- п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
- п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
- п.4. Примеры
- Уравнение окружности.
- Уравнение окружности.
- Примеры решения задач про уравнение окружности
- Задача. Составить уравнение заданной окружности
- Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
- 🎥 Видео
п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.
Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.
Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).
п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции
Симметричное отображение относительно оси OY
Симметричное отображение относительно оси OX
Центральная симметрия относительно начала координат
Параллельный перенос графика на a единиц вправо
Параллельный перенос графика на a единиц влево
Параллельный перенос графика на b единиц вниз
Параллельный перенос графика на b единиц вверх
Сжатие графика к оси OY в a раз
Сжатие графика к оси OX в b раз
F(x; by) = 0
0 Например:
Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm $$
п.4. Примеры
Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac=-frac + 2 > ) – это прямая
б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac> ) – это гипербола
в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm<R=sqrt=2> )
г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac> ) – это парабола
Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<y=frac=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.
б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.
в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.
г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).
д) (mathrm<frac+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.
Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.
Видео:Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать
Уравнение окружности.
Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.
В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
,
Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.
Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.
.
Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.
Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .
Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:
В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):
Видео:Графики функций №5.ОкружностьСкачать
Уравнение окружности.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Видео:Уравнение окружности (1)Скачать
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.
Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2
Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3
Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.
Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3
Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно
Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.
🎥 Видео
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать
ГРАФИК ФУНКЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Уравнение окружности и ее графикСкачать
Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать
ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать
Как построить график функции без таблицыСкачать
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать
Графики функций и их формулы. Все задания из №11 ОГЭ | МатематикаСкачать
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 8 и 9 класс геометрияСкачать
Математика это не ИсламСкачать
10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Уравнение окружностиСкачать
Уравнение окружности. Как построить график уравнения окружности?Скачать