Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Содержание
  1. Планиметрия. Страница 2
  2. 1.Параллельность прямых
  3. 2.Признаки параллельности прямых
  4. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых
  5. 4.Сумма углов треугольника
  6. 5.Единственность перпендикуляра к прямой
  7. 6. Высота, биссектриса и медиана треугольника
  8. 7. Свойство медианы равнобедренного треугольника
  9. 8. Пример 1
  10. Пример 2
  11. Пример 3
  12. Пример 4
  13. Пример 5
  14. 150. Докажите, что если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны. Мордкович 6 класс математика ГДЗ
  15. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  16. Определения параллельных прямых
  17. Признаки параллельности двух прямых
  18. Аксиома параллельных прямых
  19. Обратные теоремы
  20. Пример №1
  21. Параллельность прямых на плоскости
  22. Две прямые, перпендикулярные третьей
  23. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  24. Признаки параллельности прямых
  25. Пример №2
  26. Пример №3
  27. Пример №4
  28. Аксиома параллельных прямых
  29. Пример №5
  30. Пример №6
  31. Свойства параллельных прямых
  32. Пример №7
  33. Пример №8
  34. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  35. Расстояние между параллельными прямыми
  36. Пример №9
  37. Пример №10
  38. Справочный материал по параллельным прямым
  39. Перпендикулярные и параллельные прямые
  40. 🔍 Видео

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Планиметрия. Страница 2

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.

1.Параллельность прямых

Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

2.Признаки параллельности прямых

Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)

Отложим равный треугольник ABC1 в другой полуплоскости с вершиной С1 так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС1. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС1 ляжет на прямую а, ВС1 — на прямую b. Тогда точка С1 принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С1 одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.

8. Пример 1

Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)

Доказательство:

Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.

Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С .

Пример 2

Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)

Доказательство:

Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d1 и d2 делят углы α и β пополам.

Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d1 и d2, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d1 и d2 лежат на параллельных прямых.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с.

Пример 3

Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.

Решение:

Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.

Отсюда следует, что можно составить соотношение:

Ответ: углы равнобедренного треугольника составляют: 100°, 40°, 40°.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.10 Задача. Найти углы треугольника.

Пример 4

Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.

Решение:

Так как сумма углов α + β + α1 + β1 = 360°, а

α1 + β1 = 240° по условию задачи, то

А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то

α + β + γ = 180°, т.е.

И следовательно, γ = 60°

Ответ: угол при вершине С = 60°.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.

Пример 5

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.

Доказательство:

Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:

α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.

Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:

λ = 180° — (α / 2 + α)

Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС .

Видео:две прямые перпендикулярные третьей неСкачать

две прямые перпендикулярные третьей не

150. Докажите, что если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны. Мордкович 6 класс математика ГДЗ

150. Докажите, что если две прямые перпендикулярны третьей пря-
мой, то эти прямые параллельны.

доказательство такое
Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

10. При каких значениях р уравнение -х 2 + 6х — 2 = р:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень; ( Подробнее. )

Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и резуль-
тат округлите до тысячных:
3,281 ∙ 0,57 + 4,356 ∙ 0,278 — 13,758 ( Подробнее. )

Здравствуйте! Помогите установить соответствие между неравенствами и их решениями: ( Подробнее. )

Здравствуйте! Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из ( Подробнее. )

11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь ( Подробнее. )

Видео:Теорема о двух прямых параллельных третьейСкачать

Теорема о двух прямых параллельных третьей

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, но не принадлежит прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Говорят, что прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопересекаются в точке М.
Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Это можно записать так: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— знак принадлежности точки прямой, «Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоперпендикулярны (рис. 12), то пишут Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb.
  2. Если Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 90°, то а Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоАВ и b Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb.
  3. Если Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоОFА = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2). Из равенства этих треугольников следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЗ = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4 и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство5 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство6.
  6. Так как Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство5 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство6 следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство6 = 90°. Получаем, что а Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоFF1 и b Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоFF1, а аЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство
2) Заметим, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоAOF = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоl + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180° и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180° следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоF и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3. Кроме того, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAF. Действительно, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4 и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоFAC равны как соответственные углы, a Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоFAC = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180° (рис. 97, а).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3= 180°.

4) Из равенств Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство= Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 = 180° следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAF + Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Так как Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = 90°, то и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = 90°, а, значит, сЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоb.

Что и требовалось доказать.

Видео:5. Параллельность трех прямыхСкачать

5. Параллельность трех прямых

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопараллельны, то есть Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, лучи АВ и КМ.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство(рис. 161).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, перпендикулярную прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои строят другую перпендикулярную прямую Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, затем — третью прямую Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои т. д. Поскольку прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоперпендикулярны одной прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, то из указанной теоремы следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, параллельной прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствотретьей прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство5,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство8,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство6,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство7,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство5,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство8 — соответственные углы;
  • Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство6,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство5 — внутренние односторонние углы;
  • Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство7,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— данные прямые, АВ — секущая, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 (рис. 166).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказать: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои продлим его до пересечения с прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствов точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 по условию, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBMK =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоANM =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBKM = 90°. Тогда прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 (рис. 167).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказать: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои секущей Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоl +Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180° (рис. 168).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказать: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои секущей Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоAOB = Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAO=Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAK = 26°, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAC = 2 •Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоADK +Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1=Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2. Так как Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство||Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Реальная геометрия

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопроходит через точку М и параллельна прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствов некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство||Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство(рис. 187).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказать: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство||Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Доказательство:

Предположим, что прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, параллельные третьей прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство||Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство4. Доказать, что Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Так как Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, которая параллельна прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, которые параллельны прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, АВ — секущая,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказать: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2.

Доказательство:

Предположим, чтоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, параллельные прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— секущая,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 — соответственные (рис. 196).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказать:Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— секущая,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 иЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказать:Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоl +Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 +Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 = 180°. По свойству параллельных прямыхЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоl =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3 как накрест лежащие. Следовательно,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоl +Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, т. е.Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 = 90°. Согласно следствию Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, т. е.Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 = 90°.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоАОВ =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоABD =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоADB =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствопараллельны, то пишут: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство(рис. 211).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство3. Значит,Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство1 =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство2.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои АВЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, то расстояние между прямыми Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательстворавно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, А Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, С Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, АВЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, CDЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоCAD =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательстворавны (см. рис. 285). Прямая Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, проходящая через точку А параллельно прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, которая параллельна прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствобудет перпендикуляром и к прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAD +Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Тогда Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, параллельную прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Тогда Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство|| Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательстворавноудалены от прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствона расстояние Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, то есть расстояние от точки М до прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательстворавно Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Но через точку К проходит единственная прямая Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, параллельная Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Значит, точка М принадлежит прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство.

Таким образом, все точки прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательстворавноудалены от прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство. Прямая Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство— параллельны.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательствоесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 2
Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство
Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство
Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.

Видео:Теорема о двух прямых, параллельных третьейСкачать

Теорема о двух прямых, параллельных третьей

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)

Проведем через точку А прямую а 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а 1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а 1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

4.Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).

Тогда углы α и α’, γ и γ’ равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α’ + β + γ’ = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.4 Теорема. Сумма углов треугольника.

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

5.Единственность перпендикуляра к прямой

Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.

Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)

Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ — это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

6. Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

7. Свойство медианы равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD — медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.

Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.

Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство

Рис.7 Свойство медианы равнобедренного треугольника.

Если две прямые перпендикулярны третьей то они параллельны доказательство
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Две прямые, параллельные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые, параллельные третьей прямой ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: