Пусть O — центр данной окружности, A — точка на окружности, M — середина хорды AB (не являющейся диаметром). Тогда отрезок OA виден из точки M под прямым углом, т.к. диаметр проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей. Следовательно, середина любой хорды AB (включая и точку O) лежит на окружности с диаметром AO.
Обратно, любая точка этой окружности (за исключением точки A) есть середина какой-то хорды AB, т.к. диаметр, перепендикулярный хорде, делит её пополам.
Искомое геометричесоке место точек есть окружность (без точки A), гомотетичная данной с коэффициентом 
и центром в точке A.
Ответ
Окружность (без точки), радиус которой вдвое меньше радиуса данной окружности.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Всё про окружность и круг
Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2
Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.
Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.
Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.
Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора: P = s + 2R.
Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Видео:ГМТ // ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕКСкачать
Метод осевой симметрии
Две точки плоскости М и Мґ называются симметричными относительно прямой s, если они расположены на одном перпендикуляре к прямой s и прямая s делит отрезок ММґ пополам. Преобразование, при котором каждой точке данной фигуры ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой s, называется осевой симметрией или отражением в прямой s. Прямая s называется при этом осью симметрии.
Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в иных случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки. [4]
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Метод геометрических мест точек
Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путём указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т.п. Если фигура задана путём указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством (ГМТ).
Таким образом, геометрическим местом точек плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.
Свойство, при помощи которого характеризуется то или иное геометрическое место точек, называется характеристическим свойством точек этого геометрического места.
Часто новые фигуры вводятся в геометрию именно как геометрические места, например, окружность — в школьном курсе геометрии, эллипс, гипербола и парабола — в курсе аналитической геометрии. При составлении уравнений линий в аналитической геометрии их рассматривают именно как ГМТ.
ГМТ может быть не только линией или совокупностью нескольких линий, но также конечной совокупностью точек, областью плоскости и др. Может оказаться также, что ГМТ, обладающих некоторым указанным свойством, вовсе не существует.
Не следует смешивать нахождение ГМТ с его построением: первое само по себе не предполагает второго; иногда найденное ГМТ и не может быть построено с данным набором инструментов.
В анализе решения задачи на нахождение ГМТ обычно начинают с того, что на чертеже изображают данную фигуру и рассматривают какую-либо точку, принадлежащую по предположению искомому ГМТ. Устанавливают некоторые связи этой точки с данными элементами, вытекающими из определения ГМТ и помогающие определить его форму и положение. Анализу способствует рассмотрение какого-либо частного случая или же непосредственное построение нескольких точек, принадлежащих ГМТ. В результате анализа приходим к предположительному решению задачи, которое требует ещё обоснование, т.е. доказательства.
В ходе доказательства устанавливается справедливость двух взаимно обратных предположений: 1) что всякая точка найденной (в анализе) фигуры обладает характеристическим свойством точек искомого ГМТ и 2) что каждая точка, обладающая указанным характеристическим свойством, принадлежит найденной при анализе фигуре. Полезно иметь в виду, что доказательство предположения 2) может быть заменено доказательством следующего предположения 2ґ): если какая-либо точка не принадлежит найденной фигуре, то она не обладает указанным характеристическим свойством.
Исследование заключается в рассмотрении различных случаев, которые могут представиться при решении задачи в зависимости от того или иного выбора данных.
Многие ГМ точек удобно использовать в процессе решения задач на построение. Для этого необходимо знать эти множества и уметь их строить. ГМТ могут иметь несколько характеристических свойств, каждое из которых можно использовать для определения и построения самого множества. Рассмотрим наиболее часто используемые геометрические места точек плоскости:
- 1. ГМ точек, удаленных от некоторой точки О на расстоянии r, есть окружность с центром в точке О и радиусом r.
- 2. ГМ точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.
- 3. ГМ точек, удаленных от данной прямой на расстояние a, есть совокупность точек двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на расстоянии а.
- 4. ГМ точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и отстоящая от них на одинаковом расстоянии.
- 5. ГМ точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть совокупность точек двух прямых, содержащих биссектрисы четырёх углов, образованных при пересечении данных прямых.
- 6. ГМ точек, равноудалённых от сторон угла АОВ, указано на рис. 8. Оно состоит из точек биссектрисы ОМ и точек плоского угла LON, где луч OL перпендикулярен стороне ОА, а луч ON перпендикулярен стороне ОВ.
- 7. ГМ точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом б, состоит из двух дуг с концами в точках А и В, симметричных относительно прямой АВ, причем точки А и В этому ГМ точек не принадлежат. Способ построения этого множества указан на рис. 9.
8. ГМ точек, из которых данная окружность радиуса r видна под данным углом б, является окружностью, концентрической с данной окружностью, и с радиусом R (Рис. 30):
- 9. ГМ середин равных хорд данной окружности есть окружность, концентрическая с данной окружностью и касающаяся этих хорд (рис. 31).
- 10. ГМ середин хорд, проведенных в данной окружности из одной точки, есть окружность, построенная на соответствующем радиусе как на диаметре (рис. 32).
- 11. ГМ точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная кІ, является окружностью. Центром этой окружности служит середина отрезка АВ, а диаметр равен v2кІ-а, где а — длина отрезка АВ.
- 12. ГМ точек, для которых разность квадратов их расстояний от двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная аІ, есть прямая, перпендикулярная прямой АВ и проходящая через точку прямой, для которой это соотношение выполняется (рис. 33).
- 13. ГМ точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек равно m:n=л, где л>0, л=const и л?1, есть окружность (окружность Аполлония) (рис 34).
- 14. ГМ точек, отношение расстояний которых до данной точки А и данной прямой h есть величина постоянная, является коническим сечением.
- 15. Пусть а-данная прямая, S-центр пучка лучей, исходящих из этой точки. На каждом луче отметим точки, находящиеся на одинаковом расстоянии s от прямой, а вдоль по лучу пучка. Множество этих точек называется конхоидой Никомеда.
- 16. Рассмотрим окружность, касательную к окружности в некоторой её точке А, пучок лучей с центром в точке окружности S, диаметрально противоположной к точке А. На каждом луче пучка SQ отложим отрезок SМ, равный отрезку РQ, где Р-точка пересечения луча с окружностью, а Q- с касательной в точке В. Множество полученных точек М называется циссоидой Диоклеса.
Известны многие другие множества точек, обладающие интересными геометрическими свойствами. [1]
🎬 Видео
Окружность. 7 класс.Скачать
Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать
Радикальные оси для ЕГЭ профиль. Геометрические конструкции, убивающие №16Скачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать
Геометрическое место точек (ГМТ).ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ §19 геометрия 7 классСкачать
Планиметрия 14 | mathus.ru | Хорда, делящаяся пополам.Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Геометрическое место точек / Окружность и круг / Математика / 7 классСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать
Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
Геометрическое место точек. Окружность и круг. Часть 1Скачать
Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать
Решение задач на окружность явную и вспомогательнуюСкачать
Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать
Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
ГМТ Геометрическое место точек урок 1Скачать
