Геометрическая прогрессия в треугольнике (4 видео)

Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.

Содержание

Общий вид геометрической прогрессии
Свойства и формулы геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия и сумма ее членов
теория по математике 📈 последовательности
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Что такое геометрическая прогрессия
📹 Видео

Видео:Как за 10 минут понять СЛОЖНЕЙШУЮ ТЕМУ в Алгебре? Геометрическая прогрессияСкачать

Общий вид геометрической прогрессии

q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
b ≠ 0, q ≠ 0

Члены прогрессии:

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

Видео:9 класс, 24 урок, Геометрическая прогрессияСкачать

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1. Нахождение n-ого члена ( b_n )

2. Знаменатель прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел b₁, b₂, b₃ … является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:

Также данное свойство можно представить в таком виде:

4. Сумма первых членов прогрессии

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1 ):

5. Произведение первых членов прогрессии

6. Произведение членов прогрессии с k по n

7. Сумма всех членов убывающей прогрессии

Видео:Арифметическая и геометрическая прогрессия | Математика TutorOnlineСкачать

Геометрическая прогрессия и сумма ее членов

теория по математике 📈 последовательности

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5. Или, например, ряд чисел 20; -2; 0,2; -0,02……, где видно, что каждое последующее умножали на одно и то же число (-0,1).

Так как по определению геометрической прогрессии мы имеем одно и то же число, то это и есть число q. Оно называется «знаменатель» геометрической прогрессии. Он находится путем деления соседних членов – последующего на предыдущий, то есть q = b n + 1 b n . . . Знаменатель не может быть равным нулю!

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, надо знать ее первый член и знаменатель. Например, если b₁=4, q=3, то получим прогрессию: 4; 12; 36; ….и так далее. Ну, а зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии: b₂=b₁q; b₃=(b₁q)q=b₁q 2 ; b₄==((b₁q)q)q=b₁q 3 . Так можно продолжать и дальше, но из этих записей видно, что можно найти n-ый член геометрической последовательности, если умножить первый член на знаменатель, степень которого на 1 меньше порядкового номера искомого члена, то есть b n = b 1 q n − 1 . Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

b n = b 1 ×q n − 1

Рассмотри на примерах применение формулы b n = b 1 q n − 1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

b 4 = b 1 q 4 − 1 = b 1 q 3

Подставляем в формулу значения, указанные в задании и вычисляем результат: b 4 = 6 × 3 3 = 162 .

Найти шестой член геометрической прогрессии 2; -6;……. Здесь для нахождения b₆ надо знать знаменатель q. Для его нахождения надо -6 разделить на 2, получим -3, то есть q=-3. Теперь составляем формулу для b₆, подставляем значения и вычисляем ответ:

b 6 = b 1 q 6 − 1 = b 1 q 5 = 2 × ( − 3 ) 5 = − 486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b 2 n = b n − 1 × b n + 1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b 2 5 = b 5 − 1 × b 5 + 1 = b 4 × b 6 = 32 × 128 = 4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅= √ 4096 =64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у= √ 24 × 96 = √ 2304 =48.

Видео:Арифметическая и геометрическая прогрессия в ОГЭ | Математика ОГЭ 2022 | УмскулСкачать

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

S n = b n q − b 1 q − 1 . . , где q ≠ 1

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель: Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

S n = b 1 ( q n − 1 ) q − 1 . . , где q ≠ 1

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами. Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3. Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

S 5 = b 5 q − b 1 q − 1 . .

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

S 5 = 162 ( − 3 ) − 2 − 3 − 1 . . = − 486 − 2 − 4 . . = − 488 − 4 . . = 122

Способ №2 (вторая формула).

S n = b 1 ( q n − 1 ) q − 1 .

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

S 5 = b 1 ( q 5 − 1 ) q − 1 .

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

S 5 = 2 ( ( − 3 ) 5 − 1 ) − 3 − 1 . . = 2 ( − 243 − 1 ) − 4 . . = − 488 − 4 . . = 122

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Видео:Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии. 9 класс.Скачать

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — ряд чисел (как правило обозначаются так — b₁, b₂, b₃…), в котором каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на определенное число, которое называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой q. При этом первый член прогрессии, а также знаменатель не должны равняться нулю.

При этом различают три случая: