Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых

Конспект урока

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Понятие наклонной.
• Расстояние от точки до прямой.
• Расстояние между параллельными прямыми.
• Теорема о равноудалённости точек параллельных прямых.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямойине являющийся перпендикуляром к прямой.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Расстояние между двумя точками – длина отрезка, соединяющего эти точки. Введём также следующие понятия:

1) расстояние от точки до прямой;

2) расстояние между параллельными прямыми.

Пусть отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М – любая точка прямой а, отличная от Н. Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы АМ. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

На рисунке расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.

Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые а и b. Отметим на прямой a точку A и проведём из этой точки перпендикуляр AB к прямой b. Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.

Проведём из точки Х перпендикуляр XY к прямой b. Так как XY‎ перпендикулярно b, то XY‎ перпендикулярно а. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY – общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых a и b секущей AY). Следовательно, XY = AB.

Итак, любая точка X прямой a находится на расстоянии AB от прямой b. Очевидно, что все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой a. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, все время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание. Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство: по аксиоме параллельных прямых, через точку A проведем прямую b, b║a, тогда все точки b║a равноудаленыот точек прямой a. Докажем, что B, C∈ b.

Пусть B∉ b, C∉ b, значит, расстояние от точки B до a и C будет больше или меньше, чем расстояние h. Но это противоречит AA₁ = BB₁ = CC₁.

Следовательно, наше предположение неверно и A, B и С ∈ b || a, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой AC равно 12 см. Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Объяснение: равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (значит, и с тремя равными углами, то есть – по 60°). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AC, то DH – данное расстояние. Рассмотрим треугольник AHD. В нём угол H = 90°, так как DH – перпендикуляр к AC (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла DAH = 30°, поэтому AD = 2 ∙ 12= 24см (по свойству).

Расстояние от точки А до прямой ВС – это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD⊥ BC, значит, AD = 24 см.

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Геометрия, 7 класс. Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

допустим, что токи будут на разных расстояниях.. следовательно. если продолжить прямые одна точка будет принадлежать 2 прямым. что противоречит аксиоме об параллельных прямых.. следовательно, предположение неверно

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это значит, что из какой бы точки одной из параллельных прямых не измерялось расстояние до другой прямой, оно всегда будет одинаковым.

Дано: а параллельна b, Доказать: все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Доказательство: Проведем перпендикуляры из точек М и К. Прямая МN перпендикулярна прямой b и КL перпендикулярна прямой b.Перпендикуляры равны (так как прямые параллельны) Таким образом если из каждой точки на любой прямой провести перпендикуляр к другой прямой, то все перпендикуляры этих параллельных прямых равны и эти параллельные прямые равноудалены друг от друга как и все их точки, что и требовалось доказать

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них?

Геометрия | 10 — 11 классы

Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них.

Через эти точки проведены две параллельные плоскости, которые пересекают вторую прямую в точках Р1 и Q1.

Чему равна длина отрезка P1Q1, если PQ = 6, 3.

Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки, значит P₁Q₁ = PQ = 6, 3.

Но ее можно и доказать.

Параллельные прямые задают плоскость.

Если эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β, то линии пересечения параллельны.

Получаем, что PP₁ ║ QQ₁ и PQ ║ PQ₁, значит PP₁Q₁Q — параллелограмм, значит противолежащие стороны равны.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Даны две параллельные прямые и точки Р и Т на одной из них?

Даны две параллельные прямые и точки Р и Т на одной из них.

Через эти точки проведены параллельные плоскости, которые пересекают вторую прямую в точках Р1 и Т1 соответственно.

Чему равна длина отрезка Р1Т1, если РТ = 6, 3дм?

С решением плииииз!

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

1а Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются?

1а Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2а Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой, и притом только одна.

3а Если одна из двух параллельных прямых пересекает третью прямую, то и другая прямая пересекает эту прямую.

4а Две прямые, пересекающие третью прямую, пересекаются между собой.

5а Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

6а Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу.

7в Если одна из двух параллельных прямых пересекает третью прямую, то другая прямая лежит в одной плоскости с первой и третьей прямыми.

8в Две непараллельные прямые, пересекающие третью прямую, пересекаются между собой.

9в Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то все три прямые лежат в одной плоскости.

10с Если параллельные прямые лежат в одной плоскости, то и прямая, имеющая общую точку с одной из них, лежит в этой же плоскости.

11с Три попарно непересекающиеся и непараллельные прямые лежат в трех разных плоскостях.

12с Две непараллельные прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, пересекаются между собой.

Помогите пожалуйста, нужны все правильные ответы!

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Через точки М и N принадлежащие одной из этих плоскостей проведены параллельные прямые пересекающие вторую плоскость в

Чему равна длина отрезка М1 n1 если МN = 8, 8СМ.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а?

Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а.

Через точку В и точку С, лежащую на отрезке АВ, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках В1 и С1.

Докажите, что точки А, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Прямая а пересекает эти плоскости в точках А1 и А2, а параллельная ей прямая b в точках В1 и В2 соответственно.

Чему равна длина отрезка В1В2, если А1А2 = 3, 5м?

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Помогите пожалуйста34?

A) Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

B) В любом треугольнике каждая сторона больше суммы двух других сторон.

C) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести множество плоскостей.

D) Через четыре точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Прямые в пространстве параллельны если они лежат в одной плоскости и имеют две общие точки

b) Через точку пространства можно провести прямую параллельную данной и при том только одну.

C) Если две параллельные прямые пересекают третью, то все они параллельны

d) Если две прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они скрещивающиеся.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они имеют две общие точки.

B) Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой — нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

C) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей не параллельна данной прямой.

D) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая пересекает эту плоскость.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости , то такие плоскости пересекаются.

B) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны

c) Отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями пересекаются.

D) Две плоскости называются параллельными если они имеют общие точки.

38. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то другая прямая

Перпендикулярна этой прямой

b) Параллельна этой прямой

Скрещивается с этой прямой

d) Не возможно определить.

39. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они между собой :

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости

Пересекаются под острым углом

Расстояние между параллельными плоскостями в пространстве измеряют по

b) По проекции наклонной

d) Неважно как измерять.

Видео:7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Прямая а пересекает эти плоскости в точках А1и А2, а параллельная ей прямая b в точках В1 и В 2.

Чему равна длина отрезка В1В2, если А1А2 = 3, 5м ?

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Прямая а пересекает эти плоскости в точках А1 и А2 а паралельная ей прямая в в точках В1 и в2 соответственно.

Чему равна длина отрезка В1В2 если А1А2 = 3.

Видео:№94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскостиСкачать

Выберете верное утверждение : 1 )Если две прямые параллельны одной и то же плоскости , то они параллельны, 2) через точку , лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую , перпендикулярную ?

Выберете верное утверждение : 1 )Если две прямые параллельны одной и то же плоскости , то они параллельны, 2) через точку , лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую , перпендикулярную данной плоскости, 3)если две различные прямые перпендикулярны одной плоскости , то они параллельны , 4)три несовпадающие плоскости всегда пересекаются по одной прямой или точке.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Даны две параллельные прямые а и б и точка М не лежащая ни на одной из них?

Даны две параллельные прямые а и б и точка М не лежащая ни на одной из них.

Точка М лежит в одной плоскости с прямыми а и б, если через точку М можно провести прямую, пересекающую.

1) хотя бы одну из данных прямых.

2) только одну из данных прямых.

2) две данные прямые.

Вопрос Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

DOA по двум углам (накрест лежащим) , BO : OD = OC : AO = BC : AD = 2 : 3 2AO = 3OC AO + OC = 20 2AO + 2OC = 40 5OC = 40 OC = 8 AO = 12.

OB = OA, OC = CO(общая сторона), AC = BC.

1)тр. АОС = тр. ОСВ (по двум катетам) = > АС = ВС(соотв. Элементы).

Держи . Вроде так правильно.

10 дм — 100 см. Провоим высоту, она делит оснеование на две равные части, значит кусочек в равнобедренном треугольнике равен 6. По теореме пифагора находим высоту. Она равна 8. Площадь равна полупроизведение основания на высоту. 12 * 8 и делим н..

🌟 Видео

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

Параллельные прямые - геометрия 7 классСкачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми, 7 классСкачать