Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Параллелограмм: свойства и признаки

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

О чем эта статья:

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равны

Признаки параллелограмма

1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАВС и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАDС: АС — общая, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм1 =Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм3 (т.к. по условию АDЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВС, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм1 и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАВС =Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАВ = DC и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм2 = Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм4. Но Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм2 и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАВЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм.

3. Итак, АDЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВС и АВЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммчетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАВС и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАВС =Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм1 = Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм2, при этом Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм1 и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВС, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

1. Рассмотрим Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАОD и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАОD и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВОС (как вертикальные углы), Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАОD =Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммАD = ВC и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм1 = Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм2.

2. Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм1 и Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм1 = Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм2, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммВС, Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны

Признаки прямоугольника

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 206.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 206.

В этой статье мы поговорим о признаках прямоугольника. Выделим основные и рассмотри каждый в отдельности.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Определения

Основная часть доказательств основывается на том, что в четырехугольнике сумма углов равна 360 градусам.

Всего насчитывается 7 признаков прямоугольника. Для того, чтобы их применять нужно, прежде всего, вспомнить определения:

Прямоугольник это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, у которого все стороны попарно равны и параллельны.

Для того, чтобы определить выпуклый четырехугольник или нет нужно последовательно проводить через каждую из сторон фигуры линию. Если в каждом из 4 случаев (поскольку сторон 4) вся фигура будет оставаться по одну сторону от линии, то четырехугольник выпуклый.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки

Перед нами параллелограмм. Как доказать, что он является прямоугольником? Воспользоваться одним из признаков:

  • Параллелограмм является прямоугольником, если один из углов – прямой.

В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, если один из углов – прямой, то противоположный ему угол так же прямой, а два оставшихся равны между собой. Сумма всех углов четырехугольника 360 градусов.

Два угла прямые, значит остается 360-90*2=180. Эта сумма двух равных углов, значит, каждый из оставшихся углов прямой: 180/2=90. Если все углы параллелограмма прямые, то это прямоугольник.

Этот признак работает только для параллелограммов. В случае с четырехугольниками прямой угол может быть и у прямоугольной трапеции.

Для того, чтобы вокруг четырехугольника описать окружность, необходимо, чтобы противоположные углы в сумме давали 180 градусов. Противоположные углы в параллелограмме равны, значит 180/2=90 градусов составляет каждый угол. Значит это прямоугольник.

Это существенные признаки прямоугольников. Существуют так же дополнительные, которые сводятся к уже перечисленным. И главное, помните, что в математике важны определения. Признаки прямоугольного прямоугольника – неправильная формулировка. Прямоугольник всегда был, есть и будет прямоугольным.

Если в четырехугольнике 2 угла прямые то это параллелограмм

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Что мы узнали?

Мы разобрались как можно доказать, что параллелограмм или четырехугольник является параллелограммом, вспомнили некоторые определения и ознакомились с ведущим методом определения прямоугольника – по углам.

🎬 Видео

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

ТОП-5 ошибок в геометрии | МатематикаСкачать

ТОП-5 ошибок в геометрии | Математика

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Второй признак параллелограмма (доказательство).Скачать

Второй признак параллелограмма (доказательство).

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

ОГЭ за одну минуту. Математика, задание 17 (параллелограмм).Скачать

ОГЭ за одну минуту. Математика, задание 17 (параллелограмм).

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!
Поделиться или сохранить к себе: