Герона для прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади

Площадь треугольника ( S ) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра ( p ) на разности полупериметра и каждой из его сторон ( a, b, c ).

Полупериметр ( p ) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
= .

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза – это c , известный катет – a , а неизвестный – b .

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b :
b 2 = = = , следовательно,

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
= = .

Герона для прямоугольного треугольника

Введение

Аннотация: Данная работа исследовательская. Автор предлагает разбить все множество треугольников Герона на два класса:

1. Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена четным числом
2. Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена нечетным числом.

Для каждого класса треугольников сформулированы в виде теорем их свойства, обнаруженные автором работы. Выведены формулы для расчета радиусов вписанных и описанных окружностей таких треугольников. Доказано свойство суммы квадратов медиан, проведенных из вершин острых углов. По результатам исследования и выведенных формул составлен генератор треугольников Герона (в таблицах Excel), с помощью которого можно найти все элементы любого треугольника Герона. Проведено сравнение периметров и площадей прямоугольных героновых треугольников, их необычных свойств. В приложении указаны все расчёты

Цель работы: рассмотреть различные виды прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами и площадями; выявить их свойства, провести классификацию таких треугольников.

Задачи: вывести формулы связи радиусов вписанной и описанной окружности; сравнить площади и периметры рассматриваемых треугольников.

Объект исследования: прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами

Предмет исследования: свойства героновых прямоугольных треугольников

Проблема: Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Проблема в том, чтобы классифицировать такие треугольники; вывести формулы связи для радиусов вписанной и описанной окружностей, выявить и сформулировать свойства героновых треугольников.

Гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.

В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел (x,y,z) удовлетворяющих соотношению Пифагора: x 2 + y 2 = z 2 . При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x,y,z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x,y,z являются взаимно простыми числами. Нетрудно видеть, что в примитивной тройке (x,y,z) числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно. Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z) , где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности, которые можно вычислить по формулам:

Наоборот, любая такая пара чисел (m,n) задаёт примитивную пифагорову тройку (1, Серпинский В.Н.)

Пифагоровы тройки известны давно. В архитектуре древних месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3,4,5 ( 9 +16 =25). Если гипотенуза геронова треугольника является числом четным, то медиана, проведенная к гипотенузе, а, следовательно, и радиус описанной около такого треугольника окружности, также будут целыми числами.

Еще один интересный факт просматривается на приведенном рисунке:

Этот рисунок был приведен в статье на сайте Wolfram Math World [6]. Меня он очень заинтересовал: захотелось выяснить, какие значения будут принимать радиусы вписанных окружностей для других треугольников. Появилась гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.

В ходе работы мной были составлены таблицы, анализируя которые я обнаружил много замечательных свойств прямоугольных треугольников Герона.

Основная часть. В начале исследования закономерности никакой не наблюдалось. Но затем, я заметил, что закономерность есть, если все треугольники Герона разбить на два класса:

• треугольники, длина меньшего катета которых выражается нечетным числом и
• треугольники, длина меньшего катета которых выражается четным числом.

Радиус описанной окружности вычислял, учитывая, что он равен половине гипотенузы. А радиус вписанной окружности из соображений, что S = , значит, , где S = (половина произведения катетов), то есть = .

Рассмотрим прямоугольные треугольники с меньшим катетом кратным трем и выберем из них те, для которых другой катет равен 4k и гипотенуза равна 5k:

(3;4;5); (6;8;10); (9;12; 15); (12;16;20)… . Для таких треугольников найдем радиусы вписанной и описанной окружностей. Получаем для (3; 4; 5) r = 1; R= 2,5.

Для (6;8;10) r = 2; R= 5. Для (9;12;15) r = 3; R= 7,5. Для (12;16;20) r = 4; R= 10….

Для 1. (3k;4k;5k) r = n; R= 2,5n, где n и k натуральные числа.

Проведем такие же расчеты для треугольников других видов (Результаты исследования приведены в виде таблиц в приложении ) :

1. (5k;12k;13k): r = 2k; R = 6,5k
2. (7k;24k;25k): r = k; R =12,5k
3. (9k;40k;41k): r = k; R=20,5k
4. (11k;60k;61k): r = 5k; R=30,5k

На n-ном месте будет треугольник с меньшим катетом (2n+ 1)k.

Таким образом, выведена формула для расчета радиусов вписанной и описанной окружностей для прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, причем меньший катет равен нечетному числу. Результат исследования можно сформулировать в виде теоремы:

Теорема 1. Если у геронова треугольника меньший катет равен нечетному числу (2n+ 1) , где n = 1,2,3,…, то

• второй катет и гипотенуза отличаются на единицу, то есть являются последовательными натуральными числами;
• радиус вписанной окружности равен r = n;
• радиус описанной окружности равен R = n(n + 1) +
• квадрат меньшего катета равен сумме гипотенузы и другого катета

Как можно использовать эту формулу?

Если известен один катет, то можно вычислить n , а зная n можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника: R вычисляем по нашей формуле. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет.

Например, возьмем n = 33. Имеем меньший катет (2n + 1) = 67; тогда по выведенной нами формуле R = 2,5 + 33(33+1) – 2 = 1122,5, следовательно, гипотенуза равна 2 R = 2245. По теореме Пифагора найдем второй катет: Таким образом, мы получаем тройку чисел (67; 2244; 2245).

Если известен меньший катет, так же можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника. Пусть он равен, допустим, 17. Тогда из равенства 2n+ 1 = 17 найдем 2n = 16, то есть n = 8. R вычисляем по нашей формуле: R = 2,5 + 8(8+1) – 2 = 72,5. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R = 145 , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет: .

Таким образом, мы получаем тройку чисел (17;144;145).

То есть выведенную формулу можно использовать для нахождения новых пифагоровых троек: а = 2n + 1; в = 2n(n+1); с = 2n(n+1) +1; для вычисления радиусов вписанных и описанных окружностей для пифагоровых треугольников.

То есть, я предлагаю генератор треугольников Герона (или пифагоровых троек) первого класса:

Формула Герона для площади треугольника

Треугольник – это фигура, которая образуется после соединения трех точек, не лежащих на одной прямой отрезками. Точки называются вершинами, а отрезки сторонами. Для расчета треугольника существует множество формул, которые помогают найти как длины сторон, радиусы углов и прочие составляющие фигуры, так и площадь треугольника.

Самой распространенной формулой для расчета площади треугольника по трем сторонам является формула Герона . Если известны длины всех сторон, то можно вычислить площадь фигуры, применив формулу Герона для площади треугольника.

где a , b , c – длины сторон, а p – полупериметр.
Полупериметр – это сумма длин всех сторон поделенная на два.

Калькулятор нахождения площади треугольника по формуле Герона

Сторона a=	Сторона b=	Сторона c=
Ответ: Площадь треугольника = 6.000

Три окружности с радиусами 6, 7, 8 внешне попарно касаются друг друга. Найти площадь треугольника, образованного центрами этих окружностей. Посмотреть решение

училась в школе шесть десятков лет назад, геометрию забыла, но в связи с тем, что мебель из ДСП смешно ставить в сантехническую кабину (недолговечна), а из дерева и красивая пока недоступна. На сайтах гостиниц Бахрейна очень понравилась, примерно в похожем стиле хочу сделать сама угловой шкаф в ванную, но чтобы закупить материалы, надо начертить детали и посчитать объем и без геометрии здесь не обойтись. Поэтому я благодарна Вам за теорему Пифагора, за древнеиндийских математиков, за тригонометрические формулы и за калькуляторы расчетов. С искренним уважением Нина Ивановна!

#мыэтонепроходили
Что это за точка на гипотенузе С, которая делит ее на два отрезка С1 и С2 ? Причем произведение С1 на С2 численно равно площади треугольника.

Вбиваем стороны 2,3,5 и вуаля:

Ответ: Площадь треугольника = 0.000

Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. 5>2+3?!

Это не треугольник, это 3 точки на одной прямой

Стороны: 3,4,7 и оппа!
Ответ: Площадь треугольника = 0.000

Потому что у треугольника со сторонами 3, 4 и 7 площадь таки будет 0. 3+4=7. Треугольник вырождается в отрезок.

Нет, по теории, любой треугольник можно назвать таковым, если сумма двух сторон его больше или равна оставшейся стороны.

Например:
стороны 10 25 30, следует что это треугольник так как
(10+25)>30
(10+30)>25
(30+25)>10

Пытался воспользоваться Вашим калькулятором…бесполезно. говорит : такого треугольника нет ……а именно : 3.354 +3.54+12.40.
Может кто-то поможет ?

Ответ: сумма любых 2-х сторон треугольника > 3-й стороны. А у Вас получается 3,…+3,…

Господа, неравенство треугольника ещё никто не отменял. Поэтому, прежде чем вычислять площадь треугольника, проверяют его существование, используя неравенство треугольника.

💥 Видео