Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Вертикальные углы в окружности равны

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Видео:7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Вертикальные углы в окружности равны, Вертикальные углы в окружности равны
Вертикальные углы в окружности равны, Вертикальные углы в окружности равны

Следовательно Вертикальные углы в окружности равны. Аналогично доказывается, что Вертикальные углы в окружности равны.

Видео:Вертикальные углы. 7 класс.Скачать

Вертикальные углы. 7 класс.

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Вертикальные углы в окружности равны

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то Вертикальные углы в окружности равны. Углы 1 и 4 смежные. Следовательно Вертикальные углы в окружности равны. Тогда

Вертикальные углы в окружности равныВертикальные углы в окружности равны.

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда Вертикальные углы в окружности равны

Ответ. Вертикальные углы в окружности равны.

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

Вертикальные углы в окружности равны.

Ответ. Вертикальные углы в окружности равны.

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Углы, связанные с окружностью

Вертикальные углы в окружности равныВписанные и центральные углы
Вертикальные углы в окружности равныУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вертикальные углы в окружности равныДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вертикальные углы в окружности равны

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вертикальные углы в окружности равны

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Теорема о вертикальных углахСкачать

Теорема о вертикальных углах

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВертикальные углы в окружности равны
Вписанный уголВертикальные углы в окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВертикальные углы в окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВертикальные углы в окружности равныДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВертикальные углы в окружности равныВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВертикальные углы в окружности равны

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вертикальные углы в окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вертикальные углы в окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вертикальные углы в окружности равны

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вертикальные углы в окружности равны

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вертикальные углы в окружности равны

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вертикальные углы в окружности равны

Видео:Вертикальные углы равны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вертикальные углы равны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВертикальные углы в окружности равныВертикальные углы в окружности равны
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВертикальные углы в окружности равныВертикальные углы в окружности равны
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВертикальные углы в окружности равныВертикальные углы в окружности равны
Угол, образованный касательной и секущейВертикальные углы в окружности равныВертикальные углы в окружности равны
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВертикальные углы в окружности равныВертикальные углы в окружности равны

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вертикальные углы в окружности равны
Формула: Вертикальные углы в окружности равны
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вертикальные углы в окружности равны

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вертикальные углы в окружности равны
Формула: Вертикальные углы в окружности равны
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вертикальные углы в окружности равны

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вертикальные углы в окружности равны

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Геометрия 7. Теорема. Вертикальные углы равны.Скачать

Геометрия 7. Теорема. Вертикальные углы равны.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вертикальные углы в окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вертикальные углы в окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вертикальные углы в окружности равны

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вертикальные углы в окружности равны

Вертикальные углы в окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Вертикальные углы равны (доказательство)Скачать

Вертикальные углы равны (доказательство)

Вертикальные углы в окружности равны

Ключевые слова конспекта: углы, биссектриса, виды углов, измерение углов, смежные и вертикальные углы, свойства смежных и вертикальных углов, углы при пересечении двух прямых секущей.

Вертикальные углы в окружности равны

Угол — фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки (вершины).
Биссектриса — луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

Виды углов. Измерение углов

Вертикальные углы в окружности равны

  • Развернутый угол — угoл, стороны которого лежат на одной прямой.
  • Прямой угoл — угoл, который равен половине развернутого угла.
  • Острый угол — угoл меньше прямого угла.
  • Тупой угoл — угoл больше прямого, но меньше развернутого.

Вертикальные углы в окружности равны

Единицы измерения углов:
Градус — величина (градусная мера) угла, равная части развернутого угла.
Минута — часть градуса.
Секунда — часть минуты.

Смежные и вертикальные углы

Вертикальные углы в окружности равны

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая,а две другие стороны являются дополняющими лучами.
Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.
Вертикальные углы в окружности равны

Теорема. Вертикальные углы равны.
Вертикальные углы в окружности равны

Свойства смежных и вертикальных углов

Вертикальные углы в окружности равны

Углы при пересечении двух прямых секущей

Вертикальные углы в окружности равны

Вы смотрели конспект по геометрии «Угол. Смежные и вертикальные углы». Использованы цитаты из учебных пособий:

Цитирование указанных пособий произведено в учебных целях (часть 1 статьи 1274 Гражданского кодекса РФ) с указанием авторства, источника заимствования и ссылки на покупку учебного пособия в крупнейшем книжном Интернет-магазине. Выберите дальнейшие действия:

🔥 Видео

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№6 - Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№6 - Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы.)

Смежные углы. 7 класс.Скачать

Смежные углы. 7 класс.

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

Смежные и вертикальные углы - 7 класс геометрияСкачать

Смежные и вертикальные углы - 7 класс геометрия

Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметр

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Задачи: смежные и вертикальные углы. 4 задачи за 7 минут. Все о смежных и вертикальных углахСкачать

Задачи: смежные и вертикальные углы. 4 задачи за 7 минут. Все о смежных и вертикальных углах

Свойство вертикальных угловСкачать

Свойство вертикальных углов

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ 3. Смежные и вертикальные углыСкачать

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ 3. Смежные и вертикальные углы
Поделиться или сохранить к себе: