Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость причем эти плоскости пересекаются (5 видео)

Введение. Аксиомы стереометрии и их следствие. 5 часов (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Доказать, что если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.

Дано: a || b, a α, b β,

α β = c.

1. по признаку а || β.

2. по предыдущему утверждению а || с.

3. Аналогично, b || c.

Доказать, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Доказать, что b || α либо b α.

Пусть b || α, следовательно b α.

Тогда по лемме a α.

Полученное противоречие опровергает предположение.

Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через вершину С, внутреннюю точку М ребра АВ и параллельной прямой AD.

4. (MNC) – искомое сечение.

Найдите площадь полученного сечения, если каждое ребро тетраэдра имеет длину а и точка М является серединой ребра АВ.

Дано: ABCD – трапеция,

ВС = 12 см, М (АВС), ВK = KМ.

Доказать, что (ADK) МС = Н.

3. AD || BC, AD || KH KH || BC.

4. BK = KH, KH || BC CH = HM.

Следовательно, KН – средняя линия Δ BMC. KH = 6 см.

AB || α, C α.

CD α; MN || α, где MN – средняя линия трапеции.

1. Пусть CD α, тогда CD α = c.

по лемме AB α. Но AB || α.

Полученное противоречие опровергает предположение.

Следовательно, CD α.

2. по признаку MN || α.

Доказать, что α AC = M
и AM = CM.

№ 32 (разобрать доказательство самостоятельно).

Урок 6
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ,
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Цели: систематизировать материал изученного параграфа; проверить уровень сформированности умения применять полученные знания к решению задач.

I. Проверка домашнего задания (у доски).

II. Устная работа.

1. Верна ли формулировка признака параллельности прямой и плоскости: «Прямая, параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости». (Нет, прямая может лежать в плоскости).

2. Прямые а и b параллельны. Какое положение может занимать прямая а относительно плоскости, проходящей через прямую b?

3. Даны прямая и две пересекающихся плоскости. Охарактеризовать все возможные случаи их взаимного расположения.

4. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? Ответ обоснуйте.

5. Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым?

6. Даны две скрещивающиеся прямые. Можно ли через одну из этих прямых провести плоскость, параллельную другой?

7. В плоскости α даны две пересекающиеся прямые а и b. Точка С не лежит в плоскости α. Каковы возможные случаи расположения прямой, проходящей через точку С, относительно прямых а и b?

8. Дано: FABCD – пирамида, ABCD – параллелограмм.

Каково взаимное расположение прямой пересечения плоскостей (FAD) и (FBC) и плоскости основания (АВС)?

III. Решение задач: №№ 90 (устно), 91, 92, 93, 96.

1. Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость α. В α. Докажите, что прямая, проходящая через АВ и ВС, параллельна плоскости α.

2. Дан Δ MKP. Плоскость, параллельная прямой МK, пересекает МР в точке М1, РK – в точке K1. Найдите М1K1, если МР : М1Р = 12 : 5, МK = 18 см.

3. Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD || BC). Докажите, что прямая, проходящая через середины РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.

1. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD, параллельна плоскости α.

2. Дан Δ BCE. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает ВЕ в точке Е1, а ВС – в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС =
= 28 см.

3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая, проходящая через середины АЕ и ВЕ, параллельна прямой СD.

Урок 7
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Цель: доказать признак скрещивающихся прямых, теорему о проведении через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

I. Работа над ошибками.

II. Объяснение нового материала. Вспомнить различные случаи взаимного расположения прямых в пространстве (урок № 6).

Рассмотреть различные пары скрещивающихся прямых на моделях многоугольников, наблюдая факт, зафиксированный в признаке скрещивающихся прямых.

Например, ABCDA1B1C1D1 – куб. АА1 и DC – скрещивающиеся ребра. В каких плоскостях лежит прямая CD? Как располагается прямая АА1 по отношению к этим плоскостям?

ABCA1B1C1 – призма. ВВ1 и А1С1 – скрещивающиеся ребра. В каких плоскостях лежит прямая ВВ1? Как располагается прямая А1С1 по отношению к этим плоскостям?

АBCD – пирамида. Рассуждаем аналогично. Наблюдаем: прямые являются скрещивающимися, если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой.

Если учащиеся упустили выделенный в формулировке факт, то привести контрпример – пересекающиеся прямые.

Содержание

Докажите, что эти плоскости пересекаются. Дополнительные задачи 91, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.
Презентация на тему Параллельность прямых и плоскостей
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Описание презентации по отдельным слайдам:
📹 Видео

Видео:№91. Через каждую из двух параллельных прямых a и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямыхСкачать

Докажите, что эти плоскости пересекаются. Дополнительные задачи 91, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.

Нам с дочкой снова нужна ваша помощь :))

Через каждую из двух параллельных прямых а и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым а и b.

Здравствуйте, я могу помочь
а || b
Из аксиомы А₃ (п. 2) следует существование прямой с, проходя щей через т. M, параллельной а и b.
α — плоскость, в которой лежат а и с; β — плоскость, в которой лежат с и b ;

то есть эта прямая и есть прямая пересечения α и β А по построению она параллельна прямым а и b.
Утверждение доказано.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Презентация на тему Параллельность прямых и плоскостей

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Родионова Светлана Ивановна
учитель математики
ГБОУ СОШ № 235
«Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
Prezented.Ru

Описание слайда:

Аксиомы группы С.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Описание слайда:

Аксиомы группы С.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
С
с

Описание слайда:

Аксиомы группы С.
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
a
b
С

Описание слайда:

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

m
М
Следствия из аксиом
Т1

Описание слайда:

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости

m
А
В
Следствия из аксиом

Описание слайда:

Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

М
А
В
Следствия из аксиом

Описание слайда:

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна.

m
к
Следствие из Т1

Описание слайда:

Вывод
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
1. По трем точкам
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.

Описание слайда:

Сколько существует способов задания плоскости?
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

Описание слайда:

Нет
Да
Нет
Да
Нет
Да
Определите: верно, ли утверждение?

Описание слайда:

Дано: АВСD-параллелограмм
А, В, С  α
Доказать: D  α
А
В
С
D
•
•
•
•
Доказательство:
А, В  АВ, С,D  СD,
АВ  СD
(по определению параллелограмма) 
АВ, СD  α 
D  α

Описание слайда:

пересекаются
параллельны
а
а
а
b
b
b
скрещиваются
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве.

Описание слайда:

Доказательство:
а
с
в1
в
β
α

В
1 случай. а, в, с α рассмотрен в планиметрии
2 случай. а, в  α; а, с  β
1. Возьмем т.В, В  в
Через т.В и с проведем плоскость 
  α = в1
2. Если в1  β = Х,  Х  а, в1  α,
но Х  с, т.к. в1   , а т.к. а с  в1  β
3. в1  α, в1  а  в1  а  в1 = в (А параллельных прямых)
4.  в с
Теорема доказана.
•
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

Описание слайда:

Теорема о параллельных прямых.
К
a
b
Дано: К  a
Доказать:
 ! b: К  b, b  a
Доказательство:
1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α.
2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии)
Единственность (от противного)
1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через прямые a и b1 можно провести плоскость α1.
2. a , К  α1;  α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).
3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.

Описание слайда:

Задание 1 Вставьте пропущенные слова

Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они на одной прямой.
2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В
α, то прямые а и b
не лежат
две
прямую
параллельными
лежат
скрещивающиеся

Описание слайда:

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Да
Да
Нет

Описание слайда:

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Нет
Да

Описание слайда:

А1
α
Задание 3
Дано: ВС=АС,
СС1 АА1,
АА1=22 см
Найти: СС1
Решение:
АА1СС1,
АС = ВС
 С1– середина А1В
(по т.Фалеса) 
С С1- средняя линия ∆АА1В 
С С1= 0,5АА1 = 11 см
Ответ: 11см.

Описание слайда:

a
с
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

b
К

Описание слайда:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости , то
она параллельна и самой плоскости.
Дано:
Доказать:

Описание слайда:

1.Через прямые a и b проведем плоскость α
Пусть , ,
α
2. α  β = b
Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α  b
 a  β
 a  β
Теорема доказана.

Описание слайда:

Дано: а  α
а  β; β ∩ α = в
Доказать: а  в

Доказательство:
а, в  β
Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α,
что противоречит условию.
Значит в  а

Описание слайда:

A
В
С
Плоскость проходит через сторону АС  АВС. Точки D и E — середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α
D
E
Доказательство:
1. Точки D и E — середины отрезков АВ и BC соответственно 
2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)
 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

Описание слайда:

Расположение плоскостей в пространстве.
α  β
α и β совпадают
α  β

Описание слайда:

Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
Дано: а b = M, a , b .
a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.
Доказать:  


а
а₁
b
b₁
M
c
Доказательство:
Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может.
Значит    .
1. Пусть    = с.

Описание слайда:

Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.
β
а1
•
А
α
плоскость α,
в1
в
а
Доказать:
Доказательство.
Дано:
точка А вне плоскости α.
существует плоскость β║α, проходящая через точку А
1. В плоскости α проведём прямые а∩в.
Через точку А проведём
а1║а
и в1║в.
По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.
Существование плоскости β доказано.

Описание слайда:

β
•
А
α
Докажем единственность плоскости β методом от противного.
•
С
•
В
в
с
β1

Допустим, что существует плоскость β1, которая проходит через т. А и β1  α.
Отметим в плоскости β1 т. С β.
Отметим произвольную т. В  α.
Через точки А, В и С проведем γ.
γ ∩ α = в,
γ ∩ β1 = с.
γ ∩ β = а,
а
а и с не пересекают плоскость α,
значит они не пересекают прямую в,
 а  в и с  в
Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.
 наше предположение ложное.
Единственность β доказана.

Описание слайда:

а
b
Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Свойство параллельных плоскостей.
Дано:
α  β, α   = a
β   = b
Доказать: a  b
Доказательство:
1. a  , b  
2. Пусть a  b,
тогда a  b = М
3. M  α, M  β
 α  β = с (А2)
Получили противоречие с условием.
Значит a  b ч. т.д.

Описание слайда:

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Свойство параллельных плоскостей.
А
В
С
D
Доказать: АВ = СD
Дано:
α  β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D
Доказательство:
1. Через АВ СD проведем 
2. α β, α   = a, β   = b
3.  АС В D,
4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)
5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)
 АВ = СD ( по свойству параллелограмма)

Описание слайда:

1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в
одной плоскости, параллельна другой плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны.
Определите: верно, ли утверждение?
ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
НЕТ
ДА

Описание слайда:

Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку.
α
β
А
Решение.
1. В плоскости α возьмем т. В.
2. Проведем прямые ВС и ВD.
В
•
С1
D1
D
С
3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.
4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.
•
5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β

Описание слайда:

Задача 2. Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
а
в
Пусть а скрещивается с в.
Доказательство:
На прямой в возьмем т. А,
А
через прямую а и т. А проведем плоскость,
в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1  в.
Через в1  в проведем плоскость α.
.
в1
Аналогично строим плоскость β.
По признаку параллельности плоскостей α  β.
.
Prezented.Ru

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.