Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Содержание
  1. Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых
  2. Параллельные прямые: основные сведения
  3. Параллельность прямых: признаки и условия параллельности
  4. Параллельность прямых в прямоугольной системе координат
  5. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых
  6. Признаки параллельности прямых
  7. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  8. Определения параллельных прямых
  9. Признаки параллельности двух прямых
  10. Аксиома параллельных прямых
  11. Обратные теоремы
  12. Пример №1
  13. Параллельность прямых на плоскости
  14. Две прямые, перпендикулярные третьей
  15. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  16. Признаки параллельности прямых
  17. Пример №2
  18. Пример №3
  19. Пример №4
  20. Аксиома параллельных прямых
  21. Пример №5
  22. Пример №6
  23. Свойства параллельных прямых
  24. Пример №7
  25. Пример №8
  26. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  27. Расстояние между параллельными прямыми
  28. Пример №9
  29. Пример №10
  30. Справочный материал по параллельным прямым
  31. Перпендикулярные и параллельные прямые
  32. 🔥 Видео

Видео:№93. Прямые а и b параллельны. Через точку М прямой a проведена прямая MN, отличная от прямой а и неСкачать

№93. Прямые а и b параллельны. Через точку М прямой a проведена прямая MN, отличная от прямой а и не

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые: основные сведения

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 — 11 классов).

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 — 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = ( n b x , n b y ) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

  1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b — A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( А 1 , В 1 ) и ( А 2 , В 2 ) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

  1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b — y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 — 1 = t · ( — 1 ) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

  1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x — x 1 a x = y — y 1 a y и x — x 2 b x = y — y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Заданы две прямые: 2 x — 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y — 1 = 0

Мы видим, что n a → = ( 2 , — 3 ) — нормальный вектор прямой 2 x — 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 — нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y — 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y — 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y — 4 2 ⇔ 1 · ( y — 4 ) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, ( 0 , 1 ) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y — 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = ( 2 , — 1 ) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = ( 1 , 2 ) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Заданы прямые x 1 = y — 2 0 = z + 1 — 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = — 3 — 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: ( 1 , 0 , — 3 ) и ( 2 , 0 , — 6 ) .

1 = t · 2 0 = t · 0 — 3 = t · — 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Если прямые а и б параллельны то это записывают так
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Если прямые а и б параллельны то это записывают так(Рис.8).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Докажем, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Если прямые а и б параллельны то это записывают такозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Если прямые а и б параллельны то это записывают так(Рис.11).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Тогда из Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такследует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Если прямые а и б параллельны то это записывают так(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Из Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такследует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Если прямые а и б параллельны то это записывают так). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают такимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так, но не принадлежит прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Говорят, что прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают такпересекаются в точке М.
Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Это можно записать так: Если прямые а и б параллельны то это записывают так— знак принадлежности точки прямой, «Если прямые а и б параллельны то это записывают так» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают такпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают такперпендикулярны (рис. 12), то пишут Если прямые а и б параллельны то это записывают так

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такb.
  2. Если Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 90°, то а Если прямые а и б параллельны то это записывают такАВ и b Если прямые а и б параллельны то это записывают такАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такb.
  3. Если Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2Если прямые а и б параллельны то это записывают так90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Если прямые а и б параллельны то это записывают такa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Если прямые а и б параллельны то это записывают такОFА = Если прямые а и б параллельны то это записывают такОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2). Из равенства этих треугольников следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают такЗ = Если прямые а и б параллельны то это записывают так4 и Если прямые а и б параллельны то это записывают так5 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так6.
  6. Так как Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Если прямые а и б параллельны то это записывают так5 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так6 следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так6 = 90°. Получаем, что а Если прямые а и б параллельны то это записывают такFF1 и b Если прямые а и б параллельны то это записывают такFF1, а аЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так
2) Заметим, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 и Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Если прямые а и б параллельны то это записывают такAOF = Если прямые а и б параллельны то это записывают такABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 + Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 + Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Если прямые а и б параллельны то это записывают такl + Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180° и Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 + Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180° следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Если прямые а и б параллельны то это записывают такa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают такF и Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = Если прямые а и б параллельны то это записывают такF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Если прямые а и б параллельны то это записывают такb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 = Если прямые а и б параллельны то это записывают такB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3. Кроме того, Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 и Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают так4 = Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAF. Действительно, Если прямые а и б параллельны то это записывают так4 и Если прямые а и б параллельны то это записывают такFAC равны как соответственные углы, a Если прямые а и б параллельны то это записывают такFAC = Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 + Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180° (рис. 97, а).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 + Если прямые а и б параллельны то это записывают так3= 180°.

4) Из равенств Если прямые а и б параллельны то это записывают так= Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 и Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 + Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 = 180° следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 + Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAF + Если прямые а и б параллельны то это записывают такTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сЕсли прямые а и б параллельны то это записывают така (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Так как Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = 90°, то и Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = 90°, а, значит, сЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такпараллельны, то есть Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так Если прямые а и б параллельны то это записывают так(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Если прямые а и б параллельны то это записывают так, лучи АВ и КМ.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, то Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так Если прямые а и б параллельны то это записывают так(рис. 161).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Если прямые а и б параллельны то это записывают так(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Если прямые а и б параллельны то это записывают так, перпендикулярную прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают таки строят другую перпендикулярную прямую Если прямые а и б параллельны то это записывают так, затем — третью прямую Если прямые а и б параллельны то это записывают таки т. д. Поскольку прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают такперпендикулярны одной прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так, то из указанной теоремы следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так, параллельной прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают таки проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, то Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают тактретьей прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так5,Если прямые а и б параллельны то это записывают так4 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так8,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так6,Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так7,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так5,Если прямые а и б параллельны то это записывают так4 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так8 — соответственные углы;
  • Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так6,Если прямые а и б параллельны то это записывают так4 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так5 — внутренние односторонние углы;
  • Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так7,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так— данные прямые, АВ — секущая, Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 (рис. 166).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказать: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Если прямые а и б параллельны то это записывают таки продлим его до пересечения с прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 по условию, Если прямые а и б параллельны то это записывают такBMK =Если прямые а и б параллельны то это записывают такAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают такANM =Если прямые а и б параллельны то это записывают такBKM = 90°. Тогда прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 (рис. 167).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказать: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают таки секущей Если прямые а и б параллельны то это записывают так. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают такl +Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180° (рис. 168).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказать: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают таки секущей Если прямые а и б параллельны то это записывают так. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Если прямые а и б параллельны то это записывают такAOB = Если прямые а и б параллельны то это записывают такDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAO=Если прямые а и б параллельны то это записывают такCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAK = 26°, Если прямые а и б параллельны то это записывают такADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAC = 2 •Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Если прямые а и б параллельны то это записывают такADK +Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Если прямые а и б параллельны то это записывают так1=Если прямые а и б параллельны то это записывают так2. Так как Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают таки секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Если прямые а и б параллельны то это записывают так||Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Реальная геометрия

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Если прямые а и б параллельны то это записывают такпроходит через точку М и параллельна прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают так||Если прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так(рис. 187).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказать: Если прямые а и б параллельны то это записывают так||Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Доказательство:

Предположим, что прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так, параллельные третьей прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Если прямые а и б параллельны то это записывают так||Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2,Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так4. Доказать, что Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают такпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Так как Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так, то Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают такпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Если прямые а и б параллельны то это записывают так, которая параллельна прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так, которые параллельны прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так, АВ — секущая,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказать: Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2.

Доказательство:

Предположим, чтоЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так1 Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают такпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так, параллельные прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают так— секущая,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так2 — соответственные (рис. 196).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказать:Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так, Если прямые а и б параллельны то это записывают так— секущая,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 иЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказать:Если прямые а и б параллельны то это записывают такl +Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 +Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 = 180°. По свойству параллельных прямыхЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такl =Если прямые а и б параллельны то это записывают так3 как накрест лежащие. Следовательно,Если прямые а и б параллельны то это записывают такl +Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, т. е.Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 = 90°. Согласно следствию Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, т. е.Если прямые а и б параллельны то это записывают так2 = 90°.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают такАОВ =Если прямые а и б параллельны то это записывают такDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Если прямые а и б параллельны то это записывают такABD =Если прямые а и б параллельны то это записывают такCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Если прямые а и б параллельны то это записывают такADB =Если прямые а и б параллельны то это записывают такCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такпараллельны, то пишут: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так(рис. 211).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так2 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так3. Значит,Если прямые а и б параллельны то это записывают так1 =Если прямые а и б параллельны то это записывают так2.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают таки АВЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, то расстояние между прямыми Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так, А Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, С Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, АВЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так, CDЕсли прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают таки секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Если прямые а и б параллельны то это записывают такCAD =Если прямые а и б параллельны то это записывают такBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такравны (см. рис. 285). Прямая Если прямые а и б параллельны то это записывают так, проходящая через точку А параллельно прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так, которая параллельна прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такбудет перпендикуляром и к прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Если прямые а и б параллельны то это записывают такADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAD +Если прямые а и б параллельны то это записывают такADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают такBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Если прямые а и б параллельны то это записывают такАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Если прямые а и б параллельны то это записывают так, параллельную прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Тогда Если прямые а и б параллельны то это записывают так|| Если прямые а и б параллельны то это записывают так. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такравноудалены от прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такна расстояние Если прямые а и б параллельны то это записывают такАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так, то есть расстояние от точки М до прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такравно Если прямые а и б параллельны то это записывают такАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Но через точку К проходит единственная прямая Если прямые а и б параллельны то это записывают так, параллельная Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Значит, точка М принадлежит прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так.

Таким образом, все точки прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают такравноудалены от прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Если прямые а и б параллельны то это записывают так. Прямая Если прямые а и б параллельны то это записывают так, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Если прямые а и б параллельны то это записывают такЕсли прямые а и б параллельны то это записывают так

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают так— параллельны.

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Если прямые а и б параллельны то это записывают таки Если прямые а и б параллельны то это записывают такесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Если прямые а и б параллельны то это записывают так

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

решение задач на параллельность прямыхСкачать

решение задач на параллельность прямых

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Параллельные прямые - геометрия 7 классСкачать

Параллельные прямые - геометрия 7 класс

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Признаки параллельности двух прямых | Геометрия 7-9 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Признаки параллельности двух прямых  | Геометрия 7-9 класс #26 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: