Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Четырехугольник, вписанный в окружность — основные свойства, признаки и формулы

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Общие сведения

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Фигура является вписанной в окружность, когда все ее вершины лежат на ней. Произвести вписание в окружность четырехугольника можно только в том случае, когда он выпуклый. Все его точки находятся по одну сторону от произвольной прямой, которая проходит через соседние вершины фигуры. Нужно отметить, что в этом случае окружность является описанной вокруг фигуры. Если в параллелограмм вписана окружность, то ее центр совпадает с центром окружности, которая описана вокруг него.

Четырехугольники бывают самопересекающимися. Они также могут быть вписанными, однако это встречается крайне редко. Не каждую фигуру можно вписать в круг, поскольку существуют определенные законы. Например, вокруг ромба нельзя описать круг — исключение составляет случай, когда ромб является квадратом.

Основные правила

Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность. Однако для этого существуют некоторые правила (критерии) или признаки. Некоторые задачи сформулированы таким образом, что нужно знать основные критерии, а также уметь доказывать возможность вписывать или описывать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, если выполняются следующие условия:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

  • Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
  • Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
  • Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
  • Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
  • Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
  • Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).

Четвертое утверждение является теоремой Птолемея. Все эти правила являются следствиями, полученными при доказательстве различных гипотез. Правила можно применять в зависимости от условия поставленной задачи. Любой параллелограмм можно вписать в окружность, когда он является прямоугольником или квадратом.

Свойства и утверждения

При решении можно воспользоваться некоторыми свойствами, которые были доказаны. Это нужно для того, чтобы не тратить время на выведение какой-либо формулы. Применяется методика для оптимизации вычислений. К ним можно отнести следующие:

  • Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
  • Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
  • При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.

Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы и соотношения

Очень часто необходимо перерыть горы информации для поиска нужной формулы. Это сказывается на оптимизации решения. Кроме того, некоторые соотношения могут содержать ошибки, поскольку материал излагается неквалифицированными специалистами.

Педагоги утверждают, что обучение какой-либо дисциплине с физико-математическим уклоном должно быть основано на алгоритмах. Кроме того, рекомендуется прочитать условие задачи несколько раз до полного его понимания. В основном необходимо находить площадь, диагонали и углы четырехугольника.

Периметр и полупериметр

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Периметром выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c и d называется сумма длин всех его сторон. Величина обозначается литерой «Р», и вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c +d. Кроме того, в некоторых формулах встречается величина, которая называется полупериметром. Обозначается она литерой «р». Для ее нахождения применяется такое соотношение: p = P / 2 = (a + b + c +d) / 2. Единицей измерения полупериметра являются метрические величины: мм, см, дм, м и т. д.

Для квадрата формула периметра имеет вид: P = 4 * a. Равенство легко доказывается для фигуры со стороной а. Из определения периметра получается соотношение: P = a + a + a + a. Если привести подобные слагаемые, то результирующая формула имеет вид: P = 4 * a. У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти его периметр, нужно воспользоваться равенством: P = a + b + a + b = 2 * (a + b). Необходимо отметить, что квадрат является правильным четырехугольником, поскольку его стороны равны между собой.

Понятие площади

Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см 2 , м 2 и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.

Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую. Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м 2 в см 2 . Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим. Достаточно выполнить следующие действия:

  • Определить базовую единицу: м и см.
  • Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
  • Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м 2 = 100 2 см 2 = 10000 см 2 .

Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м 2 и 1 гектар (га) = 10000 м 2 .

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Когда известны все стороны четырехугольника (a, b, c и d), который вписан в окружность, можно найти его S. Для этого нужно знать еще одну величину. Она называется полупериметром. Расчет выполняется по формуле: S = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½). Соотношение называется формулой Брахмагупты.

Необходимо отметить, что вписанный четырехугольник обладает максимальным значением S среди остальных эквивалентных фигур. Если известны четыре стороны, которые являются последовательными (a, b, c и d), а также угол В между a и b, то можно воспользоваться более упрощенной формулой: S = [(a * b + c * d) * sin (B)] / 2. В случае, когда известны все стороны и любой угол (Y) между диагоналями, соотношение можно записать таким образом: S = [(a * с + и * d) * sin (Y)] / 2.

Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a 2 — b 2 — c 2 + d 2 ) * tg (A)] / 4. При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S 2 . Если четырехугольник является квадратом, то неравенство преобразуется в равенство, т. е. S = 2 * R 2 .

Диагонали и углы

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Для вписанного четырехугольника ABCD существуют определенные соотношения, по которым можно найти его диагонали. Для фигуры со сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA диагонали (s = АС и t = DA) находятся таким образом: s = [((a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / (a * b + c * d)]^(½) и t = [((a * c + b * d) * (a * b + d * c)) / (a * d + c * b)]^(½). Если умножить диагональ s на t и привести подобные слагаемые, то в результате получится формула Птолемея: s * t = a * c + b * d.

При отношении двух диагоналей получается вторая теорема Птолемея: s / t = (a * d + b * c) / (a * b + d * c). Сумма диагоналей — есть неравенство такого вида: s + t >= 2 * [a * c + b * d]^(½). Неравенство преобразуется в равенство, когда диагонали равны. Однако в этом случае можно воспользоваться следующим выражением: [s + t]^(½) >= [a * c]^(2) + [b * d]^(2).

Необходимо отметить, что в произвольном выпуклом четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, которые являются между собой подобными по парам. Кроме того, при пересечении двух диагоналей AC и BD в некоторой точке М, справедливо следующее соотношение: AM / CM = (AB * AD) / (CB * CD).

Можно находить и некоторые углы фигуры. Для этого существуют определенные соотношения. Во вписанном четырехугольнике со сторонами, которые соответствуют значениям a, b, c и d, углом A между сторонами a и d, а также полупериметром p, функции тригонометрического типа для А вычисляются таким образом:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

  1. cos (A) = (a 2 + d 2 — b 2 — c 2 ) / (2 * (a * d + b + c)).
  2. sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
  3. tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).

В некоторых случаях нужно вычислить значение тангенса для угла Y, который находится между диагоналями, по формуле: tg (Y/2) = [((p — b) * (p — d)) / ((p — a) * (p — c))]^(½).

В геометрии существует вписанный четырехугольник, стороны которого являются целыми числами. Кроме того, целочисленными являются также его диагонали и площадь. Он называется четырехугольником Брахмагупты. Однако для преобразования любого четырехугольника в данную фигуру необходимо выполнить некоторые математические операции. Пусть он имеет следующие целочисленные параметры:

  1. Стороны: a, b, c и d.
  2. Диагонали: s и t.
  3. Площадь: S.
  4. Радиус описанной окружности: R.

В некоторых случаях возникает необходимость избавиться от рациональных значений в знаменателе. При значениях дробных параметров k, l и m нужно использовать такие соотношения:

  1. a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
  2. b = (1 — l 2 ) * (m — k) * (1 + k * m).
  3. c = k * (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ).
  4. d = (1 + m 2 ) * (l — k) * (1 + k * l).
  5. s = l * (1 + k 2 ) * (1 + m 2 ).
  6. t = m * (1 + k 2 ) * (1 + l 2 ).
  7. S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k 2 )] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k 2 )].
  8. 4 * R = (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ) * (1 + k 2 ).

Существуют также соотношения для описанной вокруг четырехугольника окружности. Математики утверждают, что при комбинации двух и более геометрических фигур время поиска некоторых параметров увеличивается.

Параметры для окружности

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Радиус окружности R для четырехугольника c полупериметром р и со сторонами a, b, c, d находится по формуле Парамешвары: R = (¼) * [((a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / ((p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d))]^(½). Соотношение было выведено в XV веке математиком из Индии Ватассери Парамешварой.

При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника. Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D 2 = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 .

Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a 2 + c 2 ] / 2 = [b 2 + d 2 ] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s 2 + t 2 + 4 * v 2 ) / 8]^(½).

Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаВписанные четырехугольники и их свойства
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТеорема Птолемея

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Окружность, описанная около параллелограмма
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Окружность, описанная около параллелограмма
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Докажем, что справедливо равенство:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

откуда вытекает равенство:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагде Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагде R — радиус описанной окружности Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Найдем радиус Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПо свойству касательной Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(по острому углу) следуетФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи по свойству касательной к окружности Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагде Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— полупериметр треугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаРадиусы Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см. рис. 95) Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаиз Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Ответ: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато получится пропорция Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапо теореме Пифагора Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см), откуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— общий) следует:Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Тогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см. рис. 97) Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, из Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника‘ откуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника). Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаИз формулы площади треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаследует: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаего вписанной окружности.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаИз Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, откуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника.
В Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Откуда

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Ответ: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаразделить на Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагде с — гипотенуза.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, где Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— искомый радиус, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— катеты, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— гипотенуза треугольника.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи гипотенузой Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Тогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаНо Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, т. е. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, откуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Следствие: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формула Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникав сочетании с формулами Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаНайти Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника.

Решение:

Так как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Из формулы Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаследует Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. По теореме Виета (обратной) Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— посторонний корень.
Ответ: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— квадрат, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
По свойству касательных Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Тогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПо теореме Пифагора

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Следовательно, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Радиус описанной окружности Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольниказначения Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаполучим Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПо теореме Пифагора Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, т. е. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникарадиус вписанной в него окружности Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникавписанной окружности, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— высота Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаравна сумме удвоенной площади Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаследует Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаВозведем части равенства в квадрат: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаследует, что Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаИз формулы Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаследует, что Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаАналогично доказывается, что Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато около него можно описать окружность.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаили внутри нее в положении Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаИскомый радиус вписанной окружности Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольниканайдем площадь данного ромба: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПоскольку Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см), то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОтсюда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см).

Ответ: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПо свойству описанного четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОтсюда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникакак внутренние односторонние углы при Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи секущей CD, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 131). Тогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— прямоугольный, радиус Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаили Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаВысота Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникат. е. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. После преобразований получим: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаАналогично: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Ответ: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Замечание. Если Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 141), то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПусть в трапеции ABCD основания Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— боковые стороны, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОтсюда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаОтвет: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи радиусом Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— соответствующие линейные элемен­ты Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Пример:

Пусть Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(см. рис. 148). Найдем Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаотсюда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
Ответ: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, и Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагде b — боковая сторона, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаРадиус вписанной окружности Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаТак как Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникато Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаИскомое расстояние Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаоткуда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникагде Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— полупериметр, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— центр окружности, описанной около треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, поэтому Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникасуществует точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— ее радиусами.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Проведем серединные перпендикуляры Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникасторон Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникасоответственно. Пусть точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Так как точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Значит, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаФормулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, т. е. точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, отрезки Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникасуществует точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Проведем биссектрисы углов Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— точка их пересечения. Так как точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапринадлежит биссектрисе угла Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, то она равноудалена от сторон Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникапринадлежит биссектрисе угла Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, то она равноудалена от сторон Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Следовательно, точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, где Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиус вписанной окружности, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— катеты, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— гипотенуза.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Решение:

В треугольнике Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника(рис. 302) Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— центр вписанной окружности, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникасоответственно.

Отрезок Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника.

Так как точка Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— центр вписанной окружности, то Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— биссектриса угла Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольникаи Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Тогда Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника— равнобедренный прямоугольный, Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности четырехугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9классСкачать

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Геометрия 9класс

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия для чайников 59 Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильных многоугоСкачать

Геометрия для чайников 59 Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильных многоуго

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр
Поделиться или сохранить к себе: