Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Признаки параллелограмма
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАВС и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАDС: АС — общая, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство1 =Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство3 (т.к. по условию АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВС, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство1 и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАВС =Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАВ = DC и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство2 = Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство4. Но Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство2 и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАВЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство.

3. Итак, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВС и АВЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствочетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАВС и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАВС =Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство1 = Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство2, при этом Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство1 и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствопо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВС, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствопо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

1. Рассмотрим Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАОD и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАОD и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВОС (как вертикальные углы), Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАОD =Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоАD = ВC и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство1 = Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство2.

2. Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство1 и Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство1 = Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство2, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствопо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствоВС, Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательствопо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны

Если стороны четырехугольника параллельны и равны

Теорема (2-й признак параллелограмма).

Если две стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник,

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

1. Проведем диагональ AC.

2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA (важно правильно назвать треугольники!)

1) AD=BC (по условию)

2) сторона AC — общая

3)∠CAD=∠ACB (как внутренние накрест лежащие углы при AD ∥ BC и секущей AC)

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ACD=∠CAB.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то эти прямые параллельны:

4. В четырехугольнике ABCD:

1) AD ∥ BC (по условию)

2) AB ∥ CD (по доказанному).

Следовательно, ABCD — параллелограмм (по определению).

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равны

Параллелограмм: свойства и признаки

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

О чем эта статья:

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если в четырехугольнике две стороны равны то этот четырехугольник параллелограмм доказательство

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

📸 Видео

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Признак параллелограмма (второй), 8 классСкачать

Признак параллелограмма (второй), 8 класс

ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?

Второй признак параллелограмма (доказательство).Скачать

Второй признак параллелограмма (доказательство).

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Признак параллелограмма (первый), 8 классСкачать

Признак параллелограмма (первый), 8 класс

Геометрия. 8 класс. Признаки параллелограммаСкачать

Геометрия. 8 класс. Признаки параллелограмма

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Доказательство второго признака параллелограммаСкачать

Доказательство второго признака параллелограмма

Задание 25 Признак параллелограммаСкачать

Задание 25  Признак параллелограмма

Первый признак параллелограмма (доказательство).Скачать

Первый признак параллелограмма (доказательство).
Поделиться или сохранить к себе: