Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаОкружность описанная около треугольника
Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника
Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника
Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?

1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

2) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

3) Диагонали ромба равны.

1) Не обязательно, есть тупоугольные треугольники, у которых центр описанной окружности вне его.

2) Да, сумма углов любого треугольника, в том числе и равнобедренного, равна 180°.

3) Нет, диагонали ромба в общем случае не равны.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

МАТЕМАТИКА

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Формула Эйлера

Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

Радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника– центр вписанной окружности. Будем считать пока, что Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника(рисунок 1). Проведем биссектрисы Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаи Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникауглов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаи Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника. Пусть P и Q – точки пересечения прямой Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникас описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, или

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Заметим теперь, что поскольку Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаи Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника– биссектрисы углов А и В, то Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, а Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника. Следовательно,

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Поэтому треугольник Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаравнобедренный: Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника. Таким образом, соотношение можно переписать так:

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Проведем теперь диаметр Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаописанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаи Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникаподобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника), поэтому

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

Откуда Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника. Подставив это выражение, получим

Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника

В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, а значит, этот треугольник равносторонний.

Поэтому Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, и, следовательно, Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника. Теорема доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:

Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.

Теорема Птолемея

В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника. Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:

Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство.

Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника.

На диагонали АС возьмем такую точку М, что Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника. Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам ( Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольникапо построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, откуда Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, или Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника(1).

Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, откуда Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, или Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника(2).

Сложив равенства (1) и (2), получим Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, или Центр вписанной окружности треугольника всегда лежит внутри треугольника, что и требовалось доказать.

Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.

Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Рекомендую далее изучить тему «Вневписанные окружности».

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

🎦 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружности
Поделиться или сохранить к себе: