Две окружности пересекаются в точках прямая проходящая через точку

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Решение задач по геометрии ЕГЭ №16

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ЕГЭ 2017 Вариант №4 (№16)

Две окружности пересекаются в точках P и Q . Прямая, проходящая через точку P , второй раз пересекает первую окружность в точке A , а вторую – в точке D . Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD , второй раз пересекает первую окружность в точке B , а вторую – в точке C .

А) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Б) Найдите отношение BP : PC , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

1.Четырёхугольники ABQP и PDCQ – трапеции (т.к прямые AD ∥ BC по условию). Учитывая, что четырёхугольники вписаны в окружности, следует что они являются равнобедренными т.е. AB = QP и PQ = DC AB = DC .

2.У равнобедреннытрапеций углы при основаниях равны: ∠ BAC + ∠ APQ , ∠ PQC = ∠ QCD , а ∠ APQ = ∠ PQC как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей PQ , то ∠ BAP = ∠ QCD (по закону транзитивности) зничит ∠ BAP + ∠ ABQ = ∠ QCD + ∠ ABQ = 180 0 . Если сумма односторонних углов при прямых AB и DC и секущей BC равна 180 0 то ( по признаку параллельности прямых) AB ∥ DC . По определению, четырёхугольник у которого противолещащие стороны лежат на параллельных прямых называется параллелограммом. Значит ABCD – параллелограмм, что требовалось доказать.

б) Окружности описанные около четырёхугольников ABQP и PDCQ , можно рассмотреть, как окружности описанные около треугольников ∆ BQP и ∆ PCQ .

Пусть ∠ BQP =, тогда ∠ PQC = 180 0 — . По формулам приведения sin (180 0 — sin

Так как для любого треугольника отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (следствие из теоремы синусов), то : = (2 R ₁ ) : (2 R ₂ ) , т.е. = = т.к. по условию радиус первой окружности в два раза больше радиуса второй.

ЕГЭ 2017 Вариант №5 (№16)

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE BFKC . Точка M – середина стороны .

а)Докажите, что CM = DK

б)Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ ACB = 30 0 .

1.Проведу луч CM , и на его продолженииотложу отрезок MC ₁ = CM . Четырёхугольник AC ₁ BC параллелограммм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам: медиана по условию)

2. BC = b , AC = a , ∠ ABC = ∠ C ₁ BP = ( ∠ ABC = ∠ C ₁ BP соответственные углы при параллельных прямых BC ₁ и AC и секущей BC )

∠ С ₁ BC = 360 0 — 180 0 — ₌ 180 0 —

∠ KCD = 360 0 — 90 0 — — 90 0 ₌ 180 0 — , т.е.

∠ С ₁ BC = ∠ RCD , BC ₁ = AC = a = CD , BC = CK = b треугольники ∆ С ₁ BC и ∆ KCD равны по второму признаку равенства треугольников KD = C ₁ C , MC = CC ₁ = KD что и требовалось доказать.

б) 1.Рассмотрю треугольник ∆ ABC . По теореме косинусов AB 2 = AC 2 + BC 2 — 2 AC * BC cos 30 0 ,

AB 2 = 36+100 – 2*6*10 * = 136 — 60, AB =.

2. Рассмотрю ∆ MBO ₁ : BO ₁ = BK = , MB= cos ∠ O ₂ AM = cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MB -sin 45 0 sin ∠ MBC= (cos ∠ MBC — из ∆ MBC cos ∠ MBC= = = =

sin ∠ MBC =, т . к . . MC=

3. Рассмотрю ∆ MAO ₂ : AO ₂ = AD = , MA

cos ∠ O ₂ AM= cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MAC -sin 45 0 sin ∠ MAC= (cos ∠ MAC — из ∆ MAC cos ∠ MAC= = = =

ЕГЭ Ларин. Вариант №101 №16

В остроугольном треугольнике АВС высоты АА ₁ и СС ₁ пересекаются в точке О.

А) Докажите, что треугольники АОС и С ₁ ОА ₁ подобны.

Б) Найдите площадь четырехугольника АСА ₁ С ₁ , если известно, что угол АВС равен 30 о , а площадь треугольника АВС равна 80.

1. Рассмотрю ∆ COA ₁ и ∆ AOC ₁ . Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по углам), так как ∠ COA ₁ = ∠ AOC ₁ — как вертикальные, ∠ OA ₁ C = ∠ OC ₁ A = 90 0 . Из подобия треугольников ( по определению подобия треугольников) пропорциональность соответствующих сторон: = =.

По свойству пропорции из равенства = ⟹ = ( если поменять в верной пропорции крайние)

2. Т.к. = и ∠ AOC = ∠ A ₁ OC ₁ то треугольники АОС и С ₁ ОА ₁ подобны по второму признаку подобия треугольников (по пропорциональности двух сторон и равенству углов между этими сторонами). Ч.т.д.

б) По условию задачи S _{∆ ABC} = 80. S _{∆ ABC} = AB * CC ₁ = BC * AA ₁ = AB * BC * sin 30 0 .

Из ∆ AA ₁ B AA ₁ = AB , из ∆ CC ₁ B CC ₁ BC — катеты прямоугольных треугольников лежащих напротив угла в 30 0 ,

из ∆ AA ₁ B BA ₁ = BA*cos 30 0 = BA

из ∆ CC ₁ B BC ₁ = BC*cos 30 0 = ⟹ S _∆A1BC1 = A ₁ B*BC ₁ *sin 30 0 =

💡 Видео

ЕГЭ задание 16Скачать

Две окружности пересекаются в точках A и B Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностеСкачать

№7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точкуСкачать

Разбор Задачи №16 из Варианта Ларина №279 (РешуЕГЭ 527391)Скачать

Две окружности пересекаются, если радиус одной ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Планиметрия. №6. (16 задача ЕГЭ).Скачать

Задание 26 Две окружности, внешнее касаниеСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать