Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
рис. 1 |
- Условия коллинеарности векторов
- Примеры задач на коллинеарность векторов
- Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
- Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
- Скалярное произведение векторов
- Основные определения
- Угол между векторами
- Скалярное произведение векторов
- Скалярное произведение в координатах
- Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- Свойства скалярного произведения
- Примеры вычислений скалярного произведения
- Условие коллинеарности векторов
- Координатная форма условия коллинеарности векторов
- 💥 Видео
Видео:Коллинеарность векторовСкачать
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
ax | = | ay | . |
bx | by |
Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
4 | 8 |
Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
5 | 9 |
Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
n = | by | = | 6 | = 2 |
ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax | = | ay | . |
bx | by |
3 | = | 2 | . |
9 | n |
Решим это уравнение:
n = | 2 · 9 | = 6 |
3 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
ax | = | ay | = | az | . |
bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
n = | by | = | 6 | = 2 |
ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax | = | ay | = | az | . |
bx | by | bz |
3 | = | 2 | = | m |
9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
3 | = | 2 |
9 | n |
3 | = | m |
9 | 12 |
Решим эти уравнения:
n = | 2 · 9 | = 6 |
3 |
m = | 3 · 12 | = 4 |
9 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Скалярное произведение векторов
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
Видео:Коллинеарные векторы.Скачать
Угол между векторами
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Видео:Как находить угол между векторамиСкачать
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
- Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
- Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα
Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
Сначала докажем равенства
для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем