Две параллельные прямые высекают на двух других прямых равные отрезки верно или нет (6 видео)

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Содержание

Формулировка теоремы
Обобщенная формулировка
Обратная теорема Фалеса
Пример задачи
Геометрия. 8 класс
Теорема Фалеса
🎬 Видео

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Формулировка теоремы

Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.

Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.

Обобщенная формулировка

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:

* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

Обратная теорема Фалеса

1. Для пересекающихся секущих

Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.

Из обратной теоремы следует:

Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.

2. Для параллельных секущих

Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Пример задачи

Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.

Решение

Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.

Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.

Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия. 8 класс

Возьмем лист бумаги с параллельными краями, отложим не нем произвольный отрезок AB и проведем прямые, перпендикулярные AB. Согнем лист по этим перпендикулярам, повторим сгибы несколько раз и раскроем лист. Измерим отрезки А₁В₁, В₁С₁, С₁Д₁, Д₁E₁.
Повторим такие же действия с листом бумаги, у которого края не параллельны. Измерим отрезки А₁В₁, В₁С₁, С₁Д₁, Д₁E₁.
И в первом и во втором случае отрезки А₁В₁, В₁С₁, С₁Д₁, Д₁E₁ равны. Их равенство доказывается теоремой, которую нызывают по имени греческого математика Фалеса Милетского.
Формулировка теоремы Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных).
Дано: А₁А₂ = А₂А₃
c || d || e
Доказать: В₁В₂ = B₂В₃
Доказательство:
А) пусть a || b
А₁А₂ = В₁В₂
А₂А₃ = B₂В₃
Как противоположные стороны параллелограммов. По условию А₁А₂ = А₂А₃, следовательно В₁В₂ = B₂В₃
Б) пусть a ≠ b

Проведем прямую k, параллельную прямой a, она пересечет прямую с в точке F, прямую d в точке В₂, прямую e в точке Е.
A₁FB₂A₂ – параллелограмм, значит А₁А₂ = FB₂
Аналогично доказывается, что А₂А₃ = B₂E, по условию А₁А₂ = А₂А₃, значит FB₂ = B₂E. Треугольники B₁FB₂ и B₂B₃E равны по стороне и двум углам.
Следовательно, В₁В₂ = B₂В₃
В общем виде теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Есть и более короткая формулировка: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Доказанная выше теорема является частным случаем общей теоремы Фалеса, так как равные отрезки пропорциональны с коэффициентом, равным единице.
Для теоремы Фалеса верно обратное утверждение:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
В этой теореме важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

С помощью теоремы Фалеса можно разделить данный отрезок на n равных частей.
Пусть дан отрезок AB длиной 8 см. Требуется разделить его на 7 равных частей.
Решение:
Проведем луч с началом в точке А, отличный от отрезка АВ, и отложим на нем с помощью циркуля последовательно семь равных отрезков, начиная от точки А.
Конец последнего отрезка соединим с точкой B и проведем параллельные прямые через каждую из точек до пересечения с отрезком АВ.

Отрезок АВ разделится на 7 частей, они равны между собой по теореме Фалеса.

Фалес Милетский – родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э. – родоначальник европейской науки и философии математик, астроном и политический деятель. Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза, среди сограждан пользовался большим уважением.
В геометрии Фалесу приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие.
Фалес впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство.
Теорема Фалеса используется не только в геометрии, но и в морской навигации. Она выступает в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса может быть сформулирована не только для угла, но и для прямых. Кроме того, существует еще и обобщенная теорема Фалеса.

Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема Фалеса может быть сформулирована не только для угла, но и для прямых.

Если параллельные прямые пересекают две данные прямые и отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса).

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Теорема Фалеса и ее модификации применяется в том числе, и в задачах на построение (в частности, для деления отрезка на n равных частей и при построении четвертого пропорционального отрезка).