Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Средняя Линия Трапеции
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны
Основная задача: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.
Средняя Линия Треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.
AM = MC and BN = NC =>
Применение свойств средней линии треугольника и трапеции
Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5
Мы соединяем A5 с B и проводим такие прямые через A4, A3, A2 и A1, которые параллельны A5B. Они пересекают AB соответственно в точках B4, B3, B2 и B1. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB3A3A5 мы видим, что BB4 = B4B3. Таким же образом, из трапеции B4B2A2A4 получаем B4B3 = B3B2
В то время как из трапеции B3B1A1A3, B3B2 = B2B1.
Тогда из B2AA2 следует, что B2B1 = B1A. В заключении получаем :
AB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.
Видео:Теорема о средней линии трапецииСкачать
Длина средней линии трапеции треугольника
Ключевые слова: треугольник, отрезок, средняя линия, длина отрезка, средняя линия треугольника, средняя линия трапеции, средняя линия четырехугольника
Отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника, называется средней линией четырехугольника.
Если в выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
См. также:
Биссектриса, Медиана, Прямоугольный треугольник, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник
Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать
Средние линии
Средние линии треугольника |
Средняя линия трапеции |
Средние линии четырехугольников. Теорема Вариньона |
Средние линии тетраэдра |
Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
Средние линии треугольника
Определение . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).
На рисунке 1 средней линией является отрезок DE .
Утверждение 1 . Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой D середину стороны AB (рис. 2). Проведем через точку D до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC . Обозначим буквой E точку пересечения прямых DE и BC .
Поскольку AD = DB , а прямые AC и DE параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CE = EB . Отсюда вытекает, что точка E является серединой стороны CB , а отрезок DE является средней линией треугольника.
Первую часть утверждения 1 мы доказали.
Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки DE , EF и FD (рис.3).
Но поскольку AF = FC , то отсюда вытекает равенство
что и требуется доказать.
Доказательство утверждения 1 закончено.
- Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF , DBE , ECF , DEF (рис. 4).
- Каждый из четырёх треугольников ADF , DBE , ECF , DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5 .
Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 18 НАЙТИ ДЛИНУ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРАПЕЦИИСкачать
Средняя линия трапеции
Напомним, что трапецией трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями , а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.
Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.
Определение . Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).
На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF .
Утверждение 2 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.
Доказательство . Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию (рис. 6). Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G . Рассмотрим треугольники BCF и FDG . У этих треугольников стороны CF и FD равны, поскольку точка F – середина стороны CD . Углы BCF и FDG равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых BC и AD с секущей CD . Углы BFC и DFG равны, поскольку они являются вертикальными. Тем самым выполнены все условия признака равенства треугольников «По стороне и прилежащим к ней углам», и можно заключить, что треугольники BCF и FDG равны. Из равенства треугольников BCF и FDG следует равенство отрезков BF и FG , откуда вытекает, что отрезок EF является средней линией треугольника ABG . Поэтому
что и требовалось доказать.
Задача 1 . Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.
Задача 2 . Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . В силу утверждения 1 выполнены равенства:
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 . Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.
Доказательство . Пусть K и L – середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно (рис.9). Обозначим буквой M точку пересечения боковых сторон AB и CD . Проведем через точки M и K прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием AD символом N . Докажем, что точки N и L совпадают. Для этого заметим, что треугольник BMK подобен треугольнику AMN . Следовательно, выполнено равенство:
Из этих соотношений получаем:
откуда вытекает, что точки N и L совпадают. Доказательство завершено.
Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
Утверждение 4 . Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.
Следствие . Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
Видео:Геометрия 8. Средняя линия трапеции. Средняя линия треугольника. Задачи.Скачать
Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона
Определение . Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.
Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).
На рисунке 10 средние линии – это отрезки EF и GH .
Замечание 1 . Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем замкнутую ломаную линию из 4 звеньев без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.
На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник» ABCD , средними линиями которого являются отрезки EF и GH .
Замечание 2 . Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Замечание 3 . В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.
Теорема Вариньона . Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограмма параллелограмма .
Доказательство . Рассмотрим плоский четырёхугольник ABCD , изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H – середины сторон, отрезок AC – диагональ четырёхугольника.
Поскольку отрезок EG – средняя линия треугольника ABC , то отрезок EG параллелен диагонали AC и равен её половине. Поскольку отрезок FH – средняя линия треугольника CDA , то отрезок FH параллелен диагонали AC и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник EGFH – параллелограмм, что и требовалось доказать.
Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника» ABCD доказательство остаётся тем же (рис. 13).
Утверждение 5 . Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).
Утверждение 6 . Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырёхугольник ABCD , у которого отрезок EF является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:
что и требовалось доказать.
Следствие . Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.
Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией трапецией , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.
Видео:Средняя линия треугольникаСкачать
Средние линии тетраэдра
Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).
У каждого тетраэдра имеется 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, причем все рёбра делятся на 3 пары непересекающихся рёбер . На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых .
Определение . Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.
У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок EF является одной из средних линий тетраэдра.
Утверждение 7 . Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство . Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например, EF и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка EF . Для этого рассмотрим, например, среднюю линию GH , соединяющую середины рёбер AC и BD , и соединим отрезками точки E, H, F, G (рис.19).
Заметим, что отрезок EH является средней линией треугольника ADB , поэтому
Определение . Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра .
Утверждение 8 . Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD . Если обозначить буквой M центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:
🌟 Видео
8 класс, 49 урок, Средняя линия трапецииСкачать
8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать
Трапеция. Средняя линия трапеции.Скачать
Геометрия 9 класс (Урок№5 - Средняя линия трапеции.)Скачать
Геометрия 9 класс. Средняя линия трапецииСкачать
Найдем длину средней линии трапеции #shortsСкачать
Геометрия 8. Урок 7 - Средняя линия треугольника и трапецииСкачать
Теорема о средней линии трапецииСкачать
Геометрия. 8 класс. Средняя линия трапеции /15.10.2020/Скачать
Треугольники №15. Средняя линия. Средняя линия трапеции №17. Равносторонний треугольник. (ОГЭ)Скачать
Урок34. Трапеция Средняя линия трапеции (8 класс)Скачать
Почему такая формула у средней линии трапеции?Скачать
88. Средняя линия трапецииСкачать
Свойство средней линии трапеции | Геометрия 8-9 классыСкачать