Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

Вычисление площади поверхности
Содержание
  1. Вычисление площади поверхности
  2. Далее:
  3. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
  4. Основные формулы
  5. Применение формул на практике
  6. Готовые работы на аналогичную тему
  7. Двойной интеграл площадь окружности
  8. Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры
  9. Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?
  10. Пределы интегрирования в повторных интегралах
  11. Случай первый
  12. Случай второй
  13. Случай третий
  14. Случай четвёртый
  15. Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
  16. Двойной интеграл с примерами решения и образцами выполнения
  17. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
  18. Масса плоской пластинки
  19. Основные свойства двойного интеграла
  20. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  21. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
  22. Приложения двойного интеграла
  23. Объем тела
  24. Площадь плоской фигуры
  25. Масса плоской фигуры
  26. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
  27. Моменты инерции плоской фигуры
  28. Двойной интеграл
  29. Двойной интеграл площадь окружности
  30. 💡 Видео
Вычисление площади поверхности
  1. Услуги проектирования
  2. Двойной интеграл
  3. Вычисление площади поверхности

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление площади поверхности

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf < textit > $ на плоскости $mathbf < textit > $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ $ = 2$mathbf < textit > $ из сферы $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ $ = 4$mathbf < textit > ^ $ .

Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

Решение:

Область $mathbf < textit > $ — сдвинутый на $mathbf < textit > $ единиц по оси $mathbf < textit > $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf < textit > $ и $mathbf < textit > $:

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ < + + = > ;; < text ;;z = sqrt < — — > . > $

Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ < S_ < largefrac normalsize > > = iintlimits_R < sqrt < 1 + < < left( < frac < > < > >right) > ^2 > + < < left( < frac < > < > >right) > ^2 > > dxdy > .$

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 < S_ < largefrac normalsize > > = 4pi .$

Далее:

Вычисление площадей плоских областей

Определение двойного интеграла

Специальные векторные поля

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Вычисление объёмов

Определение криволинейного интеграла второго рода

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Критерий полноты . Лемма о нелинейной функции

Частные случаи векторных полей

Критерий полноты . Лемма о немонотонной функции

Вычисление двойного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Огравление $Rightarrow $

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.Скачать

Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.

Основные формулы

Если везде в области $D$ на координатной плоскости $xOy$ для формулы $I=iint limits _fleft(x,yright)cdot dxcdot dy $ положить $fleft(x,yright)equiv 1$, то, в соответствии со своим геометрическим смыслом, двойной интеграл будет численно равен площади $S$ области интегрирования $D$, то есть $S=iint limits _dxcdot dy $. В полярной системе координат эта же самая формула приобретает вид $S=iint limits _ <D^>rho cdot drho cdot dphi $.

Пусть некоторая поверхность $Q$ задана уравнениям $z=f_ left(x,yright)$. Вычислим площадь той части поверхности $Q$, которая проецируется на координатную плоскость $xOy$ в область $D_ $, где функция $f_ left(x,yright)$ непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда искомую площадь можно вычислить по формуле $S=iint limits _ <D_>sqrt<1+left(frac right)^ +left(frac right)^ > cdot dxcdot dy $.

Если уравнение поверхности $Q$ задано в виде $x=f_ left(y,zright)$ или $y=f_ left(x,zright)$, то соответствующие формулы для вычисления площади поверхности имеют следующий вид:

Здесь $D_ $ и $D_ $ — области, в которые проецируется поверхность $Q$ на координатные плоскости $yOz$ и $xOz$ соответственно.

Видео:Двойной интеграл. Площадь плоской фигуры.Скачать

Двойной интеграл. Площадь плоской фигуры.

Применение формул на практике

Находим координаты точки $Bleft(x_ ,y_ right)$:

$y_ =2cdot x_^ -16cdot x_ +31=2cdot 6^ -16cdot 6+31=7$. Получаем $Bleft(6,7right)$.

Готовые работы на аналогичную тему

На горизонтальной плоскости $xOy$ находится вертикальное цилиндрическое сооружение. Пол сооружения (область $D$) имеет вид прямоугольника с вершинами $Oleft(0,0right)$, $Mleft(5,0right)$, $Kleft(5,7right)$ и $Nleft(0,7right)$. Крыша сооружения имеет вид купола и описывается уравнением $z=sqrt <left(4cdot x+5right)^> +sqrt <left(2cdot y+6right)^> $. Требуется с помощью двойного интеграла вычислить площадь крыши этого сооружения.

Его прямоугольный пол является правильным в направлении оси $Oy$. Прямые $x=a$ и $x=b$ ограничивают пол в направлении оси $Ox$ сзади и спереди, следовательно, $a=0$, $b=5$. Линии $phi _ left(xright)$ и $phi _ left(xright)$ ограничивают пол в направлении оси $Oy$ слева и справа, следовательно, $phi _ left(xright)=0$, $phi _ left(xright)=7$. Окончательно $S=int limits _^dxcdot int limits _^sqrt<1+left(frac right)^ +left(frac right)^ > cdot dy $.

Таким образом, для нахождения площади нужно вычислить интеграл

[S=int limits _^dx int limits _^sqrt cdot dy =int limits _^dx int limits _^sqrt cdot dy .]

  • Находим внутренний интеграл: [I=int limits _^sqrt cdot dy =fraccdot left(144cdot x+361right)^<frac> -fraccdot left(144cdot x+235right)^<frac> .]
  • Находим площадь крыши: [S=int limits _^Icdot dx =fraccdot int limits _^left(144cdot x+361right)^<frac> cdot dx -fraccdot int limits _^left(144cdot x+235right)^<frac> cdot dx ;] [I_ =int limits _^left(144cdot x+361right)^<frac> cdot dx =left[fraccdot frac<left(144cdot x+361right)^<frac> ><frac> right]_^ approx 99845,86;] [I_ =int limits _^left(144cdot x+235right)^<frac> cdot dx =left[fraccdot frac<left(144cdot x+235right)^<frac> ><frac> right]_^ approx 75938,31;]

    окончательно $S=frac cdot left(99845,86-75938,31right)approx 885,46$ кв.ед.

    Видео:Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

    Двойной интеграл в полярных координатах

    Двойной интеграл площадь окружности

    Видео:Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интеграловСкачать

    Математический анализ, 41 урок, Вычисление двойных интегралов

    Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры

    Видео:Найдем площадь и центр тяжести через двойной интегралСкачать

    Найдем площадь и центр тяжести через двойной интеграл

    Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

    Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ :

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Что представляет собой элемент площади dxdy , выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const . Рассмотрим один частичный участок (заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы φ и φ + и линии окружности с радиусом r и r + dr . Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны dr и длиной основания rdφ . Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:

    а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ , а внутренний — по радиусу r .

    Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D .

    Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

    Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

    Пределы интегрирования в повторных интегралах

    При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.

    Случай первый

    Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D , область ограничена линией r = r(φ) .

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Случай второй

    Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , но не является угловой точкой.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной осью угол α . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Случай третий

    Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , и является угловой точкой.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Случай четвёртый

    Полюс O находится вне области интегрирования D .

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β , а область D ограничивают линии r = r 1 (φ) и r = r 2 (φ) . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — r 1 (φ) и r 2 (φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Видео:Площадь круга через интегралСкачать

    Площадь круга через интеграл

    Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры

    Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла,

    где область D ограничена линиями Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Данные в условии линии, ограничивающие D , приводим к полярным координатам:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга, каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Пример 2. В повторном интеграле

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    перейти к полярной системе координат.

    Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x² , а сверху — прямой y = 1 . Область интегирования изображена на следующем чертеже.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части. Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1 , в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и параболы: (1; 1) и (−1; 1) . В первой точке полярный угол составляет Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, во второй точке он составляет Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла. Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, во второй области — от 0 до Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, в третьей области — от Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграладо π .

    Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1 : Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаили Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла. Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла,

    где область D ограничена линией окружности Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Решение. Строим на чертеже область интегрирования.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a . В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Линия окружности Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралакасается оси Oy , поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграладо Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла. Подставим Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралав уравнение окружности и получим

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ , и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла,

    где область D ограничена линиями Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    Строим на чертеже область интегрирования.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла.

    В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:

    Видео:Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатамСкачать

    Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

    Двойной интеграл с примерами решения и образцами выполнения

    Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

    Пусть в замкнутой обласВычисление площади окружности с помощью двойного интегралати D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаплощади которых обозначим через Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаа диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла(см. рис. 214).

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    В каждой области Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралавыберем произвольную точку Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаумножим значение Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралафункции в этой точке на Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи составим сумму всех таких произведений:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.

    Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаЕсли этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; Dобласть интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.

    Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

    Теорема:

    Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

    Замечания:

    1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
    2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграларавенство (53.2) можно записать в виде

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Видео:Двойной интеграл в полярных координатах. Нахождение площади с помощью двойного интегралаСкачать

    Двойной интеграл в полярных координатах. Нахождение площади с помощью двойного интеграла

    Геометрический и физический смысл двойного интеграла

    Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

    Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностьюВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, площади которых равны A Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаРассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралачерез Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, получим

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи высотой Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаОбъем этого цилиндра приближенно равен объему Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралацилиндрического столбика, т. е. Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаТогда получаем:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграланеограниченно увеличивается Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаа каждая площадка стягивается в точку Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаза объем V цилиндрического тела, т. е.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    или, согласно равенству (53.2),

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

    Масса плоской пластинки

    Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаесть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаплощади которых обозначим через Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла. В каждой области Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралавозьмем произвольную точку Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи вычислим плотность в ней: Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграламало отличается от значения Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаСчитая приближенно плотность в каждой точке области Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралапостоянной, равной Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, можно найти ее массу Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаТак как масса m всей пластинки D равна Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаДля ее вычисления имеем приближенное равенство

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    или, согласно равенству (53.2),

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Итак, двойной интеграл от функции Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралачисленно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграласчитать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

    Видео:Математика без ху!ни. Двойной интеграл, вычисление двумя способами.Скачать

    Математика без ху!ни. Двойной интеграл, вычисление двумя способами.

    Основные свойства двойного интеграла

    Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    3.Если область D разбить линией на две области Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралатакие, что Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаа пересечение Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграласостоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    4.Если в области D имеет место неравенство Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралато и Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаЕсли в области D функции f(x;y) и Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаудовлетворяют неравенству Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралато и

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла— соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

    7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точкаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, что Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВеличину

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    называют средним значением функции f(x; у) в области D.

    Видео:Математический анализ, 43 урок, Приложения двойных интеграловСкачать

    Математический анализ, 43 урок, Приложения двойных интегралов

    Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

    Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

    Пусть требуется вычислить двойной интеграл Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралагде функция Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграланепрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

    Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривымиВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла, причем функции Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграланепрерывны и таковы, что Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграладля всех Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла(см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

    Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралапо области D. Следовательно,

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Это равенство обычно записывается в виде

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграланазывается внутренним интегралом.

    Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

    Если же область D ограничена прямыми Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралакривыми

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    для всех Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралат. е. область Dправильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

    Замечания:

    1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когдаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла
    2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
    3. Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении осиОх или оси Оу.
    4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

    Пример:

    Вычислить Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралагде область D ограничена линиями уВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Решение:

    На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла. Получаем:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Ответ, разумеется, один и тот же.

    Видео:Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть2.Скачать

    Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть2.

    Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

    Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

    Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

    Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    В качестве инь возьмем полярные координаты Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаОни связаны с декартовыми координатами формулами Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла(см. п. 9.1).

    Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

    Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

    область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи кривыми Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралагде Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралат. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Внутренний интеграл берется при постоянном Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Замечания:

    1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаобласть Dесть круг, кольцо или часть таковых.
    2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралауравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла(исследуя закон изменения Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаточки Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралапри ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

    Пример:

    Вычислить Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралагде область D — круг Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаЗаметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Видео:Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способаСкачать

    Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способа

    Приложения двойного интеграла

    Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

    Объем тела

    Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

    Площадь плоской фигуры

    Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    или, в полярных координатах,

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Масса плоской фигуры

    Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграланаходится по формуле

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

    Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    а координаты центра масс фигуры по формулам

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Моменты инерции плоской фигуры

    Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаМоменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Замечание:

    Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

    Пример:

    Найти объем тела, ограниченного поверхностями

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    находим уравнение линии их пересечения:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаИспользуя формулу (53.4), имеем

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Переходя к полярным координатам, находим:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Пример:

    Найти массу, статические моменты Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаи координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла— коэффициент пропорциональности.

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Находим статические моменты пластинки:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Видео:Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать

    Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интеграл

    Двойной интеграл

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Решение заданий и задач по предметам:

    Дополнительные лекции по высшей математике:

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла Вычисление площади окружности с помощью двойного интегралаВычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Образовательный сайт для студентов и школьников

    Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

    © Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

    Видео:Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.Скачать

    Вычисление двойного  интеграла в декартовой системе координат.

    Двойной интеграл площадь окружности

    Если (fleft( right) = 1) в интеграле (iintlimits_R right)dxdy>,) то двойной интеграл равен площади области интегрирования (R.)

    Площадь области типа (I) (элементарной относительно оси (Oy)) (рисунок (1)) выражается через повторный интеграл в виде [A = intlimits_a^b ^ > .] Аналогично, площадь области типа (II) (элементарной относительно оси (Ox)) (рисунок (2)) описывается формулой [A = intlimits_c^d > .]

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Вычисление площади окружности с помощью двойного интеграла

    Предположим, что поверхность задана функцией (z = gleft( right),) имеющей область определения (R.) Тогда площадь такой поверхности над областью (R) определяется формулой [S = iintlimits_R > >> right)>^2> + > >> right)>^2>> dxdy> ] при условии, что частные производные ( > >normalsize>) и ( > >normalsize>) непрерывны всюду в области (R.)

    💡 Видео

    Вычисление двойного интеграла | Лекция 4.1 | ИнтФНПСкачать

    Вычисление двойного интеграла | Лекция 4.1 | ИнтФНП

    Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.Скачать

    Вычисление двойного  интеграла в полярной системе координат.
  • Поделиться или сохранить к себе: