Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Нахождение радиуса описанной вокруг правильного многоугольника окружности

В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Формула расчета радиуса окружности

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

На рисунке изображен правильный шестиугольник с описанной вокруг него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

где a – длина стороны.

Примечание: зная радиус описанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника (формула выводится из представленной выше):

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Пример задачи

Дан правильный пятиугольник с длиной стороны 8 см. Вычислите радиус описанной около данной фигуры окружности.

Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известное нам значение.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Окружность, описанная около многоугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного выводФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Если без иррациональности в знаменателе —

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Радиус описанной окружности квадрата

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Если без иррациональности в знаменателе —

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вывод формулы для радиуса описанной окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вывести формулу радиуса описанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Радиус описанной окружности

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Окружность, описанная около многоугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного выводФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Если без иррациональности в знаменателе —

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Радиус описанной окружности квадрата

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Если без иррациональности в знаменателе —

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Нахождение радиуса описанной вокруг правильного многоугольника окружности

В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формула расчета радиуса окружности

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

На рисунке изображен правильный шестиугольник с описанной вокруг него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

где a – длина стороны.

Примечание: зная радиус описанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника (формула выводится из представленной выше):

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Пример задачи

Дан правильный пятиугольник с длиной стороны 8 см. Вычислите радиус описанной около данной фигуры окружности.

Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известное нам значение.

Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Теорема синусов

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула теоремы синусов:

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

  • Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод
    bc sinα = ca sinβ
    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

    Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружности

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Радиус описанной окружности

    Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

    Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

    у прямоугольного — на середине гипотенузы;

    у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

    Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Окружность, описанная около многоугольника

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

    Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

    Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

    Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

    Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

    Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

    Радиус описанной окружности правильного треугольника

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного выводФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Если без иррациональности в знаменателе —

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Радиус описанной окружности квадрата

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Формула радиуса описанной окружности для квадрата

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Если без иррациональности в знаменателе —

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Нахождение радиуса описанной вокруг правильного многоугольника окружности

    В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Формула расчета радиуса окружности

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    На рисунке изображен правильный шестиугольник с описанной вокруг него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    где a – длина стороны.

    Примечание: зная радиус описанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника (формула выводится из представленной выше):

    Формула для радиуса окружности описанной около правильного вывод

    Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

    112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной

    Пример задачи

    Дан правильный пятиугольник с длиной стороны 8 см. Вычислите радиус описанной около данной фигуры окружности.

    Решение:
    Применим соответствующую формулу, подставив в нее известное нам значение.

    🎦 Видео

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy
    Поделиться или сохранить к себе: