Если векторы коллинеарны то угол между ними

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

Если векторы коллинеарны то угол между ними
рис. 1

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

ax=ay.
bxby
Вектора a и b коллинеарны т.к.1=2.
48
Вектора a и с не коллинеарны т.к.12.
59
Вектора с и b не коллинеарны т.к.59.
48

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то

n =by=6= 2
ay3

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax=ay.
bxby
3=2.
9n

Решим это уравнение:

n =2 · 9= 6
3

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

ax=ay=az.
bxbybz

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то

n =by=6= 2
ay3

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax=ay=az.
bxbybz
3=2=m
9n12

Из этого соотношения получим два уравнения:

3=2
9n
3=m
912

Решим эти уравнения:

n =2 · 9= 6
3
m =3 · 12= 4
9

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Скалярное произведение векторов

Если векторы коллинеарны то угол между ними

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Если векторы коллинеарны то угол между ними

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Коллинеарные векторы.

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

Если векторы коллинеарны то угол между ними

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Если векторы коллинеарны то угол между ними

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Если векторы коллинеарны то угол между ними

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα

Если векторы коллинеарны то угол между ними

  • Алгебраическая интерпретация.
  • Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

    • Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0. Если векторы коллинеарны то угол между ними
    • Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα

    Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

    Угол между векторами | Математика

    Скалярное произведение в координатах

    Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

    Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

    То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

    А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

    Докажем это определение:



      Сначала докажем равенства
      Если векторы коллинеарны то угол между ними

    для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

    Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

    Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)

    Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    то последнее равенство можно переписать так:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    а по первому определению скалярного произведения имеем

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

  • Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
    Если векторы коллинеарны то угол между ними
  • Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
  • Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.
  • Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

    Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

    Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

    Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

    Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

    В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

    a * b = ax * bx + ay * by

    Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

    В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

    a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

    Формула скалярного произведения n-мерных векторов

    В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

    a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + . + an * bn

    Видео:Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

    Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024

    Свойства скалярного произведения

    Свойства скалярного произведения векторов:



      Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

    →0 * →0 = 0

    Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

    →a * →a = →∣∣a∣∣2

    Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

    →a * →b = →b * →a

    Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

    (→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c

    Сочетательный закон для скалярного произведения:

    (k * →a) * →b = k * (→a * →b)

    Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

    a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b

    Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

    Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

    По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

    Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

    Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

    Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

    Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

    Примеры вычислений скалярного произведения

    Пример 1.

    Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

    У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

    (→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

    Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

    Пример 2.

    Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

    Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

    В данном случае:

    →a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

    Пример 3.

    Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Пример 4.

    В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

    Если векторы коллинеарны то угол между ними



      Введем систему координат.
      Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

  • Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).
  • Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:
    Если векторы коллинеарны то угол между ними
  • Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:
    Если векторы коллинеарны то угол между ними
  • Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:
    Если векторы коллинеарны то угол между ними
  • Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:
    Если векторы коллинеарны то угол между ними
  • Пример 5.

    а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

    б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

    а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

    Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

    Обратите внимание на два существенных момента:

    • В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
    • В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

    Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

    Пример 6.

    Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

    По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

    Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Вычислим скалярное произведение:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Вычислим длины векторов:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Найдем косинус угла:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

    Найдём сам угол:

    Если векторы коллинеарны то угол между ними

    Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

    Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

    Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

    А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

    Видео:Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

    Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

    Условие коллинеарности векторов

    В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

    Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

    Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

    Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

    Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R

    Видео:№913. Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а +3b и а; б) b-2а и a? Ответ обоснуйте.Скачать

    №913. Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а +3b и а; б) b-2а и a? Ответ обоснуйте.

    Координатная форма условия коллинеарности векторов

    Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .

    По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

    1. ​​​Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
    2. Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z

    Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

    Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

    Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

    Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

    Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

    Решение

    Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1

    Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.

    Ответ: заданные векторы коллинеарны.

    Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

    Решение

    Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

    Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.

    Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.

    Решение

    Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

    b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7

    тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .

    Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.

    Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

    Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

    Решение

    Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .

    Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .

    Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

    Решение

    Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )

    💥 Видео

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

    ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?

    Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

    Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

    Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

    Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

    11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

    11 класс, 5 урок, Угол между векторами

    9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

    9 класс, 17 урок, Угол между векторами

    №1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать

    №1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС

    найти угол между единичными векторамиСкачать

    найти угол между единичными векторами
    Поделиться или сохранить к себе: