Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Содержание
  1. Свойства прямоугольника
  2. Диагональ прямоугольника
  3. Окружность, описанная около прямоугольника
  4. Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
  5. Периметр прямоугольника
  6. Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
  7. Признаки прямоугольника
  8. Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы
  9. Четырёхугольник
  10. Основные свойства:
  11. Квадрат
  12. Основные формулы:
  13. Свойства:
  14. Прямоугольник
  15. Основные формулы:
  16. Свойства:
  17. Параллелограмм
  18. Определения:
  19. Основные формулы:
  20. Свойства:
  21. Ромб
  22. Основные формулы:
  23. Свойства:
  24. Трапеция
  25. Определения:
  26. Основные формулы:
  27. Свойства:
  28. Треугольник
  29. Определения:
  30. Основные формулы:
  31. Свойства:
  32. Окружность
  33. Определения:
  34. Основные формулы:
  35. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  36. Описанная и вписанная окружности треугольника
  37. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  38. Вписанные и описанные четырехугольники
  39. Окружность, вписанная в треугольник
  40. Описанная трапеция
  41. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  42. Обобщенная теорема Пифагора
  43. Формула Эйлера для окружностей
  44. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  45. 🔥 Видео

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникав (2), получим:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникав (4), получим:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Видео:Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникав (5), получим:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(6)
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(8)
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, а периметр равен Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникав (11):

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Подставляя значения Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникав первую формулу (12), получим:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникав формулу, получим:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаВ статье описываются геометрические фигуры: определение, основные свойства и формулы.

Плоские геометрические фигуры:

Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Трапеция
Треугольник
Окружность

Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.

Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Четырёхугольник

Четырёхугольник – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Основные свойства:

  • Сумма углов четырёхугольника равна 360°
  • Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
  • Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.
  • Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон.

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Квадрат

Квадрат – правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторона
Площадь: S=a 2 или S=d 2 /2
Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=a√2
Радиус описанной окружности: R=d или R=a/√(2)
Радиус вписанной окружности: r=a/2

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.

Свойства:

  • Все стороны равны, все углы равны и составляют 90°;
  • Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;
  • У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей;
  • Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника.

Видео:Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружность

Прямоугольник

Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые.

Основные формулы:

Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по сторонам: S = a*b
Площадь по диагонали и углу между ними: S = d²* sin γ. / 2
Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)
Радиус описанной окружности: R= √(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде a, b – длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
γ угол между диагоналями
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a 2 +b 2 ) – корень квадратный из (a 2 +b 2 ).

Свойства:

  • Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Параллелограмм

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Определения:

Высота параллелограмма – это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением: (d1) 2 +(d2) 2 =(a 2 +b 2 )*2
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по стороне и высоте: S = a*h
S (Площадь) по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sin α
S (Площадь) по двум диагоналям и углу между ними: S=(d1*d2)/2*sin γ

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде a, b – длины сторон, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне
α – угол между сторонами параллелограмма,
γ – угол между диагоналями параллелограмма (острый).

Свойства:

  • У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
  • Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
  • Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников)
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
  • Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4*a
Площадь по стороне и высоте: S=a*h
Площадь по диагоналям: S = (d1*d2)/2
Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или r =(d1*d2)/4a
Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*r
Площадь по стороне и углу: S = a 2 · sin α

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде a – длина стороны, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
α – угол между сторонами ромба

Свойства:

  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
  • В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности: r=h/2 или r = d1*d2/4a.

Видео:Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9классСкачать

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9класс

Трапеция

Трапеция – четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Определения:

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
  • Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
  • Средняя линия (первая средняя линия) трапеции – отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции.Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
  • Средняя линия (вторая средняя линия) – отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей.
  • Равнобокая трапеция – трапеция,у которой боковые стороны равны (c=d). У равнобокой трапеции:диагонали равны, углы при основании равны, сумма противолежащих углов равна 180°.Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
  • Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c+d
Площадь определить: S=h*(a+b)/2
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: d² = ab+c²
Радиус вписанной окружности: r = h/2

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде a,b – основания, c,d – боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая), d1, d2 –диагонали,
P-периметр, S-площадь, h -высота, проведенная к противоположной стороне

Свойства:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Определения:

  • Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
  • Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны
  • Медиана треугольника– отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  • Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне
  • Равные треугольники – треугольники, у которых соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны
  • Равнобедренный треугольник– треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
  • Равносторонний или правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
  • Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c
Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2
Площадь: по сторонам и углу между ними: S=(a*b)/2* sin γ
по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4R
по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*r
Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*b)/2
Стороны прямоугольного треугольника: c 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора)

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде a,b, c – стороны (a,b –катеты , с – гипотенуза в случае прямоугольного треугольника)
d1, d2 –диагонали, h -высота, проведенная к противоположной стороне,
P-периметр, S-площадь, γ – угол между сторонами a и b
r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности

Свойства:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
  • Сумма углов треугольника равна 180°:
  • Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: |a-b| 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора).В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность

Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Определения:

  • Радиус – отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой.
  • Хорда – отрезок, который соединяет какие-либо две точки окружности (AB).
  • Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности(d). Диаметр – наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.
  • Касательная – прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (E)
  • Секущая – прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Основные формулы:

Длина окружности: L = 2πR
Площадь круга: S = π*r 2 или S = π*d 2 /4

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная,
где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде R — радиус описанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Найдем радиус Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПо свойству касательной Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(по острому углу) следуетФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи по свойству касательной к окружности Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— полупериметр треугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаРадиусы Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см. рис. 95) Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаиз Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато получится пропорция Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапо теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см), откуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— общий) следует:Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см. рис. 97) Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, из Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника‘ откуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника). Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаИз формулы площади треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаследует: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаего вписанной окружности.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаИз Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, откуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.
В Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Откуда

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаразделить на Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде с — гипотенуза.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, где Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— искомый радиус, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— катеты, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— гипотенуза треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи гипотенузой Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаНо Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, откуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Следствие: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формула Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникав сочетании с формулами Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаНайти Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.

Решение:

Так как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Из формулы Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаследует Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. По теореме Виета (обратной) Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— посторонний корень.
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— квадрат, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
По свойству касательных Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Тогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПо теореме Пифагора

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Следовательно, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Радиус описанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольниказначения Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаполучим Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПо теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникарадиус вписанной в него окружности Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникавписанной окружности, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— высота Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаравна сумме удвоенной площади Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаследует Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаВозведем части равенства в квадрат: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаследует, что Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаИз формулы Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаследует, что Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаАналогично доказывается, что Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато около него можно описать окружность.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаили внутри нее в положении Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаИскомый радиус вписанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольниканайдем площадь данного ромба: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПоскольку Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см), то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаОтсюда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см).

Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПо свойству описанного четырехугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаОтсюда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникакак внутренние односторонние углы при Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи секущей CD, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 131). Тогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— прямоугольный, радиус Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаили Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаВысота Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникат. е. Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. После преобразований получим: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаАналогично: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Замечание. Если Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 141), то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПусть в трапеции ABCD основания Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— боковые стороны, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаОтсюда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаОтвет: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи радиусом Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— соответствующие линейные элемен­ты Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Пример:

Пусть Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(см. рис. 148). Найдем Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаотсюда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
Ответ: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, и Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде b — боковая сторона, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаРадиус вписанной окружности Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаТак как Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникато Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаИскомое расстояние Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаоткуда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникагде Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— полупериметр, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— центр окружности, описанной около треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, поэтому Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникасуществует точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— ее радиусами.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Проведем серединные перпендикуляры Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникасторон Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникасоответственно. Пусть точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Так как точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Значит, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаФормулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, т. е. точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, отрезки Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникасуществует точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Проведем биссектрисы углов Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— точка их пересечения. Так как точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапринадлежит биссектрисе угла Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, то она равноудалена от сторон Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникапринадлежит биссектрисе угла Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, то она равноудалена от сторон Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Следовательно, точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, где Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиус вписанной окружности, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— катеты, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— гипотенуза.

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Решение:

В треугольнике Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника(рис. 302) Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— центр вписанной окружности, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникасоответственно.

Отрезок Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника.

Так как точка Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— центр вписанной окружности, то Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— биссектриса угла Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольникаи Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Тогда Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника— равнобедренный прямоугольный, Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Формулы вписанной и описанной окружности для прямоугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.Скачать

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.
Поделиться или сохранить к себе: