Физический смысл векторов на векторной диаграмме (7 видео)

Векторная диаграмма. Представление гармонических колебаний в комплексной форме

На практике часто приходится, например, складывать колебания, совершающиеся в одном направлении. Эта задача заметно упрощается, с одной стороны, и становится более наглядной — с другой, если колебания изображать графически на плоскости в виде векторов. Подобное представление колебаний называют векторной диаграммой.

Выберем ось х, из произвольной точки О которой (рис. 55) под углом ф, равным начальной фазе колебаний, отложим вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания. Тогда проекция вектора А на ось Ох задает начальное смещение х = ЛсоБф.

Приводя вектор А во вращение с угловой скоростью со₀ (равна циклической частоте колебаний), в момент времени / вектор А образует с осью Ох угол (о)₀/ + ф), а его проекция на ось Ох

Таким образом, проекция конца вектора А на ось Ох совершает гармонические колебания с амплитудой А, с циклической частотой со₀, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой ф, равной углу, образуемому

вектором А с осью Ох в начальный момент времени. Рассмотренное изображение гармонических колебаний и представляет собой векторную диаграмму.

В физике часто применяется другой метод представления гармонических колебаний, который отличается от описанного выше лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

где /’ — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (45.1) можно записать в комплексной форме:

Величина х, будучи комплексной, не дает реального физического смещения, которое характеризуется вещественной величиной х в формуле (45.1).

Однако, согласно формуле Эйлера (49.2), действительная часть формулы (49.3), равная /Jcos(co₀/ + ф), представляет собой выражение для гармонического колебания. Поскольку физический смысл имеет лишь действительная часть х, поэтому гармоническое колебание можно записать в виде

учитывая при этом, что колеблющаяся величина х определяется вещественной частью выражения, стоящего в равенстве (46.4) справа.

Представление гармонических колебаний в комплексной форме позволяет заменить (например, при сложении, дифференцировании, интегрировании и т. д.) громоздкие тригонометрические преобразования более простыми действиями над показательными функциями.

Видео:Построение векторных диаграмм/Треугольник токов, напряжений и мощностей/Коэффициент мощностиСкачать

Что такое векторная диаграмма токов и напряжений? Как построить график

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков — векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

Различают 2-х вида векторных диаграмм:

Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:

Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.

Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.

Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:

Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ).

А остальные — изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.
Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:

i = Im sin (ω t + φ).

С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол — соответствующий фазе φ.

В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений — масштабом, поскольку:

I = Im /√2.

Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.

Видео:Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Построение векторных диаграмм

Достаточно сложным и чаще всего не изучаемым аспектом темы переменный ток является метод построения векторных диаграмм. Анализируя вынужденные электромагнитные колебания, мы уже обсудили сдвиг тока и напряжения на реактивных сопротивлениях (катушка индуктивности и конденсатор) по сравнению с активным сопротивлением (резистор). Тогда одним из задаваемых вопросов задачи является вопрос о направлении суммарного тока или напряжения в данный конкретный момент времени. Для ответа на этот вопрос и используется метод построения векторных диаграмм.

Векторная диаграмма — это изображение гармонически изменяющихся величин (текущего тока и напряжения) в виде векторов на плоскости.

Рис. 1. Векторная диаграмма

Построение векторных диаграмм происходит в прямоугольной декартовой системе координат. Построение начинается с проведения вектора, численно равного амплитудному значению тока в цепи. Данный вектор сонаправим в осью ОХ (рис. 1.1).

Т.к. напряжение на активном сопротивлении находится в одной фазе с током, то вектор амплитуды напряжения сонаправлен с вектором тока (рис. 1.2. красный).

На катушке напряжение опережает ток, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на катушке ( ) вверх под углом относительно вектора тока (рис. 1.2. синий).

На конденсаторе напряжение отстаёт от тока, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на конденсаторе ( ) вниз под углом относительно вектора тока (рис. 1.2. зелёный).

Угол , используемый в логике построений, используется в случае идеальности контура и катушки.

Для построения общего вектора напряжения достаточно векторно сложить напряжения:

Проще всего сначала найти вектор-сумму (т.к. они расположены вдоль одной прямой). В нашем случае, эти вектора разнонаправлены, найдём (рис. 1.3. жёлтый).

И последнее, осталось сложить получившийся вектор с вектором для получения значения полного напряжения в цепи (рис. 1.4. оранжевый). Для получения модуля вектора воспользуемся теоремой Пифагора, т.к. вектора находятся под прямым углом. Тогда:

где
- — общее напряжение в цепи,
- — напряжение на конденсаторе,
- — напряжение на катушке индуктивности,
- — напряжение на активном сопротивлении.

Угол — угол между вектором силы тока и полного напряжения называется сдвигом фаз между колебаниями силы тока и напряжения. Данный параметр можно найти и исходя из параметров системы:

Вывод: задачи на данную тематику касаются поиска сдвига фаз между колебаниями силы тока и напряжения через график (рис. 1.4) или через соотношение (3), а также поиска полного напряжения в цепи также через график (рис. 1.4) или через соотношение (2).