Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Признак параллельности прямой и плоскости

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

ФигураРисунокФормулировка
Прямая лежит на плоскости (принадлежит плоскости)Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны
Прямая пересекает плоскостьЕсли прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны
Прямая параллельна плоскостиЕсли прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:

Прямая лежит на плоскости (принадлежит плоскости)
Прямая пересекает плоскость
Прямая параллельна плоскости
Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельныРис.1Рис.2

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны
Рис.1
Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны
Рис.2

Доказательство . Рассмотрим случай 2 и предположим противное. Предположим, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке P (рис.3) .

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости «от противного». Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b (рис. 4).

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Параллельность прямых и плоскостей

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельные прямые

Параллельные прямые – прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Признак параллельности прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямая и плоскость

Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Свойство прямой, параллельной данной плоскости

Если плоскость β проходит через прямую a , параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой b , то b || a .

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Параллельные плоскости

Параллельные плоскости – плоскости, которые не пересекаются.

Признаки параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой.Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельныЕсли прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельныЕсли прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельныЕсли прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

10 класс

Материалы к зачетной работе по теме
«Основные понятия и аксиомы стереометрии.
Параллельность прямых и плоскостей»

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Аксиомы стереометрии и их следствия

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Аксиома 2.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Аксиома 3.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Некоторые следствия из аксиом

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Теорема 2.
Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Теорема о трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если ac и bc, то ab).

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости


Теорема.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Теорема.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Взаимное расположение прямых в пространстве

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Пересекающиеся прямые:
лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.

Параллельные прямые:
лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Скрещивающиеся прямые:
не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельныЕсли прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельныЕсли прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Признак параллельности двух плоскостей

Теорема.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.
Если аа1 и bb1, то α∥β.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Свойства параллельных плоскостей

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Вели α∥β и они пересекаются с γ, то аb.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Если прямая и плоскость имеют две общие точки то они пересекаются параллельны

Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

📺 Видео

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теорияСкачать

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теория

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

10 класс, 2 урок, Аксиомы стереометрииСкачать

10 класс, 2 урок, Аксиомы стереометрии

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

6. Параллельность прямой и плоскостиСкачать

6. Параллельность прямой и плоскости

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

Построение точки пересечения прямой и плоскости | Стереометрия #29 | ИнфоурокСкачать

Построение точки пересечения прямой и плоскости | Стереометрия #29 | Инфоурок

№13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точкиСкачать

№13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ 10 11 класс стереометрияСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ 10 11 класс стереометрия

Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Точка встречи прямой с плоскостью

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрияСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрия
Поделиться или сохранить к себе: