего иэмонония скалярного поля в точке а также величину этого наибольшего изменения в указанной точке. Направление наибольшего изменения скалярного поля указывается вектором .

Имеем так что Этот вектор определяет направление наибольшего возрастания поля в точко . Величина наибольшого изменения поля в этой точке равна 2.2. Инвариантное определение градиента Величины, характеризующие свойства изучаемого объекта и не зависящие от выбора системы координат, называются инвариантами данного объекта.

Например, длина кривой — инвариант этой кривой, а угол касательной к кривой с осью Ох — не инвариант. Основываясь на доказанных выше трех свойствах градиента скалярного поля, можно дать следующее инвариантное определение градиента. Определение. Градиент скалярного поля есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции поля и имеющий длину, равную наибольшей производной по направлению (в данной точке).

Пусть — единичный вектор

нормали, направленный в сторону возрастания поля. Тогда Пример 2. Найти градиент расстояния — некоторая фиксированная точка, a M(x,y,z) — текущая. 4 Имеем где — единичный вектор направления . Правила вычисления градиента где с — постоянное число. Приведенные формулы получаются непосредственно из определения градиента и свойств производных.

По правилу дифференцирования произведения Доказательство аналогично доказательству свойства Пусть F(и) — дифференцируемая скалярная функция. Тогда 4 По определению фадиента имеем Применим ко всем слагаемым правой части правило дифференцирования сложной функции. Получим В частности, Формула (6) следует из формулы Пример 3. Майти производную по направлению радиус-воктора г от функции По формуле (3) а по формуле В результате получим, что Пример 4.

Пусть дано плоское скалярное поле — расстояния от некоторой точки плоскости до двух фиксированных точек этой плоскости. Рассмотрим произвольный эллипс с фокусами Fj и F] и докажем, что всякий луч свота, вышедший из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус. Линии уровня функции (7) суть ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению.

Производная Градиент скалярного поля Основные свойства градиента Инвариантное определение градиента Правила вычисления градиента Уравнения (8) описывают семейство эллипсов с фокусами в точках F) и Fj. Согласно результату примера 2 имеем Тем самым градиент заданного поля равен вектору PQ диагонали ромба, построенного на ортах г? и радиус-векторов. проведенных к точке Р(х, у) из фокусов F| и Fj, и значит, лежит на биссектрисе угла можду этими радиус-векторами (рис. 6).

По тооромо 1 градиент PQ перпендикулярен к эллипсу (8) в точке. Следова- Рис.6 тельно. нормаль к эллипсу (8) в любой ого точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными в эту точку. Отсюда и из того, что угол падения равон углу отражения, получаем: луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, отразившись от него, непременно попадает в другой фокус этого эллипса.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Градиент от радиус вектора Градиент от радиус вектора

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

📽️ Видео

Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиентСкачать

Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиент

Демидович №4411: градиент скалярного произведенияСкачать

Демидович №4411: градиент скалярного произведения

Градиент. ТемаСкачать

Градиент. Тема

Демидович №4436а: ротор радиус-вектораСкачать

Демидович №4436а: ротор радиус-вектора

Градиент в точке.Скачать

Градиент в точке.

Радиус-векторыСкачать

Радиус-векторы

Демидович №4429: дивергенция произведения функций от радиус-вектораСкачать

Демидович №4429: дивергенция произведения функций от радиус-вектора

ДивергенцияСкачать

Дивергенция

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.Скачать

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.
Поделиться или сохранить к себе: