Здесь Е = Ек + Еп — полная механическая энергия системы, Ек — кинетическая энергия в точке x1, Ек = E — Еп.
Связь между потенциальной энергией и силой
Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы F, действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии Еп. Значит, между силой F и Еп должна быть связь.
Известно, что dA = Fdr; с другой стороны, dA = -dEп, следовательно, Fdr = -dЕп, тогда.
Для компонент силы по осям x, y, z можно записать, что.
Так как вектор силы F = Fx i + Fy j + Fz k, то получим
где ∇ — оператор Гамильтона (оператор набла).
Градиент — это вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции. Знак «-» показывает, что вектор F направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения Еп.
Следовательно, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому со знаком минус. F = -grad Еп.
1.6.4. Закон сохранения механической энергии
В 40-х гг. XIX в. трудами Р. Майера, Г. Гельмгольца и Дж. Джоуля был доказан закон сохранения и превращения энергии.
Рассмотрим систему, состоящую из N частиц. Силы взаимодействия между частицами F(внутр) — консервативные. Кроме внутренних сил, на частицы действуют внешние консервативные и неконсервативные
Fy компонента вектора силы
частицу действует сила
Потенциальная энергия частицы задается функцией U = –3·xy 2 z. Определить Fy –компоненту (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А(3, 1, 2). Функция U и координаты точки А заданы в единицах СИ.
Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид U = а/r 3 – b/r 2 , где а и b — положительные константы. Найти силу, действующую на частицу, и работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3).
Вектор силы (Определение, Пример)
ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР СИЛЫ
Это то, что тянет и толкает; силы мы чувствуем, когда они на нас действуют; силы растягивают пружины, заставляют тело двигаться быстрее. Мы будем измерять силы при помощи пружинных весов. Поскольку эти приборы обычно градуируют в килограммах силы мы будем пока выражать силу тоже в килограммах силы.
При сооружении и проектировании мостов, зданий, кранов, машин инженеров очень заботит сложение сил или же разность сил для определения силы, необходимой для достижения равновесия. Можно показать, что силы — это векторы, т. е. они подчиняются правилу геометрического сложения.
Векторному сложению и разложению уравновешенных сил посвящен раздел физики, называемый «статикой». Это большой, но скучный раздел физики, и большинство учебников уделяет ему много места, излагая приемы решения задач инженерной статики. Мы ограничимся лишь несколькими примерами, и даже их, пожалуй, лучше было бы опустить, чтобы уделить больше времени изучению силы и движения.
Прежде всего мы должны удостовериться в том, что силы — это векторы. Сказать, что они должны быть векторами, поскольку они характеризуются величиной и направлением, недостаточно. Это не убеждает нас в том, что силы складываются геометрически.
Хотя это утверждение кажется вполне правдоподобным, особенно тем, кто имеет дело с канатами и веревками на кораблях или кому приходится заниматься разбивкой палаток, мы же должны проворить его непосредственно.
Опыт по определению вектора силы
Часто прибегают еще к одному способу проверки. Этот способ проще, но его косвенный характер порой (не совсем добросовестно) игнорируют. К узлу прикладывают две тянущие силы FА и FВ (применяют гири и блоки или пружинные весы), а третья сила FС удерживает узел в покое. Затем при помощи построения определяется сумма сил FА и FВ .
Она равна и проти воположна силе FС. Это требует дополнительного доказательства, поскольку FС не равнодействующая (сумма) двух других сил, а «равновесная» сила, необходимая, чтобы им противостоять.
Рис. Косвенная проверка векторного сложения сил.
Равновесие сил
Если на какую-нибудь деталь крана или моста действует несколько сил сразу, а инженеру нужно, чтобы она была и оставалась в состоянии покоя, то для этого сумма всех действующих сил должна быть равна нулю. Тогда в соответствии с представлением Галилея эта деталь должна либо постоянно двигаться, либо постоянно оставаться в состоянии покоя.
В этом случае мы говорим, что силы находятся «в равновесии». Если сумма нескольких сил равна нулю, то это должно быть видно на диаграмме векторного сложения; длина линии, соединяющей исходную точку диаграммы с конечной, должна быть равна нулю. Это означает, что векторная диаграмма должна представлять собой замкнутую фигуру.
Таким образом, если сумма сил равна нулю, то конец векторного многоугольника должен прийти обратно к началу. Это иллюстрирует рис. 3. Условие равенства нулю равнодействующей для постоянного равновесия сил должно выполняться для всей конструкции, например для всего крана или моста, но оно должно также выполняться для каждой отдельной детали конструкции, находящейся в состоянии равновесия.
Применяя это условие к какой-нибудь определенной детали, например к стреле крана, к одной опоре моста, к заклепке, связывающей воедино несколько различных деталей моста, или к грузу маятника, нужно быть внимательным и учитывать все силы, действующие на данную деталь. Тогда мы сможем утверждать, что имеем полный набор сил, образующих замкнутую векторную диаграмму, если, конечно, деталь находится в равновесии.
При решении задач не следует включать в рассмотрение силы, приложенные к другим деталям. Сначала выберите и пометьте выбранную деталь, которая, как вы считаете, находится в равновесии.
Равновесие трех сил, треугольник сил
Если три силы находятся в равновесии, то их векторная диаграмма должна представлять собой замкнутый треугольник (рис. 4). Если известны две силы, то можно вычислить величину и направление третьей.
а — три силы в равновесии) б — три силы не находятся в равновесии.
Этим пользуются при решении инженерных задач. Во многих конструкциях на каждую деталь, играющую важную роль, действуют как раз три силы. Чтобы конструкция была устойчивей, каждая деталь должна оставаться в состоянии покоя; сумма всех действующих на нее сил должна быть равна нулю. Таким образом, если к любой детали приложены три силы, мы строим для них замкнутый треугольник.
Похожие страницы:
Понравилась статья поделись ей