Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

305. Параллельны ли изображённые на рисунке 212 прямые a и b , если:

3) ∠ 4 = 125°, ∠ 6 = 55°;

4) ∠ 2 = 35°, ∠ 5 = 146°;

5) ∠ 1 = 98°, ∠ 6 = 82°;

6) ∠ 1 = 143°, ∠ 7 = 37°?

306. На каких из рисунков 213, а – г прямые m и n параллельны?

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

307. На рисунке 214 укажите все пары параллельных прямых.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

308. На рисунке 215 укажите параллельные прямые, если ∠ 1 = 53°, ∠ 2 = 128°, ∠ 3 = 127°.

309. На рисунке 216 AB = BC , CD = DK . Докажите, что AB ‖ DK .

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

310. На рисунке 217 AK — биссектриса угла BAC , AM = MK . Докажите, что MK ‖ AC .

311. На рисунке 218 ∠ ACB = ∠ ACD , AD = CD . Докажите, что BC ‖ AD .

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

312. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , ∠ A = 60°, ∠ BCD — смежный с ∠ ACB , CM — биссектриса угла BCD . Докажите, что AB ‖ CM .

313. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что AC ‖ BD .

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

314. На рисунке 219 AB = CD , BC = AD . Докажите, что AB ‖ CD .

315. Известно, что некоторая прямая m пересекает прямую a (рис. 220). Пересекает ли прямая m прямую b ?

316. Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисунке 221?

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

317. Угол ABC равен 60°, а угол BCD — 120°. Можно ли утверждать, что прямые AB и CD параллельны?

318. Угол между прямыми a и c равен углу между прямыми b и c . Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

319. Четыре угла, образованные при пересечении прямых a и b прямой c , равны по 40°, а любой из остальных четырёх углов — 140°. Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

320. Прямая пересекает биссектрису BM треугольника ABC в точке O , являющейся серединой отрезка BM , а сторону BC — в точке K . Докажите, что если OK ⊥ BM , то MK ‖ AB .

321. Отрезки AM и CK — медианы треугольника ABC . На продолжении отрезка AM за точку M отложен отрезок MF , а на продолжении отрезка CK за точку K — отрезок KD так, что MF = AM , KD = CK . Докажите, что точки B , D и F лежат на одной прямой.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Упражнения для повторения

322. Луч OC разбивает угол AOB на два угла так, что ∠ AOC : ∠ BOC = 3 : 5. Найдите угол между лучом OC и биссектрисой угла, смежного с углом AOB , если угол BOC на 42° больше угла AOC .

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

323. На рисунке 222 AB = BC , ∠ ABK = ∠ CBM . Докажите, что BM = BK .

324. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC . Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E . Докажите, что AE = EC .

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

325. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Когда сделаны уроки

Пятый постулат Евклида

В § 6 вы узнали, что в качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1 и 5.1 не включить в список аксиом, ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос понятен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома. С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов ( рис. 223 ).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в § 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более двадцати веков многие учёные пытались доказать пятый постулат, т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX в. несколько математиков независимо друг от друга пришли к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, мож но провести только одну прямую, параллельную данной , является аксиомой.

Вам может показаться, что в этом выводе ничего особенного нет: присоединяем аксиому параллельности к уже существующему списку аксиом-правил, а дальше доказываем теоремы.

Однако если в футболе добавить только одно правило, например разрешить полевым игрокам играть и руками, то мы получим совершенно новую игру.

Если пятый постулат — это правило, которое мы принимаем, а не теорема, то его можно заменить противоположным утверждением.

Так и поступил Н.И. Лобачевский. Он заменил лишь одно правило — аксиому параллельности прямых — следующим: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая аксиома позволила построить новую геометрию — неевклидову.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Н.И. Лобачевский (1792–1856)

Выдающийся русский математик, про-

фессор Казанского университета.

С подобной идеей несколько позже выступил венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860).

Содержание
  1. Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b и не перпендикулярна им)?
  2. Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?
  3. Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?
  4. 1) Две прямые параллельны, если при пересечении данных прямых третьей прямой :1 : вертикальные углы равны?
  5. Две прямые параллельны, если при перечеслении данных прямых третьей :1)вертикальные углы равны?
  6. Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?
  7. Докажите теоремыЕсли внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныЕсли сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельныЕсли соответственные углы равны, то ?
  8. 1. Выберите правильное утверждение1) Если односторонние углы равны, то две прямые параллельны2) Если соответственные углы равны, то две прямые параллельны3)Если сумма соответственных углов равна 180 г?
  9. Выберите верное утверждение?
  10. 2. Укажите номера неверных вариантов утверждения?
  11. Найдите углы образованные при пересечении двух параллельных прямых третий прямой если :a ) сумма соответственных углов равна 260 градусовb) величины внутренних односторонних углов относится как 7 : 11?
  12. Планиметрия. Страница 2
  13. 1.Параллельность прямых
  14. 2.Признаки параллельности прямых
  15. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых
  16. 4.Сумма углов треугольника
  17. 5.Единственность перпендикуляра к прямой
  18. 6. Высота, биссектриса и медиана треугольника
  19. 7. Свойство медианы равнобедренного треугольника
  20. 8. Пример 1
  21. Пример 2
  22. Пример 3
  23. Пример 4
  24. Пример 5
  25. 🌟 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b и не перпендикулярна им)?

Геометрия | 5 — 9 классы

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b и не перпендикулярна им).

Отметьте утверждения, которые верны.

Соответственные углы равны.

Накрест лежащие углы равны.

Сумма соответственных углов равна 360 градусов.

Сумма односторонних углов равна 360 градусов.

Сумма накрест лежащих углов равна 360 градусов.

Односторонние углы не равны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Соответственные углы равны

Накрест лежащие углы равны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).

Отметьте утверждения, которые верны.

Сумма соответственных углов равна 180 градусов.

Соответственные углы равны.

Односторонние углы равны.

Сумма односторонних углов равна 360 градусов.

Накрест лежащие углы равны.

Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).

Отметьте утверждения, которые верны.

Односторонние углы не равны.

Сумма односторонних углов равна 360 градусов.

Соответственные углы равны.

Сумма накрест лежащих углов равна 360 градусов.

Накрест лежащие углы равны.

Сумма соответственных углов равна 360 градусов.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

1) Две прямые параллельны, если при пересечении данных прямых третьей прямой :1 : вертикальные углы равны?

1) Две прямые параллельны, если при пересечении данных прямых третьей прямой :

1 : вертикальные углы равны.

2 : сумма смежных углов равна 180 градусам

3 : накрест лежащие углы равны.

4 : сумма соответственных углов равна 180 градусам.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Две прямые параллельны, если при перечеслении данных прямых третьей :1)вертикальные углы равны?

Две прямые параллельны, если при перечеслении данных прямых третьей :

1)вертикальные углы равны.

2)внутренние односторонние углы равны.

3)сумма накрест лежащих углов равна 180°.

4)соответственные углы равны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).

Отметьте утверждения, которые ложны.

1 Сумма односторонних углов равна 180 градусов.

2 Односторонние углы равны.

3 Сумма соответственных углов равна 180 градусов.

4 Накрест лежащие углы равны.

5 Соответственные углы равны.

6 Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Докажите теоремыЕсли внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныЕсли сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельныЕсли соответственные углы равны, то ?

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

1. Выберите правильное утверждение1) Если односторонние углы равны, то две прямые параллельны2) Если соответственные углы равны, то две прямые параллельны3)Если сумма соответственных углов равна 180 г?

1. Выберите правильное утверждение

1) Если односторонние углы равны, то две прямые параллельны

2) Если соответственные углы равны, то две прямые параллельны

3)Если сумма соответственных углов равна 180 градусам, то две прямые параллельны

4) Если сумма накрест лежащих углов равна 180 градусам, то две прямые параллельны

В равно бедренном треугольнике угол при вершине равен 70 градусов.

Чему равны остальные углы?

1)70 градусов и 70 градусов

4) невозможно вычислить.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Выберите верное утверждение?

Выберите верное утверждение.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то а) Накрест лежащие углы равны б)Смежные углы равны в)Соответственные углы в сумме дают 180° г)Односторонние углы равны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

2. Укажите номера неверных вариантов утверждения?

2. Укажите номера неверных вариантов утверждения.

Прямые параллельны, если при пересечении двух прямых секущей

1) накрест лежащие углы равны

2) сумма соответственных углов равна 180 градусам

3) односторонние углы равны

4) сумма односторонних углов равна 180 градусам

5) соответственные углы равны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

Найдите углы образованные при пересечении двух параллельных прямых третий прямой если :a ) сумма соответственных углов равна 260 градусовb) величины внутренних односторонних углов относится как 7 : 11?

Найдите углы образованные при пересечении двух параллельных прямых третий прямой если :

a ) сумма соответственных углов равна 260 градусов

b) величины внутренних односторонних углов относится как 7 : 11

с ) сумма внутренних накрест лежащих углов равна 260 градусов

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b и не перпендикулярна им)?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

1)120 2)80 3)60 4)В — 70, С — 40 5)60 6)30 7)40 8) A — 50, C — 70 9)M и К = 50, N — 80 10)Е — 40, D — 60 11)A — 30, D — 90, B — 60 12)A и B — 45, D — 90, M — 90.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

1)120 2)80 3)60 4)В — 70, С — 40.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Решение в приложении.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

1)b = 2h sin60 = 4 sin60 = 2. 82 2)a = b 2 cos60 = 2. 82 1 = 2. 82 Ответ : 2 . 82.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

1 и 3 — правильные утверждения. 2, думаю, нет, хотя уверен не полностью. Удачи).

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Второе правильное (свойства равностороннего треугольника) и третье.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Решение во вложении. Спасибо, что отмечаете лучшим тот ответ, который наиболее точно и полно отвечает на Ваш вопрос.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

В 1>>Высота, проведённая из прямого угла, равна корню произведений отрезков, на которые эта высота делит противоположную сторону. Во 2>> тангенс внешнего угла равен равен тангенсу смежного с ним угла с противоположным знаком.

Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

Планиметрия. Страница 2

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Видео:Параллельные прямые - геометрия 7 классСкачать

Параллельные прямые - геометрия 7 класс

1.Параллельность прямых

Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

2.Признаки параллельности прямых

Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)

Отложим равный треугольник ABC1 в другой полуплоскости с вершиной С1 так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС1. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС1 ляжет на прямую а, ВС1 — на прямую b. Тогда точка С1 принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С1 одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.

8. Пример 1

Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)

Доказательство:

Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.

Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С .

Пример 2

Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)

Доказательство:

Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d1 и d2 делят углы α и β пополам.

Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d1 и d2, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d1 и d2 лежат на параллельных прямых.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с.

Пример 3

Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.

Решение:

Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.

Отсюда следует, что можно составить соотношение:

Ответ: углы равнобедренного треугольника составляют: 100°, 40°, 40°.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.10 Задача. Найти углы треугольника.

Пример 4

Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.

Решение:

Так как сумма углов α + β + α1 + β1 = 360°, а

α1 + β1 = 240° по условию задачи, то

А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то

α + β + γ = 180°, т.е.

И следовательно, γ = 60°

Ответ: угол при вершине С = 60°.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.

Пример 5

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.

Доказательство:

Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:

α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.

Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:

λ = 180° — (α / 2 + α)

Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС .

🌟 Видео

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе:
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 2
Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если
Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если
Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.

Видео:Геометрия 7 класс : Параллельные прямые и признак параллельности двух прямыхСкачать

Геометрия 7 класс : Параллельные прямые и признак параллельности двух прямых

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)

Проведем через точку А прямую а 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а 1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а 1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

4.Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).

Тогда углы α и α’, γ и γ’ равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α’ + β + γ’ = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.4 Теорема. Сумма углов треугольника.

Видео:Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

5.Единственность перпендикуляра к прямой

Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.

Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)

Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ — это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.

Видео:Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.Скачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.

6. Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.

Видео:Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.

7. Свойство медианы равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD — медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.

Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.

Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если

Рис.7 Свойство медианы равнобедренного треугольника.

Две параллельные прямые a и b пересекает третья прямая c если