Теорема (2-й признак параллелограмма).
Если две стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Дано: ABCD — четырехугольник,
Доказать: ABCD — параллелограмм.
1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA (важно правильно назвать треугольники!)
1) AD=BC (по условию)
2) сторона AC — общая
3)∠CAD=∠ACB (как внутренние накрест лежащие углы при AD ∥ BC и секущей AC)
Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по двум сторонам и углу между ними).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ACD=∠CAB.
А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то эти прямые параллельны:
4. В четырехугольнике ABCD:
1) AD ∥ BC (по условию)
2) AB ∥ CD (по доказанному).
Следовательно, ABCD — параллелограмм (по определению).
Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать
Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения
Содержание:
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
На рисунке 66 изображена трапеция
Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать
Свойства трапеции
Рассмотрим некоторые свойства трапеции.
1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Так как то (как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично
2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.
Поскольку то Аналогично Следовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.
Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.
Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 — высота трапеции
Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция Очевидно, что является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.
Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция
Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать
Свойства равнобокой трапеции
Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.
1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Доказательство:
1) Пусть в трапеции Проведем высоты трапеции и из вершин ее тупых углов и (рис. 70). Получили прямоугольник Поэтому
2) (по катету и гипотенузе). Поэтому
3) Также Но поэтому и Следовательно,
2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство:
Рассмотрим рисунок 71. (как углы при основании равнобокой трапеции), — общая сторона треугольников и Поэтому (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,
Пример:
— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции с основаниями и (рис. 71). Докажите, что
Доказательство:
(доказано выше). Поэтому По признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный. Поэтому Поскольку и то (так как ).
Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.
Доказательство:
1) Пусть в углы при большем основании равны (рис. 70), то есть Проведем высоты и они равны.
2) Тогда (по катету и противолежащему углу). Следовательно, Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.
Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).
В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.
Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Свойство средней линии трапеции
Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Рассмотрим свойство средней линии трапеции.
Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство:
Пусть — данная трапеция, — ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что и
1) Проведем луч до его пересечения с лучом Пусть — точка их пересечения. Тогда (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей (как вертикальные), (по условию). Следовательно, (по стороне и двум прилежащим углам), откуда (как соответственные стороны равных треугольников).
2) Поскольку то — средняя линия треугольника Тогда, по свойству средней линии треугольника, а значит, Но так как то
3) Кроме того,
Пример:
Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.
Доказательство:
Пусть — средняя линия трапеции — точка пересечения и — точка пересечения и (рис. 110). Пусть Докажем, что
1) Так как и то, по теореме Фалеса, -середина — середина Поэтому — средняя линия треугольника — средняя линия треугольника
Тогда
2) — средняя линия трапеции, поэтому
3)
Пример:
В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.
Решение:
Пусть — данная трапеция, — ее средняя линия, (рис. 111).
1) Обозначим Тогда
2) (по условию). (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Поэтому Следовательно, — равнобедренный, у которого (по признаку равнобедренного треугольника). Но (по условию), значит,
3) Учитывая, что получим уравнение: откуда
4) Тогда
То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).
О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Площадь трапеции
- Центральные и вписанные углы
- Углы и расстояния в пространстве
- Подобие треугольников
- Площадь параллелограмма
- Прямоугольник и его свойства
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:СЕРЬЁЗНО готовимся к ОГЭ 2024! / Полный прогон задания 17 на ОГЭ по математикеСкачать
Признаки параллелограмма
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. |
Доказательство:
Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDВС.
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
2. Рассмотрим АВС и АDС: АС — общая, 1 =3 (т.к. по условию АDВС, 1 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), АВС =АDС (по 1 признаку равенства треугольников), АВ = DC и 2 = 4. Но 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DС секущей АС, АВDС.
3. Итак, АDВС и АВDС, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. |
Доказательство:
Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = DС, АD = ВC.
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
2. Рассмотрим АВС и АDС: АС — общая, по условию АВ = DС, АD = ВC, АВС =АDС (по 3 признаку равенства треугольников), 1 = 2, при этом 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, по признаку параллельности двух прямых АDВС.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. |
Доказательство:
Дано: АВСD — четырехугольник, АС и DВ диагонали, АС ∩ DВ = О, АО = ОС, DО = ОВ.
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Рассмотрим АОD и ВОС: по условию АО = ОС, DО = ОВ, АОD и ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.
2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
🔍 Видео
Всё о трапеции за 60 секундСкачать
ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать
8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать
8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Как доказать У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равныСкачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Задача, которую боятсяСкачать
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 классСкачать
Задача про А и ВСкачать
Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать
Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать