Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с
рис. 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

ax=ay.
bxby
Вектора a и b коллинеарны т.к.1=2.
48
Вектора a и с не коллинеарны т.к.12.
59
Вектора с и b не коллинеарны т.к.59.
48

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то

n =by=6= 2
ay3

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax=ay.
bxby
3=2.
9n

Решим это уравнение:

n =2 · 9= 6
3

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

ax=ay=az.
bxbybz

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то

n =by=6= 2
ay3

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax=ay=az.
bxbybz
3=2=m
9n12

Из этого соотношения получим два уравнения:

3=2
9n
3=m
912

Решим эти уравнения:

n =2 · 9= 6
3
m =3 · 12= 4
9

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Условие коллинеарности векторов

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .

По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

  1. ​​​Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
  2. Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z

Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1

Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.

Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

Решение

Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7

тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .

Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.

Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .

Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .

Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )

04.07. Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость векторов

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Пусть даны три силы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, лежащие в одной плоскости. Можно ли любую из них выразить через две другие? Эта задача очень часто встречается в физике. Если Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сне лежат на одной прямой (рис. 3.15, а), то сила Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сможет быть представлена через Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, и Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор спо правилу параллелограмма:

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Рис. 3.15. Различные случаи расположения сил.

Если же Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слежат на одной прямой, то эту задачу решить не удастся (рис. 3.15, б). Решение задачи окажется невозможным и в том случае, когда сила Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор снаходится вне плоскости, которую образуют силы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, если они не лежат на одной прямой (рис. 3.15, в). Чтобы понять, почему это происходит, перейдем от геометрической иллюстрации этой задачи к ее строгому математическому анализу, основанному на понятии линейной зависимости векторов и исследовании свойств таких систем векторов.

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Где Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с– векторы, а Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с– скаляры, называется ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВЕКТОРОВ. Его смысл состоит в том, что над системой векторов производятся линейные операции, введенные выше, в результате выполнения которых получается некоторый новый вектор, возможно даже нулевой, если, например, все множители Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. А если не все Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сравны нулю, может ли их линейная комбинация обратиться в нуль? Оказывается, что условия, определяющие эту возможность, разделяют векторы на две принципиально различные группы.

Система векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, среди которых есть ненулевые, называется ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация обращается в нулевой вектор при условии, что Не все скалярные множители Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сравны нулю, то есть

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Система векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сназывается ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация обращается в нулевой вектор только при условии, что Все скалярные множители Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сравны нулю, т. е.

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Очевидно, если в системе векторов есть нулевой вектор, то она линейно зависима. Для доказательства этого факта достаточно в равенстве

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Взять все коэффициенты Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сравными нулю, за исключением одного – стоящего перед нулевым вектором (он может принимать любое отличное от нуля значение). Это и будет означать линейную зависимость данной системы векторов.

Если система из n векторов включает в себя m Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слинейно зависимых, то она линейно зависима. Действительно, пусть первые m векторов линейно зависимы. Тогда в равенстве

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Хотя бы один из скалярных коэффициентов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сотличен от нуля. Записав формально равенство

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Где не все Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сравны нулю, получим, что система векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слинейно зависима.

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Рис. 3.16. Коллинеарные
Векторы.

Как геометрически представить себе линейно зависимые и линейно независимые векторы? Введем для этого два определения.

Векторы называются КОЛЛИНЕАРНЫМИ (рис. 3.16), если они лежат на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Приведя эти векторы к общему началу, получим, что они располагаются на одной прямой.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях, называются КОМПЛАНАРНЫМИ (рис. 3.17). Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных векторов.

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Рис. 3.17. Компланарные векторы.

Если привести их к общему началу, то они окажутся расположенными в одной плоскости.

Из этих определений следует, что коллинеарность векторов можно рассматривать для системы, состоящей из двух или более векторов, а компланарность – для трех и более векторов.

Действительно, когда число векторов более одного, их приведение к одной прямой осуществимо не всегда. Для коллинеарных векторов этого удается добиться.

Термин «коллинеарность» характеризует взаимное расположение векторов, поэтому коллинеарность одного вектора лишена смысла.

Будут ли коллинеарные векторы компланарны? Будут ли компланарные векторы коллинеарны?

Аналогично, два вектора путем свободного переноса всегда можно расположить в одной плоскости. Поэтому они всегда компланарны. Этого может не быть, если число векторов больше двух. Если же векторы компланарны, то их всегда можно привести в одну плоскость.

Оказывается, коллинеарность и компланарность векторов неразрывно связаны с их линейной зависимостью. Мы докажем сейчас теоремы, которые соединяют эти понятия и служат предпосылками для введения центрального понятия всей математики – СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

ТЕОРЕМА 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Слова «тогда и только тогда», как известно, означают, что имеет место прямая и обратная теоремы. Сформулируем их и докажем.

Необходимость. Если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слинейно зависимы. Тогда в равенстве

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Хотя бы один из скалярных множителей Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сили Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сотличен от нуля. Пусть для определенности Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. Тогда

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Где Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, что означает коллинеарность векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с.

Достаточность. Если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сколлинеарны. Тогда, очевидно, они связаны соотношением

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Это означает, что линейная комбинация векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор собращается в нулевой вектор, причем скалярный множитель при векторе Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сне равен нулю, то есть система векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слинейно зависима.

Наряду с доказанной теоремой, могут быть сформулированы еще две, являющиеся ее следствиями.

Сформулируйте эти утверждения с помощью предикатов.

Следствие 1. Если два вектора не являются линейно зависимыми, то они не будут коллинеарны.

Следствие 2. Если два вектора не являются коллинеарными, то они не будут линейно зависимы.

ТЕОРЕМА 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Необходимость. Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Рис. 3.18. Связь
между линейной
зависимостью
и компланарностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слинейно зависимы (рис. 3.18). Тогда в равенстве

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Хотя бы один из скалярных множителей Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сили Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сотличен от нуля. Пусть для определенности Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. Тогда

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

То есть вектор Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с– диагональ параллелограмма, построенного на векторах Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор скак на сторонах (по правилу сложения векторов). Но векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, а также Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сИ Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор спопарно коллинеарны. Следовательно, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слежат в плоскости этого же параллелограмма, то есть Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с– компланарны.

В случае коллинеарности векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор скомпланарность Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сочевидна.

Достаточность. Если три вектора компланарны, то они линейно зависимы.

Рис. 3.19. Связь между компланарностью и линейной зависимостью векторов.

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор скомпланарны (рис. 3.19), то есть они лежат в одной плоскости и хотя бы два из них, например, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, неколлинеарны. После приведения системы векторов к общему началу вектор Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сможно разложить по направлениям неколлинеарных векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, то есть представить его в виде суммы векторов, лежащих на прямых, задаваемых векторами Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с:

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Но Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, поэтому

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сили Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с.

Поскольку имеется хотя бы один скалярный множитель, отличный от нуля, то Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слинейно зависимы.

Могут ли быть среди трех некомпланарных векторов два коллинеарных?

Следствие 1. Если три вектора не являются линейно зависимыми, то они не будут компланарны.

Следствие 2. Если три вектора не являются компланарными, то они не будут линейно зависимы.

ТЕОРЕМА 3. Всякий вектор может быть единственным образом разложен по трем некомпланарным векторам.

Теорема означает, что если векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор снекомпланарны и вектор Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор спроизволен, то существует единственное представление

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Приведем векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор ск общему началу (рис. 3.20). Пусть точка L – конец вектора Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, а точка М – определяет пересечение вспомогательной прямой LM, параллельной вектору Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, с плоскостью векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. Рассмотрим вспомогательные отрезки Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. Тогда, по правилу сложения векторов,

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Рис. 3.20. Разложение вектора по трем
некомпланарным
направлениям.

Но векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сколлинеарны, поэтому

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. (3.1)

Покажем, что это разложение единственно. Предположим противное, что существует другое представление Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор счерез векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сИ Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с:

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с(3.2)

И хотя бы один из коэффициентов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сне равен соответствующему коэффициенту Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. Пусть для определенности Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с. Тогда, вычитая из (3.1) равенство (3.2), получим:

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Полученное соотношение означает, что линейная комбинация векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сравна нулевому вектору, но скалярный коэффициент Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор спри векторе Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сотличен от нуля, то есть векторы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слинейно зависимы, а потому компланарны, что противоречит условию теоремы. Следовательно, предположение о справедливости равенства (3.2) наряду с равенством (3.1), неверно, то есть разложение (3.1) единственно.

Следствие. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Действительно, если Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор снекомпланарны, то из равенства (3.1) следует:

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Скалярный коэффициент при векторе Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сне равен нулю. Следовательно, четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Если же какие-то три из векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор скомпланарны, то они будут линейно зависимы, а значит приведут к линейной зависимости всю систему векторов.

Если какие-то два из четырех векторов коллинеарны, то это означает их линейную зависимость и, следовательно, линейную зависимость всех четырех векторов.

Таким образом, любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Вернемся теперь к задачам, поставленным в начале параграфа. Если силы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор слежат на одной прямой и силу Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор снеобходимо выразить через эти векторы, то ясно, что подобная задача неразрешима, так как всякая линейная комбинация сил Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сесть некоторый вектор

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с

Лежащий на этой прямой и неколлинеарный вектору Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с.

Если две из трех сил коллинеарны, то их можно параллельным переносом привести в одну плоскость, а значит они линейно зависимы. В их линейной комбинации, приравненной к нулю, есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля, что позволяет выразить одну силу через две другие. Если же силы Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор спредставляют собой неколлинеарные друг другу векторы, то, располагаясь в одной плоскости, они образуют линейно зависимую систему векторов, что обеспечивает возможность выразить одну из них через две другие.

Если векторы линейно зависимы, то всякий ли вектор можно выразить через остальные?

Когда одна из сил, например Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, лежит вне плоскости, образуемой силами Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор си Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, то система векторов Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с, Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор сстановится некомпланарна, а значит, линейно независимой, поэтому между ними возможно лишь соотношение:

Если векторы а и в не коллинеарны то любой вектор с0.

Поделиться или сохранить к себе: