Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+CСкачать

№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+C

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.

3) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны» — неверно; верным будет утверждение: «Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны».

2) «Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра» — верно, поскольку площадь круга равна Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет, а Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет.

3) «Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб» — неверно; верным являлось бы утверждение «Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм — ромб», но не любой четырёхугольник — параллелограмм.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Вопрос по геометрии:

1. Какие из высказываний верные?
1) Диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов.
2) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он является ромбом.
3) В ромбе все высоты равны.
4) Если в четырехугольнике диагональ делит его на два равных треугольника, то он является параллелограммом
5) Если диагонали четырехугольника равны, то он прямоугольник.
6) Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он параллелограмм.
7) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он ромб.
8) Диагонали прямоугольника являются биссектрисами его углов.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Видео:Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать

Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромб

math4school.ru

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:19 задание огэ математика 2023 ВСЕ ТИПЫ геометрияСкачать

19 задание огэ математика 2023 ВСЕ ТИПЫ геометрия

Четырёхугольники

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)

Основные определения и свойства

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нетЕсли диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нетЕсли диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если M , N , P , Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , а R , S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ , MRPS , NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD . Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Отрезки MP , NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP , NG=GQ , RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Описанные четырёхугольники

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK = AN , BK = BL , CL = CM , DM = DN .

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b , CD = c и AD = d верны соотношения:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:Геометрия Доказательство Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его угловСкачать

Геометрия Доказательство Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов

Вписанные четырёхугольники

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Площадь вписанного четырёхугольника:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать

№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

Параллелограмм

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ ABC =∠ CDA ; ∠ ABD =∠ CDB .

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:
  • через две его стороны и угол между ними:
Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

∠ ABD =∠ CBD =∠ ADB =∠ CDB ; ∠ BAC =∠ DAC =∠ BCA =∠ DCA .

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

  • через диагонали ромба и сторону:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Площадь ромба можно определить:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

  • через сторону и угол ромба:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Прямоугольник

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через диагонали и угол между ними:
Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Видео:Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин В и ССкачать

Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин В и С

Квадрат

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Радиус вписанной окружности:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

Трапеция

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AED ∼ Δ BEC , k = AD / BC .

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AОD ∼ Δ CОВ , k = AD / BC .

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

  • углы при основании равны:
  • сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

  • через диагонали и угол между ними:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Дельтоид

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:
Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нетЕсли диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Ортодиагональные четырёхугольники

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d ²;
  • для площади четырёхугольника верно: S = ½ef ;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.
Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны то он ромб верно или нет

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О , то верны соотношения:

🎥 Видео

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Геометрия 8 класс: Ромб и квадратСкачать

Геометрия 8 класс: Ромб и квадрат

Ромб. 8 класс.Скачать

Ромб. 8 класс.

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольника

Решение задания 13 - из ОГЭ по математике.Скачать

Решение задания 13 - из ОГЭ по математике.
Поделиться или сохранить к себе: