При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать
Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой
Рисунок | Определение углов |
Внутренние накрест лежащие углы | |
Внешние накрест лежащие углы | |
Соответственные углы | |
Внутренние односторонние углы | |
Внешние односторонние углы | |
Внутренние накрест лежащие углы |
Внешние накрест лежащие углы |
Соответственные углы |
Внутренние односторонние углы |
Внешние односторонние углы |
Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.
Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
Признаки параллельности двух прямых
Рисунок | Признак параллельности |
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внутренние накрест лежащие углы равны | |
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внешние накрест лежащие углы равны | |
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы равны | |
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180° | |
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180° | |
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
Рисунок | Признак параллельности |
Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны |
Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
Переход свойства параллельности прямых
Рисунок | Признак параллельности |
Если прямая a параллельна прямой b , а прямая b параллельна прямой c , то прямая a параллельна прямой c |
Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c
Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.
Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Внутренние односторонние углы
Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.
Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).
При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.
∠1 и ∠2
∠3 и ∠4
— внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.
Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.
Свойство параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.
Если a ∥ b, то
∠1 + ∠2 = 180º
(как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).
Признак параллельных прямых
Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.
∠3 + ∠4 =180º
А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,
то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).
Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?
Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.
∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c
∠1 = ∠2
тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.
Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать
Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства
Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать
Углы по определению
Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.
Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.
Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.
Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
Доказательство теоремы
Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.
Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.
Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.
Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.
Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.
Видео:УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать
Следствие из свойства прямых
На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:
- Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.
- Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.
- Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.
- После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.
- Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.
Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.
Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
Построение параллелограмма
Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.
Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.
Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:
- По построению AB=BD=AD.
- Следовательно, AB=CD.
- Точки C и D равноудалены от A и B.
- Отрезки AB и CD параллельны.
- Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.
Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.
Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.
🎦 Видео
Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Задачи на признаки параллельности прямых. Часть 1. Как кратко и грамотно оформить завершение задачи.Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать
Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать
Параллельность прямых. 10 класс.Скачать
Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 КлассСкачать
№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать
Вариант 12, № 1. Внутренние односторонние углы. Пример 1Скачать
№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать
7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать
№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать