Движение окружности по спирали

«Развитие идёт по спирали». Этот философский тезис известен давно.
Идея спиралевидного развития приписывается Гегелю как неотъемлемая часть диалектики – отрицание и синтез поступательного развития «по прямой» и «хождения по кругу». С тех пор представление о спиралевидном развитии прочно укоренилось не только в различных философских школах, но широко распространилось и среди простых обывателей. Однако философские теории о том, как же выглядит спираль развития и что она из себя представляет, остаются весьма разнообразными.
Например, В.Белинский описывая развитие человечества по спирали «не вверх, а вниз. чтобы. потом опять идти, понижаясь кверху», очевидно, имел ввиду движение по спирали, навивающей обороты вдоль воображаемой горизонтальной оси.
В одной из своих ранних работ Ф. Энгельс сравнил развитие общественной жизни с ускоряющейся спиралью, каждый последующий виток которой шире предыдущего, тем самым сформировав представление о спирали, расширяющейся от основания кверху (перевернутом конусе). И хотя Энгельс писал о развитии общественной жизни, а не о всеобъемлющей философской спирали, тем не менее, такое представление о спирали развития оставалось полтора столетия господствующим в советской философии.
Только в 80-х годах стали появляться публикации о конусовидной спирали, круги которой сужаются от основания к вершине и в перспективе претендуют на переход в прямую линию развития. То есть Энгельсову спираль перевернули вверх тормашками с ног на голову, или поставили с головы на ноги, — это уж кому как больше нравится. При этом сужение витков спирали обосновывали необходимостью учёта энтропии, а перспективу перехода к прямой вертикальной линии не обосновывали, по существу, ничем, принимая за неизбежный итог (не может же спираль бесконечно сужаться).
Существуют версии о двух параллельных спиралях (по модели ДНК), при этом остаётся непонятным что же составляет вторую параллельную спираль. Намёки на «инь» и «янь», на мой взгляд, мало убедительны.
Так что представления и описания философской спирали развития остаются не только разнообразными, но и противоречивыми.
Я, как доморощенный философ-любитель, в своё время тоже увлекавшийся этой темой, хочу изложить здесь своё видение этой пресловутой спирали. Не претендуя на научное открытие, а ради систематизации собственных представлений. А обосновывать свою концепцию я буду только заверениями о наличии у меня самоиронии на уровне достаточном для того, чтобы не ставить себя в ряд выдающихся философов, когда высказанные мною антинаучные гипотезы найдут своё подтверждение.
Итак, приступим.
По-моему, толщина самой нити этой спирали по мере её развития должна возрастать, т.к. человеческое бытие, человеческая практика становится всё богаче и многообразнее. Отсюда следуют два вывода:
1. Витки спирали должны расширяться, и спираль должна виться по перевёрнутому конусу, т.к. для любой нити по мере её утолщения прежний радиус будет становиться слишком мал и неудобен.
2. Скорость движения спирали должна увеличиваться, чтобы успеть совершить новый, более широкий виток. Этот вывод необходим, естественно, если исходить из того, что каждый новый виток спирали совершается приблизительно за равные промежутки времени.
Но главное не это.
Если можно говорить о спирали развития общественной жизни, или человечества, или бытия вообще, полагаю, что и развитие каждой стороны (института) общественной жизни или бытия можно охарактеризовать в виде движения по своей «частной» спирали.
Например, рок, диско, джаз и другие музыкальные направления развиваются по своим «частным» спиралям. Сплетаясь вместе, они образуют общую для них спираль развития музыки в целом. Образно говоря, подобно тому, как нити скручиваются в веревки, веревки – в канат, а канат сворачивается в бухту, так и спирали развития отдельных явлений общественной жизни, сплетаясь между собой, образуют спираль развития тех или иных сторон общественной жизни, которые в свою очередь, опять же переплетаясь, образуют общую для всех спираль развития человечества.
Аналогичным образом из множества связанных между собой спиралей состоят спирали архитектуры, или живописи, или литературы. Составляющие их спирали различных творческих направлений в свою очередь тоже состоят из множества спирально развивающихся подкатегорий более низкого разряда. Так же математика, физика, химия, гуманитарные науки состоят множества дисциплин, развивающихся самостоятельно, но в то же время взаимосвязано и взаимообусловлено с другими сопутствующими дисциплинами, совместно образуя спираль развития каждой отдельной науки. В свою очередь эти науки также спиралевидно сплетаются между собой, вместе составляя обобщенное понятие науки, которая также закручивается в спираль, сплетаясь с другими такими же многосоставными спиралями искусства, религии, спорта и т.д.
Таким образом, философская спираль состоит из множества сплетающихся между собой спиралей более низкого разряда, а те, в свою очередь, — из множества спиралей, образующих институты еще более низкого разряда.
И такое «составное» видение спирального развития применимо, полагаю, ко многим сторонам общественной жизни в целом. При этом периодически возникают новые институты, начинающие своё развитие в рамках какой-либо сферы человеческой деятельности, и исчезают другие, завершив своё развитие — свою спираль (отмирают профессии и целые отрасли мировой экономики, со временем утрачиваются различные направления культуры и искусства, но вместо них возникают новые). Т.е. составляющие спираль нити могут обрываться и разветвляться, не прекращая в то же время свиваться в общую для них спираль.
Что касается конусовидной формы самой спирали (правильный или перевёрнутый конус), то оба варианта находят достаточно убедительные аргументы, как в пользу расширения витков спирали и их удаления от воображаемой центральной оси, так и в пользу сужения витков и приближения их к этой самой оси.
Но почему бы эти подходы не совместить? Такие гипотезы уже выдвигались в философской среде.
Проще говоря, можно предположить, что спирали присущи как центробежные, так и центростремительные силы. Вследствие чего на каком-то этапе спираль движется по увеличивающему радиусу, расширяя витки и удаляясь от центральной оси, а затем переходит на иную траекторию движения, сужая витки и всё более и более приближаясь к центральной оси. Когда потенциал центростремительной силы исчерпан, спираль вновь переходит к расширению, а затем вновь к сужению. Такие этапы чередуются раз за разом, в результате чего общий вид спирали «в профиль» может представлять собой как бы несколько поставленных друг на друга веретён (что однако не исключает общую тенденцию к утолщению спирали и расширению её витков).
И вовсе не обязательно, чтобы такая пирамида веретён образовывала прямую линию. Ничто не препятствует центральной оси этой глобальной спирали изгибаться самым замысловатым образом, в том числе принимать форму (опять же) спирали, виток за витком «наматывая» на себя спираль человеческого бытия. И куда бы и как бы она ни перемещалась, ни наклонялась бы, какие изгибы ни принимала бы, её движение, всё равно, будет движением вперёд, ибо все измерения возможны только по этой центральной оси или внутри спирали, которая относительно самой себя всегда придерживается только одного направления.
В связи с этим непонятно выдвигаемое некоторыми авторами требование устойчивости спирали, которое, по их мнению, возможно только в случае движения спирали по правильному конусу (сужающимися витками). О какой устойчивости речь? Чтобы быть устойчивой, конструкция должна стоять на какой-то основе. На какой основе стоит эта пресловутая философская спираль? Никто не отвечает. А если спираль бытия торит себе путь в небытии, то основы, опоры ей никакой не требуется, как не требуется опоры самому бытию. На мой взгляд, важнее говорить о стабильности системы – равновесии центробежных и центростремительных сил, не позволяющих спирали распасться.
И если считать, что бытие в самом общем понимании развивается по периодически сужающейся и расширяющейся спирали, то такая же форма, вероятно, будет характерна и для всех составляющих «частных» спиралей. При этом, возможно, этап расширения какой-либо из составляющих спиралей будет соответствовать этапу сужения другой связанной с ней «параллельной» спирали. Например, развитие и расширение спирали «наука» будет совпадать с этапом сужения спирали «религия», развитие и расширение спирали «астрономия» будет совпадать с этапом сужения спирали «астрология», а в культурной сфере этап «когда физики в почёте» будет совпадать с этапом «а лирики в загоне», и наоборот.
Такой взгляд позволяет уточнить известный тезис о том, что какое-либо явление в истории никогда не повторяется в точности, а повторяется на более высоком уровне – на новом витке спирали. При этом если к спирали применить трёхмерную систему координат, то ни одна из таких координат любого исторического факта (явления, события) не только не будет совпадать с координатами предыдущими аналогичными фактами (явлениями, событиями), но и само это явление (событие) будет занимать иное, ранее не возникавшее положение по отношению к другим сопутствующим спиралям, занимающим по отношению к нему каждый раз новое особое положение.
Иными словами исторические повторения (аналогии) возникают в иных, новых условиях, которые значительно отличаются от предыдущих не только по шкале времени, но и по всем другим характеристикам, оставляя неизменным только само движение.
***
Насколько бы ни было вероятно или невероятно всё вышеизложенное, оно не сработает, как не срабатывает и любая другая теория, если пытаться использовать её в качестве «универсальной отмычки» к тайнам бытия. Так или иначе, но множить всё более обобщённые сущности и тем самым загонять каждую спираль внутрь еще более общей спирали можно, наверное, долго. Можно дойти и до индивидуальных спиралей развития личности.
Можно ли говорить, что люди, как единицы человечества, в своём личностном развитии так же идут по спирали, — это вопрос скорее к специалистам психологам. Куда важнее понимать общий принцип развития, чем пытаться его изобразить наглядно (визуализировать).
Я отдаю себе отчёт, что, не обладая соответствующей научной подготовкой, я вряд ли изложил здесь что-то, что могло бы претендовать на философскую гипотезу. Но если кому-то изложенные мысли покажутся интересными, я не исключаю, что найдётся и учёный-философ, который обоснует их вполне аргументировано. А если нет, то на «нет», как говорится, и суда нет.

Краткое руководство по G-Code. Круговая интерполяция G02 и G03.

Круговая интерполяция G02 и G03 — это движение по круговой дуге

Закончив обсуждение линейной интерполяции или движения по прямой линии, мы переходим к круговой интерполяции G02 и G03 , которая представляет собой движение по дуге окружности. За исключением довольно экзотической способности следовать «NURBS-пути», большинство контроллеров G-кода поддерживают только два вида движения: линейное и круговое. Круговая интерполяция на вашем станке немного сложнее, так как две оси должны быть точно согласованы. Рисование полного круга включает не только скоординированное движение, но и изменение направления в каждой из четырех точек квадранта. Это будут точки, соответствующие 0, 90, 180 и 270 градусам. Если у станка вообще есть люфт, он будет очевиден при этих разворотах, потому что там будет сбой в разрезе.

Круговое движение — это режим, инициируемый через G02 и G03

Как и линейное движение (инициированное G00 и G01), круговое движение — это режим, инициированный через G02 и G03. G02 устанавливает режим для дуг окружности по часовой стрелке. G03 устанавливает режим для дуг окружности против часовой стрелки.

Определение дуги для контроллера ЧПУ

После того, как установлен режим G02 или G03, дуги определяются в G-коде путем идентификации двух конечных точек и центра, который должен быть равноудаленным от каждой конечной точки, в противном случае возникнет аварийный сигнал.

Определение центра через относительные смещения IJK

Центр чаще всего идентифицируется с помощью I, J или K для определения относительного смещения от начальной точки дуги к центру. Вот типичная дуга по часовой стрелке:

Буквы I и J указывают относительные координаты от начальной точки до центра. Другими словами, если мы добавим значение I к X начальной точки и значение J к Y начальной точки, мы получим X и Y для центра.

Определение центра через радиус с помощью «R»

Мы также можем определить центр, просто указав радиус круга. Допустим радиус нашего круга равен 2, поэтому g-код может быть простым:

Многие из вас прямо здесь и сейчас решат, что, поскольку R проще для понимания и короче для написания, вы просто собираетесь использовать R и забыть о IJK. Но мастера ЧПУ обработки советуют использовать команды IJK. Их аргумент состоит в том, что, используя IJK, вы дважды проверяете правильность дуги.

Потому что контроллер может вычислить фактический набор координат для центра через IJK. Получив координаты центра, он может проверить, что он одинаково удален от обеих конечных точек. Проверка каждого из этих двух расстояний — это двойная проверка. В случае формата «R» контроллер не имеет такой двойной проверки. Он должен выбрать центр, который гарантирует равное расстояние.

Лично я не знаю, согласен ли я с инструкторами ЧПУ в том, что это обеспечивает дополнительную проверку или нет. Я говорю, что используйте тот подход, который имеет смысл в вашей конкретной ситуации, но вы определенно должны быть знакомы с обоими. В любом случае вам нужно будет привыкнуть к относительным координатам, поскольку они чертовски удобны.

Варианты синтаксиса Arc для различных диалектов и режимов G-кода

Это еще одно из тех мест, где происходит много непонятных вещей, например, что будет делать ваш контроллер. Обычно предполагается, что если у вас есть и IJK, и R в одном блоке, R имеет приоритет, а IJK игнорируется. Но есть контроллеры, которые работают не так, поэтому убедитесь, что вы знаете, что происходит.

Есть несколько параметров, которые определяют, как работают дуги.

Давайте рассмотрим эти варианты:

— Инкрементальный против абсолютного IJK : мы обсуждали IJK как представление координат относительно начальной точки для центра. Добавьте I к X, J к Y и K к Z начальной точки, и вы получите центр. Многие элементы управления также имеют возможность использовать IJK как абсолютные координаты центра.

— Модальные центры IJK : когда IJK являются абсолютными координатами центра, некоторые контроллеры запоминают последний определенный центр, поэтому в этом случае IJK является модальным. При использовании такой настройки управления вы можете просто продолжать вводить команды XYZ для дуг без необходимости каждый раз определять новый центр. Однако не ясно, что вы сэкономите много — как часто вы хотите делать несколько дуг с одним и тем же центром?

— Модальные центры R : Еще одна разновидность идеи модального центра состоит в том, чтобы позволить радиусу, определенному буквой «R», быть модальным. Каким бы ни был последний использованный R, контроллер запоминает и снова использует это значение, если R не задано. Это кажется более полезным, чем модальный IJK. Например, у кармана могут быть дуги для углов одинакового радиуса.

— Приоритет R : как уже упоминалось, большинство контроллеров будут использовать «R», если «R» и «IJK» указаны в одном блоке. Н

— Helical Interp. : Эта опция определяет, разрешает ли ваш контроллер спиральную интерполяцию.

Наиболее распространенная проблема при настройке постпроцессора CAM или симулятора ЧПУ: абсолютный и относительный IJK

У всех нас был опыт, когда мы смотрели на симуляцию проходов (или, что еще хуже, видели его в реальном движении инструмента, что довольно пугающе), и видели гигантские почти полные круги без каких-либо признаков знакомых движений деталей, которые мы ожидали увидеть. Вот типичный пример:

Если вы видите такие вещи, первое, что нужно проверить, — это абсолютный IJK в сравнении с относительным IJK для дуг. Настройка должна соответствовать между тем, что выдает CAM, и тем, чтополучает контроллер или симулятор.

Дроби круга, квадранты и регуляторы

Первое, что нужно знать о дуге, это то, что невозможно указать дугу более 360 градусов. В некоторых контроллерах для спиральной интерполяции есть некоторые исключения (см. Ниже) просто потому, что это может быть полезно для спиралей. Если требуется полный круг, установите начальную и конечную точки равными друг другу:

G02 X3.25 Y2.0 I-1.25 J0

Интересно, что вы не можете указать полный круг с помощью «R». Это связано с тем, что существует бесконечное количество кругов, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же точке определенного радиуса, поэтому контроллер не знает, какой круг может быть правильным.

Есть еще более забавный ньюанс с «R» и более крупными дугами. Например, дуга все еще может иметь определенный радиус и по часовой стрелке (или против часовой стрелки), но центр будет разным, если вы перемещаетесь более чем на 90 градусов. Например:

Учитывая два показанных варианта, контроллер выбирает путь на основе знака радиуса. Отрицательное получает более длинную дугу, положительное — короче. Отрицательный знак заставляет контроллер искать дугу более 180 градусов.

Некоторые контроллеры еще более чувствительны и не будут программировать дугу, пересекающую линию квадранта. Следовательно, наибольший угол, по которому может следовать дуга, составляет 90 градусов, и этот угол не должен пересекать 0, 90, 180 или 270 градусов. Углы в 90 градусов, пересекающие линию квадранта, должны быть разбиты на две части, причем соединение между частями должно быть прямо на линии квадранта.

Полные круги без XYZ

Полные круги появляются, когда начальная и конечная точки идентичны, а центр указан через IJK (помните, что R ведет к бесконечному количеству кругов). Учитывая, что вы хотите, чтобы начальная и конечная точки были одинаковыми, возможно, вам не придется беспокоиться даже об указании конечной точки с помощью XYZ. Некоторым контроллерам это может потребоваться, но большинству — нет. Вот простая программа с g-кодом, которая таким образом создает 3 круга:

N45 G0 X-2. Y.75
N46 G1 Z-.5 F10.
N47 Y.5 F30. S2000
N48 G2 J-1.1
N49 G1 Y.75
N50 Z.2
N51 G0 X.75 Y-3.4
N52 G1 Z-.5 F10.
N53 X.5 F30.
N54 G2 I-1.1
N55 X.75
N56 Z.2
N57 G0 X-4.75 Y-3.4
N58 G1 Z-.5 F10.
N59 X-4.5 F30.
N60 G2 I1.1
N61 G1 X-4.75
N62 Z.2

А вот как выглядит визуализация:

Совет по упрощению программирования дуги: начните с сегментов

Когда я прокладываю траекторию инструмента, я предпочитаю оставлять дуги напоследок. Вместо каждой дуги я просто помещаю отрезок линии, конечные точки которого соответствуют конечным точкам дуги. Это позволяет быстро собрать грубый набросок траектории инструмента, и часто кажется, что легче вернуться и преобразовать линии в дуги, когда базовая структура уже установлена.

Спиральная интерполяция

Спираль — это дуга, которая непрерывно движется в третьем измерении, как винтовая резьба. При винтовой интерполяции мы указываем такую ​​дугу с помощью G02 / G03, чтобы резец перемещался по спирали. Это может быть сделано для фрезерования резьбы , интерполяции отверстия или для множества других целей. Вот диаграмма из программы резьбы 1/4 ″ NPT:

Вот пример кода программы фрезерования резьбы:

G01 G91 Z-0.6533 F100.
G01 G42 D08 X0.0235 Y-0.0939 F10.
G03 X0.0939 Y0.0939 Z0.0179 R0.0939
G03 X-0.1179 Y0.1179 Z0.0179 R0.1179
G03 X-0.1185 Y-0.1185 Z0.0179 R0.1185
G03 X0.1191 Y-0.1191 Z0.0179 R0 .1191 F16.
G03 X0.1196 Y0.1196 Z0.0179 R0.1196
G03 X-0.1202 Y0.1202 Z0.0179 R0.1202 F26.
G03 X-0.1207 Y-0.1207 Z0.0179 R0.1207
G03 X0.1213 Y-0.1213 Z0.0179 R0.1213
G03 X0.1218 Y0.1218 Z0.0179 R0.1218
G03 X-0.0975 Y0.0975 Z0.0179 R0 0,0975

Это формат «R» (радиус) для дуг, и обратите внимание, что есть координата Z, чтобы указать изменение глубины для конечной точки каждой дуги. В этом коде используется относительное движение (G91), поэтому каждый «Z0.0179» перемещает фрезу на 0,0179 дюйма глубже.

Мы вернемся к резьбофрезерованию более подробно в следующей главе, полностью посвященной этой теме. А пока мы просто хотели, чтобы вы познакомились с идеей создания спиралей, а также плоских двумерных дуг.

Создание траекторий движения инструмента понравится вашей машине

Каждый раз, когда резак меняет направление, он добавляет определенное напряжение. Резак будет врезаться в материал больше или меньше, чем был, в зависимости от того, меняется ли направление на заготовку (или неразрезанный материал) или от нее. Ваша машина будет намного счастливее, если вы запрограммируете дугу, а не резкое изменение направления по прямой. Даже дуга с очень маленьким радиусом позволит контроллеру избежать мгновенного изменения направления, что может оставить след на поверхности в лучшем случае и вызвать вибрацию или другие проблемы в худшем случае. Для небольших изменений направления это может не иметь смысла. Но чем резче изменение, тем больше вероятность, что вам следует использовать дугу для облегчения поворота.

Как написать алгоритм спирали?

Доброго времени суток. Стоит следующая задача передо мной, но в математических алгоритмах, к сожалению, я не силен и был бы благодарен за помощь.

Есть массив координат точек с координатами xy, которые совпадают. Надо расположить эти точки по спирали вокруг первоначальной координаты.

По факту — есть набор событий в Google Maps, которые указывают в 1 точку и надо их расположить вокруг этой точки по спирали, чтобы можно было видеть каждый маркер. Правда, там рядом тоже есть точки другие и надо избежать новых перекрытий, но это уже моя проблема 🙂

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 12714 просмотров

Если спираль устраивает
записываете r = k*phi
x = r*cos(phi)
y = r*sin(phi)

предположим точек N
for(i=0;i!=N;++i) <
phi =i*some_const;
r = k*i;
x = r*cos(phi)
y = r*sin(phi)
draw(x,y, «что вы тут хотите рисовать»)
>
константы
k some_const подбираете сами

В изложении своих мыслей Вы, к сожалению, тоже не сильны.

Что такое «с координатами xy, которые совпадают»? С чем совпадают?
Что за «первоначальная координата»? Она как-то задается?
А события, указывающие в одну точку — это вообще что.

Думаю, проще всего делать не спираль Архимеда, а её приближение методом Эйлера. Пусть у нас есть некое расстояние dSafe, на котором должны быть кружочки друг от друга.

Чтобы поставить второй кружочек, отойдём от центрального на вектор (dSafe, 0). Для третьего и дальше поступим так.

Найдём угол касательной к спирали Архимеда. Касательный вектор будет a единиц по радиус-вектору (a — коэффициент спирали r=aф) и r единиц по нормали. Таким образом, если мы в точке (x, y), у нас получается касательный вектор вот такой.
t = (a·x + r·y; a·y − r·x), r = sqrt(x² + y²)

Нормируем этот вектор до длины dSafe и добавляем к (x, y).
Штука номер один. Параметр спирали прямо пропорционален безопасному расстоянию (вы это увидите ниже в коде). И штука номер два — только «бесконечно малые» шаги (при нулевом a, т. е. окружность) будут держать нас на окружности, шаги побольше будут выносить нас наружу, для компенсации сделаем a отрицательным.